鄒兆貴 聶震萍

帶電粒子在電場中的運(yùn)動問題，因涉及電場和動力學(xué)的綜合而成為同學(xué)們學(xué)習(xí)電場這部分知識時(shí)的一個難點(diǎn)。下面根據(jù)帶電粒子在電場中的運(yùn)動特征進(jìn)行分類，剖析帶電粒子的受力特點(diǎn)，提出相應(yīng)的解題策略，以期為同學(xué)們解決此類問題提供一定的幫助。

一、帶電粒子在電場中做直線運(yùn)動

1.帶電粒子做勻變速直線運(yùn)動。

解題策略：帶電粒子在電場中受靜電力、重力及其他力共同作用，若這些力的合力恒定，同時(shí)與帶電粒子的速度方向在同一條直線上，則帶電粒子做勻變速直線運(yùn)動。此時(shí)直接利用牛頓第二定律及勻變速直線運(yùn)動規(guī)律即可求解相關(guān)問題。

例1 如圖1所示，一平行板電容器的兩極板與一電壓恒定的電源相連，極板水平放置，兩極板間距為d。在下極板上疊放一厚度為l的金屬板，其上部空間有一帶電粒子P靜止在電容器中。當(dāng)把金屬板從電容器中快速抽出后，粒子P開始運(yùn)動。重力加速度為g，則粒子運(yùn)動的加速度為（ ）。

2.帶電粒子做非勻變速直線運(yùn)動。

解題策略：帶電粒子在電場中受靜電力、重力及其他力共同作用，若這些力的合力大小改變，方向不變，與帶電粒子的速度方向在同一條直線上，則帶電粒子做非勻變速直線運(yùn)動。在分析清楚帶電粒子的受力情況的前提下，利用牛頓第二定律可求得帶電粒子的加速度大小，利用動能定理或功能關(guān)系可求得帶電粒子的速度、位移等物理量。

例2 如圖2甲所示，在水平地面上放置一個質(zhì)量m=0.1 kg，帶電荷量q=0.01 C的物體。物體與地面間的動摩擦因數(shù)μ=0.4，地面上方空間存在水平向左的電場，物體由靜止開始向左運(yùn)動，電場強(qiáng)度E隨物體的位移x變化的圖像如圖2乙所示。取重力加速度g=10 m/s2，求：

（1）物體在運(yùn)動過程中的最大加速度。

（2）物體的速度達(dá)到最大時(shí)距出發(fā)點(diǎn)的距離。

解析：（1）剛開始時(shí)物體的加速度最大，由牛頓第二定律得qE-μmg=ma max，解得a max=6 m/s2，方向水平向左。

（2）因?yàn)殡妶鰪?qiáng)度E隨物體的位移x是變化的，所以物體受到的靜電力隨位移也是變化的，當(dāng)靜電力等于摩擦力時(shí)，物體的加速度a0=0，速度最大，則qE-μmg=ma0，解得E=40 N/C。由圖乙知電場強(qiáng)度E與物體的位移x的函數(shù)關(guān)系式為E= 100-25x，解得x=2.4 m。

點(diǎn)評：物體所受合力最大時(shí)，物體的加速度最大;結(jié)合E—x圖像分析知物體先做加速運(yùn)動再做減速運(yùn)動，當(dāng)物體的加速度為0時(shí)，物體的速度達(dá)到最大。求解物體在電場中做非勻變速直線運(yùn)動的位移，通常需要利用動能定理或結(jié)合與位移有關(guān)的圖像來解決。

3.帶電粒子在交變電場中做直線運(yùn)動。

解題策略：帶電粒子在周期性變化的交變電場中做直線運(yùn)動時(shí)，分析清楚帶電粒子在每一時(shí)間段內(nèi)的受力情況，利用牛頓第二定律可求出粒子的加速度，作出粒子運(yùn)動的v-t圖像可直觀地分析粒子的運(yùn)動情況。

例3 如圖3甲所示，兩平行正對的金屬板A、B間加有如圖3乙所示的交變電壓，一重力可忽略不計(jì)的帶正電粒子被固定在兩金屬板的正中間P處。若在t0時(shí)刻釋放該粒子，粒子會時(shí)而向A板運(yùn)動，時(shí)而向B板運(yùn)動，并最終打在A板上，則t0可能屬于的時(shí)間段是（ ）。

答案：B

點(diǎn)評：帶電粒子在周期性變化的交變電場中做直線運(yùn)動時(shí)，作出粒子的v—t圖像，借助圖像與時(shí)間軸所圍面積表示粒子的位移能夠快速求得與粒子位移相關(guān)的物理量。

二、帶電粒子在電場中做曲線運(yùn)動

1.帶電粒子做非勻變速曲線運(yùn)動。

解題策略：根據(jù)帶電粒子的運(yùn)動軌跡及電場線的方向可判斷出靜電力的做功情況。帶電粒子僅在靜電力作用下運(yùn)動時(shí)，靜電力做正功，粒子的動能增加，電勢能減小;靜電力做負(fù)功，粒子的動能減小，電勢能增加。根據(jù)電場線的疏密分布情況可判斷出電場強(qiáng)度的大小，從而可分析出帶電粒子的加速度變化規(guī)律。

例4 如圖5所示，實(shí)線是電場線，一帶電粒子僅在靜電力的作用下沿虛線從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的過程中，其速度時(shí)間圖像是圖6中的（ ）。

解析：靜電力的方向指向粒子運(yùn)動軌跡的凹側(cè)且沿與電場線相切的方向，因此粒子從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的過程中，靜電力方向與速度方向間的夾角大于90°，靜電力做負(fù)功，粒子做減速運(yùn)動。從A點(diǎn)到B點(diǎn)電場線變得稀疏，電場強(qiáng)度減小，粒子所受的靜電力越來越小，加速度越來越小。

答案：B

點(diǎn)評：帶電粒子僅受靜電力作用時(shí)，粒子的電勢能和動能相互轉(zhuǎn)化，總和保持不變。粒子運(yùn)動的軌跡朝所受靜電力（合力）的方向彎曲.找出粒子速度與靜電力間的夾角即可判斷靜電力做功的正負(fù)，從而可以判斷粒子電勢能和動能的變化情況。電場線越密集處的電場強(qiáng)度越大，電場線越稀疏處的電場強(qiáng)度越小。

2.帶電粒子做類平拋運(yùn)動。

解題策略：帶電粒子（不計(jì)重力）在電場中做類平拋運(yùn)動時(shí)，可將粒子的運(yùn)動分解成兩個方向的分運(yùn)動，即與初速度方向相同的勻速直線運(yùn)動，以及與初速度方向垂直的勻變速直線運(yùn)動，在這兩個方向上分別利用牛頓運(yùn)動定律即可求解相關(guān)物理量。

例5 如圖7甲所示，離子源產(chǎn)生的正離子由離子源飛出時(shí)的速度可忽略不計(jì)，離子離開離子源后進(jìn)入一加速電壓為U0的加速電場，偏轉(zhuǎn)電場兩極板間的距離為d，極板長度l=2d，偏轉(zhuǎn)電場的下極板接地，偏轉(zhuǎn)電場極板右端到豎直放置的足夠大的熒光屏間的距離也為l?，F(xiàn)在偏轉(zhuǎn)電場的兩極板間接一周期為T的交變電壓，上極板的電勢隨時(shí)間變化的圖像如圖7乙所示。（設(shè)正離子的電荷量為q、質(zhì)量為m，大量離子從偏轉(zhuǎn)電場中央持續(xù)射入，穿過平行板的時(shí)間都極短，可以認(rèn)為離子在穿過平行板的過程中電壓是不變的）

（l）試計(jì)算離子剛進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場時(shí)的速度v0的大小。

（2）在電勢變化的過程中發(fā)現(xiàn)熒光屏有“黑屏”現(xiàn)象，即無正離子到達(dá)熒光屏，試計(jì)算每個周期內(nèi)熒光屏黑屏的時(shí)間t。

（3）離子打到熒光屏上的區(qū)間的長度x。

點(diǎn)評：帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場中做類平拋運(yùn)動時(shí)，可將粒子的運(yùn)動分解成沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動及與初速度方向垂直方向上的勻加速直線運(yùn)動，然后分別利用勻速及勻變速運(yùn)動的規(guī)律及運(yùn)動的合成即可求得物體的速度、位移等物理量。熟練掌握“在平拋運(yùn)動過程中，速度的反向延長線過水平位移的中點(diǎn)”這一規(guī)律對于確定粒子射出偏轉(zhuǎn)電場時(shí)的速度方向很有幫助。

3.帶電粒子做圓周運(yùn)動。

解題策略：帶電粒子在恒定靜電力、重力、彈力三個力的合力作用下沿圓形軌道做圓周運(yùn)動時(shí)，可將靜電力與重力的合力視為“等效重力”，從而得到帶電粒子在做圓周運(yùn)動過程中的“等效最高點(diǎn)”和“等效最低點(diǎn)”，然后利用動能定理即可求得帶電粒子的最大或最小速度。

例6 如圖9所示，固定在豎直平面內(nèi)的圓形絕緣軌道的圓心為O，半徑為r，內(nèi)壁光滑，A、B兩點(diǎn)分別是圓形軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)。該區(qū)間存在方向水平向右的勻強(qiáng)電場E，一質(zhì)量為m、帶負(fù)電的小球在軌道內(nèi)側(cè)做完整的圓周運(yùn)動（電荷量不變），經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度最大，OC連線與豎直方向間的夾角θ=60°，重力加速度為g。

（1）求小球受到的靜電力大小。

（2）小球在A點(diǎn)的速度v0為多大時(shí)，小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力最??？

解析：（l）小球在C點(diǎn)時(shí)的速度最大，則靜電力與重力的合力沿DC方向，因此小球受到的靜電力大小F=mgtanθ=√3mg。

（2）如圖10所示，將恒定靜電力與重力的合力視為“等效重力mg‘”，則C點(diǎn)為帶電粒子速度最大的位置（等效最低點(diǎn)），D點(diǎn)為帶電粒子速度最小的位置（等效最高點(diǎn)）。要使小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力最小，則必須使小球經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力恰好為零，此時(shí)等效重力mg剛好全部用來提供小球做圓周運(yùn)動所需

點(diǎn)評：帶電粒子在勻強(qiáng)電場、重力場等復(fù)合場中做圓周運(yùn)動時(shí)，求解粒子做圓周運(yùn)動的最大速度或最小速度，可以將靜電力和重力的合力視為“等效重力”，“等效重力”所在直線與圓周的兩個交點(diǎn)分別對應(yīng)粒子做圓周運(yùn)動的最大速度和最小速度的位置。利用等效重力場的思想與方法能夠很好地處理帶電粒子在電場中做圓周運(yùn)動的有關(guān)問題。

方法與總結(jié)

處理帶電粒子在電場中的運(yùn)動問題主要利用以下兩條線索來解決：

1.力和運(yùn)動的關(guān)系。根據(jù)帶電粒子的受力情況，利用牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式確定帶電粒子的速度、位移等。這條線索通常適用于帶電粒子在恒力作用下做勻變速運(yùn)動的情況。

2.功和能的關(guān)系。根據(jù)外力對帶電粒子做功，引起帶電粒子的能量發(fā)生變化，利用能量守恒定律研究全過程中能量的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而確定帶電粒子的速度變化、位移等。這條線索不但適用于勻變速運(yùn)動，也適用于非勻變速運(yùn)動。

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖11所示，平行板電容器的兩個極板與水平地面成一定角度，兩極板與一直流電源相連。若一帶電粒子恰能沿圖中所示水平直線通過電容器，則在此過程中，該粒子（ ）。

A.所受重力與靜電力平衡

B.電勢能逐漸增加

C.動能逐漸增加

D.做勻變速直線運(yùn)動

2.如圖12所示，電子由靜止開始經(jīng)加速電場加速后，沿平行于板面的方向射入偏轉(zhuǎn)電場，并從另一側(cè)射出。已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，加速電場的電壓為U0，偏轉(zhuǎn)電場可看成勻強(qiáng)電場，偏轉(zhuǎn)電場兩極板間的電壓為U，極板長度為L，板間距為d。忽略電子自身重力，則電子射入偏轉(zhuǎn)電場時(shí)的初速度v0。和從偏轉(zhuǎn)電場射出時(shí)沿垂直板面方向的偏轉(zhuǎn)距離△y分別是（ ）。

3.如圖13所示，光滑水平軌道與半徑為R的光滑豎直半圓形軌道在B點(diǎn)平滑連接。在過圓心o的水平界面MN的下方分布有水平向右的勻強(qiáng)電場?，F(xiàn)有一個質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球在水平軌道上的A點(diǎn)由靜止釋放，小球運(yùn)動到C點(diǎn)離開半圓形軌道后，經(jīng)界面MN上的P點(diǎn)進(jìn)入電場（P點(diǎn)恰好在A點(diǎn)的正上方，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，小球運(yùn)動到C點(diǎn)之前所帶電荷量保持不變，經(jīng)過C點(diǎn)后所帶電荷量立即變?yōu)榱悖Ｒ阎狝、B兩點(diǎn)間的距離為2R，重力加速度為g。求：

（l）電場強(qiáng)度E的大小。

（2）小球在上述運(yùn)動過程中，在半圓形軌道上運(yùn)動時(shí)的最大速率（計(jì)算結(jié)果用根號表示）。

參考答案：1.BD 2.D