陳立群

(上海大學力學與工程科學學院，上海200444)

隨著高等教育由精英教育向大眾教育發(fā)展，人才培養(yǎng)的寬口徑、厚基礎愈發(fā)成為社會要求。通識教育在滿足這種要求中起著重要作用。通識教育通常具有基礎性、整合性和普適性，具體課程既有經(jīng)典學科的簡要概述，也有新興研究課題的通俗闡述。非線性動力學就屬于后者。非線性動力學已經(jīng)成為人類知識大廈中的重要結構，是理解多種自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象的必要工具，也是一些工程系統(tǒng)設計時需要考慮的因素，具有基礎性。非線性動力學是數(shù)學、物理學、力學等多學科的交叉，提供了分析眾多具體學科領域包括社科人文領域新的視角和方法，具有整合性。非線性動力學也是放之四海而皆準的客觀知識，不局限于特定文化和族群，具有普適性。因此，具有基礎性、整合性和普適性的非線性動力學已經(jīng)成為通識，應該以恰當?shù)姆绞竭M入通識課堂。

2011年，配合上海大學大類招生，開設非線性動力學方面的通識課，課程名稱自定為《混沌與非線性思維》。該課程力圖滿足學校對通識課程的要求。課時按學校統(tǒng)一規(guī)定為20 學時。不預先假定學生學過任何大學課程(零起點)，由淺入深地展開；以學生為主體，課程設計考慮學生需要，學生的積極參與是課程不可或缺的部分；思考和分析現(xiàn)實生活問題，讓學生有機會從各種角度進一步發(fā)展自身興趣。該課程迄今共講過15輪。每輪上課人數(shù)大多在100到150人之間，最多一次232 人選課，總聽課學生超過1800人。新生來自理工、社科、經(jīng)管、藝術等大類，二年級以上學生來自上海大學各個學院，包括理學、通訊、計算機、機自、材料、環(huán)化、土木、生科、經(jīng)濟、管理、圖書情報檔案、社科、外語、文學、美術、影視、中歐等學院，幾乎覆蓋學校各專業(yè)。

為探討非線性動力學的普及和整合科學新進展加強通識課程，本文分析總結“混沌與非線性思維”課程建設情況，包括課程內(nèi)容、教學特點、學生參與和反饋影響幾個方面。希望該課程建設的實踐與思考不僅有助于向各專業(yè)本科生普及非線性動力學知識，也可供通俗處理其他力學新興研究領域如散體力學、微納米力學和力學信息學等借鑒參考。

1 課程內(nèi)容

在繁雜豐富的非線性動力學知識中，本課程突出一個主題和一個副題。主題是混沌的科學概念及文化影響，副題為既是數(shù)學模型也是思維模式的非線性。因此課程名稱為“混沌與非線性思維”。混沌的相空間結構往往具有分形特性，系統(tǒng)隨參數(shù)變化而出現(xiàn)混沌，通常還伴隨著分岔。因此分形和分岔也是課程的教學內(nèi)容。

本課程的教學目標是，闡述混沌、分形、分岔等科學概念及其歷史演化和文化影響，強調(diào)非線性系統(tǒng)的本質(zhì)特性，使得學生能從非線性的角度觀察和思考廣泛存在于自然和社會中的不可預測和不確定現(xiàn)象。

課程包括引言、蟲口模型、混沌、分岔、分形、學術和文化影響和結束語。課程本身以非線性展開，具有漸次放大細化的自相似結構。引言中最簡明地提到混沌、分岔、分形和非線性。接著以蟲口模型為例進一步說明非線性、穩(wěn)定性、分岔和混沌，也涉及分形。隨后較為詳細地分別闡述混沌、分岔和分形，以及廣泛影響。最后用結束語回顧總結全課程。

引言2 學時，介紹課程主題和副題，說明混沌概念和影響后，重點解釋非線性，包括線性與非線性、線性模型的意義與局限、線性思維與非線性思維、追求簡單性與探索復雜性。第一講蟲口模型2 學時，簡要說明模型建立后，重點分析其中的周期點及其穩(wěn)定性，說明穩(wěn)定性概念和判據(jù)，引入倍周期分岔和混沌的概念。第二講6 學時，闡述混沌概念及其演化，具體內(nèi)容有，中國和西方文化中的關于混沌的“言”與“意”；非線性動力學意義上的混沌，包括麥克斯韋(James Clerk Maxwell,1831-1879)、迪昂(Pierre Maurice Marie Duhem,1861-1916)等對初值敏感性的認識，龐加萊(Jules Henri Poincaré, 1854-1912)的開創(chuàng)性貢獻，斯梅爾(Steven Smale, 1930- )馬蹄，洛倫茲(Edward Norton Lorenz, 1917-2008)方程，上田(Yoshisuke Ueda, 1936- )吸引子，混沌的李(李天巖, 1945-)-約克(James A. Yorke, 1941- )定義；混沌的物理實例與運動的幾何表示。第三講分形4 學時，具體內(nèi)容有，自相似性、維數(shù)與分形；幾何中的分形，包括康托(Georg Cantor, 1845-1918)集及其空間推廣、科克(Niels Fabian Helge von Koch, 1870-1924)曲線、謝爾賓斯基(Wac?aw Sierpiński, 1882-1969)三角形和地毯、門格爾(Karl Menger, 1902-1985)海綿和非規(guī)則幾何體維數(shù)分析；動力學中的分形；以及曼德布羅特(Beno?t Mandelbrot,1924-2010)集。第四講2學時，說明分岔與混沌，包括分岔概念、靜態(tài)分岔、動態(tài)分岔和進入混沌的幾種典型路徑。第五講2 學時，概述物理和工程系統(tǒng)中的混沌及混沌對社科和人文的影響。最后結束語2 學時是全課的總結與回顧，并再次說明非線性思維，包括非線性系統(tǒng)的特性及其對現(xiàn)實世界中不確定性的認識和應對。

教學素材大多數(shù)取自較為國際上流行的通俗讀物[1-6]，其中多數(shù)用的是漢譯本[2-5]。這些書也是本門課程的主要參考書。

2 課程特點

本通識課程用通俗易懂的方式介紹現(xiàn)代非線性動力學的基本概念，使得學生對這一蓬勃發(fā)展的研究領域有初步的了解。同時說明非線性動力學的文化影響，以開闊視野、活躍思路，提供學生思考問題的新視角。具體有下列主要特色。

首先是通俗地闡述非線性動力學的核心概念。本課程圍繞非線性動力學的核心概念混沌展開，同時也涉及與分形和分岔概念，特別是兩者與混沌概念的關聯(lián)，即奇怪吸引子和進入混沌路徑。所需要基礎知識不超過聽課學生正在學習的微積分和大學物理。討論兩類典型系統(tǒng)中的周期和混沌運動，離散時間系統(tǒng)蟲口模型和連續(xù)時間系統(tǒng)非線性振子；用直觀的幾何表示，包括時間歷程、相平面圖和龐加萊映射區(qū)分周期性運動和混沌運動；突出混沌的初值敏感性、非周期性和長期不可預測性。分形著重說明自相似性和分數(shù)維數(shù)，計算了規(guī)則幾何結構的維數(shù)，并說明這些計算方法向非規(guī)則結構的推廣。用物理實例說明分岔，包括靜態(tài)分岔和動態(tài)分岔；從動態(tài)分岔的角度解釋生活和工程中的動力學現(xiàn)象，例如蕩秋千和繩系衛(wèi)星的子星減振。

其次是說明非線性動力學的文化影響。非線性不僅是數(shù)學模型，也是種思維模式。在課程中說明現(xiàn)實世界的多樣性和不確定性。線性世界里“種瓜得瓜，種豆得豆”“一分耕耘，一分收獲”。習慣于整體為部分之和、投入產(chǎn)出成比例就落入了線性思維的窠臼。現(xiàn)實世界有時候呈現(xiàn)非線性的特征，“播下的是龍種，收獲的卻是跳蚤”“失之毫厘，差以千里”。非線性思維也許難以概括為具體的規(guī)則，最重要的是時刻保持開放的心態(tài)，以應對各種可能性。除思維模式外，混沌等非線性概念也對文學藝術有一定影響。例如倍周期分岔圖用于時裝設計，分形圖用于美術裝飾，一些小說和電影中也有“蝴蝶效應”等概念。

第三，強調(diào)概念的歷史演化過程。本課程同時具有科學史的屬性。在歷史與邏輯的雙重變奏中，讓學生理解非線性動力學的核心概念。對于混沌概念，詳盡地分析了其歷史演化過程，揭示不穩(wěn)定性、非周期性、不可預測性和初值敏感性是如何逐漸成為其內(nèi)涵。對于分形概念，說明了數(shù)學工具分數(shù)維的起源以及曼德布羅特的開創(chuàng)性貢獻。對于分岔概念，說明了最早的分岔問題，壓桿屈曲。在教學中介紹了非線性動力學開創(chuàng)者如龐加萊, 斯梅爾, 洛倫茲, 費根鮑姆(Mitchell Feigenbaum, 1944- ), 曼德布羅特等的生平和貢獻，并且推薦他們的經(jīng)典論文[7-12]、評論性文章[13]或者回顧性文章[14]供學生課外閱讀。

第四，注重用經(jīng)典和文學語言幫助學生理解科學概念。講解混沌概念時，從中外典籍中引用了亞里士多德《論天》中的“在起點中微不足道的東西在終點中就會變得舉足輕重?！薄抖Y記·經(jīng)解》中的“差若豪厘，謬以千里”，《尚書·盤庚上》中的“若火之燎于原，不可向邇，其猶不可撲滅”，《五燈會元》中的“毫厘有差，天地懸隔”，蘇軾的詩句“竹中一滴曹溪水，漲起西江十八灘?！睘閷ψ置嬉馑加懈逦恼J識，分別借助《辭源》和《牛津大字典》解釋“混沌(chaos)”的詞義，并引征《莊子·應帝王》《三五歷記》《白虎通·天地》和唐詩中有“混沌”的內(nèi)容，還引征了《神譜》《變形記》《圣經(jīng)》等中英文譯本中有“混沌(chaos)”的內(nèi)容。講解分形概念的自相似性時，布萊克(William Blake) 詩《天真的預言(Auguries of Innocence)》的片段，“一花一世界，一沙一天國，君掌盛無邊，剎那含永劫?！敝v解分岔概念時，引用《易傳·系辭上》中的“易有大極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”類比倍周期分岔。

最后，重視信息技術應用，收集相關視頻使抽象的概念可視化。我們制作了基于磁耦合雙擺的玩具體操運動員[15]的視頻和一種復合擺教具[16]的視頻，形象地展示了混沌運動。還在網(wǎng)絡上收集自由雙擺、洛倫茲水輪等混沌運動視頻在課堂或課件播放。為提高學生的興趣，還從影視作品如《侏羅紀公園》和《生活大爆炸》中截取部分視頻，讓劇中人物解釋混沌概念。

3 學生參與

學生的投入與參與是課程取得良好效果的重要因素。在課程開始時，就引用先賢名言說明該課程的特點和注意事宜。“人皆知有用之用，卻不知無用之用也?！碧嵝褜W生注重知識及其增長方式，不過早、過分地糾結于所學知識的具體用處。“讀書切戒在慌忙，涵泳工夫興味長。未曉不妨權放過，切身須要急思量。”建議學生積極嘗試新的學習方式。關注受到的啟發(fā)和能夠理解的內(nèi)容，而不郁悶于不明白的內(nèi)容。針對班上文理科學生都有的情況，倡導“兩腳踏中西文化，一心評宇宙文章。”保持開放心態(tài)，不執(zhí)著于現(xiàn)有已知的界限，文理之分、對錯之分、中外之分等。

考察和考核也是調(diào)動學生積極性的手段。期末成績按學校要求用五分十三等計分。課程成績由三部分構成。一個讀書報告，占40%；一個學習總結，占45%，課堂上5 分鐘的PPT 分享與討論，占10%。提交的讀書報告或?qū)W習，如果與書刊網(wǎng)絡文獻重合超過20% 又無引用說明不計分。盡管教師反復強調(diào)這一原則，幾乎每輪都有學生因重復率過高而掛科。讀書報告和學習總結評分取決于內(nèi)容、結構、提交時間等。

除了前兩輪讀書報告為自由閱讀外，后面幾輪都要求閱讀參考書或者推薦讀物的指定部分，一般是數(shù)頁到十余頁。全班通常分6～8 組，按學號的同余數(shù)確定組別，每組有中英文材料，任選其一。讀書報告結構統(tǒng)一為內(nèi)容概述、觀點評論和閱讀體會三部分，在第八周結束之前提交電子版。

學習總結限制篇幅在一千漢字之內(nèi)?？偨Y要求有過程回顧、內(nèi)容概述和收獲體會三部分，也可以有與成績無關的建議和意見部分。第10 周上課時提交紙質(zhì)版，作為學校要求歸檔的試卷。

課堂上的PPT 分享，要求與課程相關，淺顯、具體、生動。后來要求學生提前一周提交，教師審閱通過后安排報告。報告通常安排在最后三周。有些分享還是比較有趣的。例如通訊專業(yè)學生介紹他人的研究工作，用混沌算法的敏感性和遍歷性進行圖像加密，特別是由于遍歷性，加密圖像損壞后，均勻地降低解密后圖像的質(zhì)量，但仍然可以辨認。

4 反饋影響

該課程受到選課學生的歡迎。因教室限制班級人數(shù)只能在100 人或150 人時，選課人數(shù)都超出上限。有些學生在實名的課程總結或匿名的網(wǎng)上評論中，對該課程教學給予正面評價。

教學內(nèi)容及其處理得到同行肯定，他們多次邀請筆者開設講座。利用本課程的素材，準備了一或兩學時的報告《混沌的科學概念和文化影響》，在十所高校為本科生或研究生講授。這些學校和報告時間為上海應用技術學院(2012)、南京理工大學(2012)、沈陽航空航天大學(2013)、大連民族大學(2013)、蘇州科技學院(2013)、清華大學(2013)、紹興文理學院(2014)、上海大學錢偉長學院(2014)、廈門理工大學(2015)和哈爾濱工業(yè)大學(深圳) (2017)。在本課程素材基礎上，增加部分周期運動的內(nèi)容，形成兩學時講座《周而復始與雜亂無章——淺談混沌與周期運動》，在遼寧科技大學(2015)和福州農(nóng)林大學(2016)報告；并成為上海大學核心通識課“無處不在的力學”中的一講，在2019 年首次講授。應用這些素材的兩學時講座《從單擺的等時性談起：周期、非線性與混沌》，作為上海交通大學致遠學院課程“科學思想背后的小故事”中的一講，在2017 和2018 年兩次講授。

在課程進行過程中，筆者對教學內(nèi)容和方法進行總結思考，并在國內(nèi)外學術會議上交流和在國際期刊上發(fā)表。2012 年，在第23 屆國際力學家大會的力學教育分會場，筆者做了題為《教大學新生混沌的通識課》的口頭報告[17]。剛開課時，前兩屆聽課的學生主要是一年級學生。這是我們期待的情況，但后來高年級學生更有選課經(jīng)驗，只有少數(shù)新生選修該課。前述口頭報告[17]的內(nèi)容加以充實后，2013年發(fā)表于《機械工程教育國際期刊》[18]。2013 年底，在高校力學課程教學系列報告會(即全國力學課程報告論壇)上，應邀做了題為《“混沌與非線性思維”通識課建設》的大會報告[19]。

基于對該課程的通俗化處理，形成了一些科普性文章，固化教學內(nèi)容。例如通俗闡述混沌概念的《混沌淺釋》[20]和通俗解釋穩(wěn)定性概念的《穩(wěn)定性漫談》[21]。把從古代典籍中收集的有關混沌和初態(tài)敏感性的描述整理成文[22]，以便于其他同行在教學或科普中引用。此外，對教學中建議學生動手的一個混沌擺教具進行了建模和仿真[21]。

5 總結

以上是“混沌與非線性思維”通識教育課程建設情況。該課程的教學聚焦于混沌、分形、分岔的科學概念和文化影響。課程的特點包括通俗地闡述科學概念、展現(xiàn)科學概念的文化影響、注重邏輯歷史統(tǒng)一、提升文化品位和追求生動形象。除聽課外，學生以課外閱讀、課堂分享和學習總結的方式參與教學過程。教學實踐表明，非線性動力學經(jīng)過適當普及后能形成通識教育課程，并被各專業(yè)的本科生接受。