唐祎，何玉輝，唐進元

(1.中南大學機電工程學院，湖南長沙，410083；2.中南大學高性能復雜制造國家重點實驗室，湖南長沙，410083)

在現(xiàn)代化機械制造業(yè)尤其在汽車、航空和機床中，弧齒錐齒輪生產占有重要地位。由于齒面幾何形狀的復雜性和特殊性，弧齒錐齒輪不存在統(tǒng)一標準的齒面參數(shù)化表達?；↓X錐齒輪的齒制、加工方法、加工機床、加工工藝都各有不同，故有多種分類方式，例如按照齒高分類，可分為等高齒錐齒輪、漸縮齒錐齒輪和雙重收縮齒錐齒輪；而按加工機床分類，又分為帶凸輪機構機械式搖臺機床和五軸聯(lián)動數(shù)控機床。機床不同，則對應的基本加工工藝也不同。例如，在傳統(tǒng)的GLEASON 機械式搖臺機床No.116 上加工，一般采用五刀法，即大輪粗加工+大輪精加工和小輪粗加工+小輪凹面精切+小輪凸面精切。一直以來，齒面建模都局限于某一類加工調整卡(如SGM，HGM 等)和某一類加工機床進行加工過程仿真模擬[1]。加工調整卡、加工工藝發(fā)生改變，都需要重新針對復雜加工過程進行建模，計算過程復雜，建模效率低，通用性差。本文突破傳統(tǒng)建模，基于弧齒錐齒輪設計的萬能運動概念(UMC)，提出了基于萬能運動參數(shù)的通用建模方法。其中，UMC 機床模型是針對數(shù)控加工，將傳統(tǒng)搖臺機床各軸“數(shù)控化”后的一種機床模型，既能實現(xiàn)傳統(tǒng)機床的功能，又能利用“數(shù)控化”后各軸的運動能力來實現(xiàn)相應的齒面誤差修正。在通用加工參數(shù)的齒面建模中，通過8個通用參數(shù)可以轉化成任意機械式加工機床的調整卡參數(shù)，完成任意調整卡、任意加工方法的通用統(tǒng)一仿真模擬。目前，有關UMC 建模的研究比較少，GONZALEZPEREZ 等[2-3]提出了改善齒面接觸特性的齒面綜合分析方法及齒面綜合優(yōu)化的數(shù)學模型，針對各種誤差對運動精度的影響進行解析描述；ARTONI等[4]對萬能運動概念進行了闡述，但沒有進行基于UMC 建模的研究；FAN[5-6]結合UMC 的基本概念對弧齒錐齒輪進行了建模與仿真，并推導了一套刀具相對于齒坯的坐標變換關系；唐進元等[7-12]在弧齒錐齒輪的通用化設計和加工方面進行了大量研究，內容涉及弧齒錐齒輪基于各種調整卡的建模與TCA 和LTCA 分析，為齒面幾何精確建模打下基礎；LIN 等[13-14]研究了通用加工參數(shù)與機械式機床參數(shù)之間的等效轉換關系。綜上所述，上述研究均沒有給出基于萬能運動參數(shù)的弧齒錐齒輪通用建模方法。本文針對這一問題進行研究，給出基于萬能運動參數(shù)的弧齒錐齒輪通用建模方法，通過相關計算實例對方法進行驗證。

1 齒面通用數(shù)學模型

基于確定的通用機床加工參數(shù)采用真實齒面加工仿真模擬的設計理念，建立滿足齒面嚙合原理的方程，完成齒面數(shù)學建模，借助數(shù)值求解方法完成齒面點的離散化，得到齒面的真實模型。

1.1 刀具建模

弧齒錐齒輪建模來源于實際齒輪加工過程的仿真模擬[4]。通過數(shù)值模擬刀盤與工件的加工運動軌跡，獲得一系列不同時刻的刀具曲面簇。齒面由刀具軌跡的曲線族包絡而成，獲得的每一個齒面點必定滿足齒面嚙合定理，求導得由刀具切削軌跡包絡而成的齒面參數(shù)化方程為

式中：ξ=(μ,θ,φ)為基本設計參數(shù)[15]，包含刀盤刀具的幾何參數(shù)(μ,θ)和機床運動基本參數(shù)φ；μ為刀具高度方向的變量；θ為刀具旋轉角度。該仿真過程主要包括刀盤刀具設計(與幾何參數(shù)(μ,θ)有關)和機床運動設計(與由φ表示的機床加工參數(shù)有關)。

刀盤刀具設計主要包括3種類型：直線型、拋物線型和Top-Rem型。而在UMC建模中，拋物線型刀具如圖1所示，分為2個部分。

1)上端圓弧部分參數(shù)化方程：

圖1 拋物線型刀具形狀Fig.1 Type tool shape of parabolic-profile

2)下端圓弧部分參數(shù)化方程：

式中：Rc為刀位點半徑；μg為拋物線頂點位置參數(shù)；ac為拋物線系數(shù)；αc為壓力角；ρw為刀盤邊緣半徑；λw為刀盤邊緣圓弧角度；Xw為Oc與C點的連線長度；“+”和“－”分別為齒輪加工的凹面和凸面。

1.2 基于刀具展成運動的齒面通用數(shù)學模型

圖2所示為基于UMC 的機床運動關系參數(shù)設置。參照Gleason公司基于萬能運動概念的設計理念[9]和萬能展成模型[13]，在UMC 或者UGM 框架中，有8 個萬能運動參數(shù)[16]，分別是刀位Sr、垂直輪位EM、水平輪位XD、床位XB、根錐安裝角γm、刀傾角б、刀轉角ξ和基本搖臺角φ，即

它們各自可以表示為關于最基本的運動參數(shù)φ的高階多項式函數(shù)。例如，床位XB就可以表示為

式中：XBk(k=0,…,n)表示其k階運動系數(shù)。利用萬能運動參數(shù)就可以表示從齒坯到刀盤的整個機床運動鏈所有坐標轉換關系Mbc，有

圖2 基于UMC的機床運動關系參數(shù)設置Fig.2 Parameter setting of UMC-based machine motion relationship

其中：

因此，展成齒面可表示為

由于齒面是由刀具軌跡的曲線簇包絡而成，故獲得的每一個齒面點p*=F(ξ*)必定滿足齒面嚙合定理[9]，可得

式中：nb為齒面的方向矢量；而vbc為加工過程中刀具與齒坯的相對速度。聯(lián)立式(8)和(9)，可完成齒面方程的隱式表達。顯然，該方程組中，含有3個未知變量和2個標量方程，具有很強的非線性和復雜性，通過研究高效率的數(shù)值求解方法，即可以求出展成包絡齒面數(shù)值點。

2 齒面離散化方法及實例

2.1 齒面離散化方法

通過齒面離散化獲得理論齒面坐標點，以便與實際加工齒輪測量點進行對比。在齒面建模中已經證明：齒面參數(shù)化方程的非線性和復雜性導致齒面不能以顯示形式表示出來，如

只能進行齒面離散化逐點求解。通過離散其中1個未知參數(shù)，求解以另外2個參數(shù)構成的精確齒面方程，匹配合理的齒面等分均勻化規(guī)則[17-18]，以前錐面、背錐面、頂錐面和根錐面為約束邊界條件，就可以完成齒面網格化離散過程。

2.2 齒面建模實例

根據(jù)提出的建模方法，結合萬能運動概念，由8 個萬能運動參數(shù)控制刀具相對齒坯的運動軌跡，完成對所有弧齒錐齒輪的參數(shù)化建模。以下算例將不同的弧齒錐齒輪副機床加工參數(shù)輸入至求點程序，可分別得到規(guī)律的齒面離散點坐標，并直接利用齒面離散點建立參數(shù)化曲面，在CATIA中構建對應的實體模型。

2.2.1 齒面建模

本文采用Gleason No.116機床HFT調整卡雙面法加工的弧齒錐齒輪副基本設計參數(shù)，主要包括齒坯設計參數(shù)和機床加工參數(shù)。需要強調的是，根據(jù)UMC 定義，原本刀傾法(Tilt?)調整卡加工的11個機床加工參數(shù)除了表中所給萬能運動參數(shù)外，還有壓力角αc和刀盤偏心角βc，都可以轉換成萬能運動參數(shù)。根據(jù)本文提供的通用參數(shù)化建模方法，可建立齒面的數(shù)學模型，并完成齒面的離散化表達。

2.2.2 算例

由于弧齒錐齒輪副的加工工藝繁雜，本文選取其中的主要加工工序即銑齒加工來完成齒輪三維實體建模。在弧齒錐齒輪的齒面嚙合方程求解過程中，代入不同數(shù)值的萬能運動參數(shù)，由MATLAB 求解程序可獲得一系列均勻分布的離散齒面點。表1所示為齒坯參數(shù)，表2所示為機床加工參數(shù)。

根據(jù)給定的齒坯參數(shù)與機床加工參數(shù)即可完成齒面方程的推導，求解出規(guī)律分布的齒面離散點坐標，需說明的是，由于建立的齒面方程具有非線性，不能直接推導出顯示的齒面方程表達式，只能借助齒面參數(shù)化方法將齒面表示成離散化的點，其中采用的是9×15 的網格點分布方式，如圖3所示。

表1 齒坯參數(shù)Table 1 Blank parameters

表2 機床加工參數(shù)Table 2 Machine-tool settings

本文提出的參數(shù)化建模求解齒面點的優(yōu)點在于：與Gleason 求解齒面離散點的cage 軟件類似，能求得一系列有規(guī)律、光順的齒面點，有利于后續(xù)進行實體建模；齒面點之間的間距可人為控制；齒面點的密度可根據(jù)齒面面積人為設定。

2.3 弧齒錐齒輪實體建模

根據(jù)Matlab 求解的齒輪副的齒面離散點反映出齒面具有良好的齒面光順性和連續(xù)性，可為后續(xù)齒面誤差測量及修正、齒面接觸分析(TCA)等關鍵技術提供精確齒面模型和基本數(shù)據(jù)信息。在弧齒錐齒輪三維建模過程中，齒面離散點必須規(guī)則化，不能出現(xiàn)奇異點或者散亂點，且齒面點分布越密集，得到的模型精度越高。圖4所示為齒輪副在CATIA 中的實體模型，將獲得的離散齒面點坐標導入CATIA 中，由點構線，由線構面，分別構造弧齒錐齒輪的凹面與凸面，再與齒根圓錐面相交進行修剪可得到1個齒槽模型，最后由齒槽與齒坯實體進行布爾運算，即可得到弧齒錐齒輪三維建模。

圖3 離散化齒面點Fig.3 Discretized tooth surface points

圖4 齒輪副在CATIA中的實體模型Fig.4 Physical model of bevel gear pair in CATIA

3 齒面誤差測量及結果分析

3.1 齒面誤差的精確測量

在實際加工過程中，受多種因素如裝配、機床運動、熱處理變形和磨損和裝夾等影響，實際加工制造的真實齒面與理論齒面產生一定偏差。在弧齒錐齒輪的齒面設計中，定義其法向偏差為齒面誤差，用差曲面來表示。在目前的實際測量中，很多公司有專門的齒輪測量儀，配備專業(yè)商用軟件如G-AGETM和KOMET?等，完成齒面的精確自動測量。本文采用CMMs 精確測量弧齒錐齒輪的齒面誤差，CMMs 具體型號為1500GMM，測量參考標準為HB0－1992－1998。圖5所示為齒輪副的實際加工齒面誤差CMM測量實例。

圖5 實際加工齒輪的CMM測量Fig.5 CMM measurement of actual machined gears

3.2 齒面誤差的測量結果

在齒面測量規(guī)劃中，將齒輪的軸向橫截面預設1 個齒面網格AMBMCMDM，該齒面網格可以根據(jù)齒面離散化來確定，用來表示1個理論參考的設計齒面。參照Gleason標準的一般齒面預設網格點規(guī)劃，齒面被離散化成1個典型的5×9網格，即齒寬(face width, FW)方向取9 個點，而齒高( tooth height,TH)方向取5 個點，并建立與理論齒面的差曲面。圖6所示為三坐標測量儀測得齒面誤差。

表3所示為齒面誤差測量結果。將建立的齒輪模型與實際加工齒輪模型進行比較可知：小輪銑齒后的凹面齒面誤差平均值為1.862 μm，最小值為-4.400 μm，位于(5,9)點即大端面與齒頂面相交處；最大值為5.100 μm，位于(5,4)點即靠近齒根面中間處；小輪凸面齒面誤差平均值為5.236 μm，其中最小值為-9.700 μm，位于(2,1)點即小端面中間位置；最大值為13.400 μm，位于(5,9)點即靠近大端面與齒頂面相交處。

大輪的測量結果相比于小輪來說更理想，大輪凹面齒面誤差平均值為2.328 μm，其中最小值為-5.200 μm，位于(3,2)點即靠近小端面中間處；最大值為3.200 μm，位于(4,9)點即大端面靠近齒頂面相交處。大輪凸面齒面誤差平均值為1.477 μm，最小值為-2.600 μm，位于(3,2)點即靠近小端面中間處；最大值為3.400 μm，位于(5,1)點即小端面與齒頂面相交處。

3.3 齒面誤差測量的結果分析

由表3可知：由于大輪是主動件且易加工，在實際加工制造過程中，可通過1次裝夾同時銑削出凹凸面，而小輪則需分別裝夾并使用不同種型號銑刀切削才能得到。這也解釋了與較大輪相比，小輪齒面誤差總體偏大的原因。其次，影響齒面精度的因素除了安裝誤差、裝夾誤差外，還應考慮到機床空間幾何誤差、刀具磨損等。

在實際建模過程中發(fā)現(xiàn)，使用Matlab 求解離散齒面點坐標時，離散的齒面點疏密程度也會影響三維模型的精度。

將求解的齒面點導入至CATIA 中，采用不同的方式構造三維齒面，獲得的實體模型精度也會有所區(qū)別。例如，將9列的齒面點連成線再構面和將15行的齒面點連成線再構面得到的齒面不一樣；在CATIA 創(chuàng)成式外形設計模塊中，選擇“橋接曲面”和“多截面曲面”命令創(chuàng)建的齒面也會有差異。

綜合考慮制造加工過程中以及參數(shù)化建模流程中各種誤差的的影響，在齒面法矢方向得到的齒面誤差測量結果精度較高，說明本文提出的基于參數(shù)化弧齒錐齒輪通用建模方法原理正確。

圖6 齒面誤差分析Fig.6 Tooth surface error analysis

表3 齒面誤差測量結果Table 3 Tooth surface error measurement results μm

4 結論

1)運用Newton 迭代法建立齒面參數(shù)化方程以獲得統(tǒng)一齒面參數(shù)化表達，綜合考慮機床幾何空間誤差、安裝誤差等誤差來源，提出基于萬能運動參數(shù)的弧齒錐齒輪建模方法。

2)對1對錐齒輪參數(shù)進行模型建立，測量結果顯示建立理論模型與實際模型非常接近，為后續(xù)齒面誤差修正提供基本的技術支撐和理論基礎。

3)基于萬能運動建模理念，給出了由萬能運動參數(shù)驅動的齒面參數(shù)化模型。該機床加工參數(shù)可以由任意機械式加工機床調整卡參數(shù)轉化而成，實現(xiàn)了所有加工形式統(tǒng)一的參數(shù)驅動化弧齒錐齒輪建模。