蔡 寧,黃 騰,錢 龍,夏玉國(guó)

(1.河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇 南京 211100;2.中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410083)

大地測(cè)量坐標(biāo)系的建立是大地測(cè)量學(xué)的基本任務(wù)之一[1]。新中國(guó)成立之后的幾十年以來(lái),我國(guó)先后建立了1954年北京坐標(biāo)系、1980年國(guó)家大地坐標(biāo)系和CGCS2000國(guó)家大地坐標(biāo)系[2]。為了實(shí)現(xiàn)已有的測(cè)繪成果在各個(gè)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換,高精度的轉(zhuǎn)換參數(shù)必不可少。以最常見的布爾莎模型為例[3],該模型包括7個(gè)參數(shù):3個(gè)平移參數(shù)、3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)以及1個(gè)尺度參數(shù)。至少需要知道2個(gè)坐標(biāo)系下的3個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo),才能求解出這7個(gè)參數(shù)。除了布爾莎模型外,另一種考慮到系數(shù)矩陣含有誤差的模型(EIV模型)被認(rèn)為是更加合理的[4-5]。不管是哪一種模型,當(dāng)公共點(diǎn)坐標(biāo)含有粗差時(shí)都會(huì)影響到轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度,為此如何探測(cè)粗差位置并將其剔除就成為研究的熱點(diǎn)。常用的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法主要有最小二乘(LS,least squares)和整體最小二乘(TLS,total least squares),整體最小二乘又可以分為奇異值分解(SVD,singular value decomposition)和混合最小二乘(LS-TLS)。研究將粗差引入到轉(zhuǎn)換過程,通過方差比值檢驗(yàn)法來(lái)比較LS、SVD和LS-TLS這3種算法的粗差探測(cè)能力,為后續(xù)的粗差剔除提供了參考。

1 三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的參數(shù)解法

1.1 經(jīng)典LS法求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換7參數(shù)

在線性布爾莎模型中,通常認(rèn)為3個(gè)歐拉角是微小量,將旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行近似代替[6],模型可以簡(jiǎn)化為

(1)

(2)

其中:TX、TY、TZ、ωx、ωy、ωz、k為轉(zhuǎn)換7參數(shù)。

只考慮觀測(cè)向量L的隨機(jī)誤差,則誤差方程為

L+VL=BX,

(3)

(4)

單位權(quán)中誤差為

(5)

其中:n為公共點(diǎn)個(gè)數(shù)。

1.2 SVD解法求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)

式(3)矩陣B中的元素XS,YS,ZS也是有誤差的,考慮到這一點(diǎn)可建立EIV模型[7],其函數(shù)模型為

L+VL=(B+eB)X,

(6)

其中:B∈R3k×t為系數(shù)矩陣；L∈R3k×1為觀測(cè)向量；X∈Rt×1為所求7參數(shù)；VL是L的隨機(jī)誤差向量;eB是B的隨機(jī)誤差向量。

(7)

其中:U為左奇異陣；V為右奇異陣；∑是由特征值組成的對(duì)角陣；當(dāng)vt+1,t+1≠0時(shí)，其唯一解為

(8)

單位權(quán)中誤差為

(9)

1.3 LS-TLS解法求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)

LS-TLS解法將矩陣B的前3列元素視為常數(shù)項(xiàng)作為固定列，不做修正[8]，所以需要將系數(shù)矩陣B分成B1和B2，X也對(duì)應(yīng)分成的X1和X2。

LS-TLS解法先對(duì)不含誤差的B1進(jìn)行QR分解，再將Q左乘于增廣矩陣[B,L]，得到

(10)

2 方差比值檢驗(yàn)法

方差比值檢驗(yàn)法是吳祖海等[9]于2014年提出的一種新方法，它通過對(duì)最小二乘平差后的方差構(gòu)建統(tǒng)計(jì)量來(lái)識(shí)別和定位粗差。它的原理和主要流程如下：

(1) 對(duì)于所有公共點(diǎn)，建立誤差方程V(0)=BX-L。利用LS法求得轉(zhuǎn)換參數(shù)，得到初始中誤差σ(0)。

(2) 逐個(gè)刪除公共點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)，在對(duì)第i個(gè)點(diǎn)檢驗(yàn)時(shí)，將第i對(duì)公共點(diǎn)刪除，構(gòu)建不含第i對(duì)點(diǎn)的誤差方程，計(jì)算此時(shí)的中誤差σ(i)。

(11)

(12)

對(duì)于每一組公共點(diǎn)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量[10]

(13)

Fi服從F分布，有

Fi～F1-α(r1,r2),

(14)

其中:α為顯著性水平;r1、r2為自由度。對(duì)于參與平差的n對(duì)公共點(diǎn)，其自由度為r=3n-7。研究將方差比值檢驗(yàn)法拓展應(yīng)用到3種坐標(biāo)算法上，通過分析Fi的大小來(lái)進(jìn)行粗差的識(shí)別。

3 實(shí)例分析

為了比較3種算法的粗差探測(cè)能力，選取文獻(xiàn)[11]中WGS-84坐標(biāo)系和地方坐標(biāo)系下的7個(gè)公共點(diǎn)(1～7號(hào)點(diǎn))，其在2個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)見表1。分別編制3種算法的Matlab程序，實(shí)驗(yàn)時(shí)對(duì)4號(hào)點(diǎn)的X坐標(biāo)分別加上1～10 cm的粗差，由于粗差不一定會(huì)使改正數(shù)V變大(見表2)，因此需要使用方差比值檢驗(yàn)法來(lái)驗(yàn)證，3種算法求得的Fi的結(jié)果見表3～表5。

表1 公共點(diǎn)在兩坐標(biāo)系下坐標(biāo)

表2 4號(hào)點(diǎn)X坐標(biāo)加10 cm粗差后的VTable 2 V of Point 4 X coordinates plus 10cm gross error

表3 LS法的方差比值統(tǒng)計(jì)量Table 3 Variance ratio statistics with the LS method

注:黑體數(shù)字表示大于檢驗(yàn)指標(biāo)。

表4 SVD法的方差比值統(tǒng)計(jì)量Table 4 Variance ratio statistics with the SVD method

注:黑體數(shù)字表示大于檢驗(yàn)指標(biāo)。

例中選取顯著性水平α為0.1，即可信度為90%，通過查詢分布表可知檢驗(yàn)指標(biāo)F0.9(14,11)=2.17，大于檢驗(yàn)指標(biāo)的組別被認(rèn)為是粗差導(dǎo)致，即粗差位于該組。分析表中數(shù)據(jù)可知，LS和LS-TLS解法在粗差為3～10 cm的組中均能很好地識(shí)別粗差位于4號(hào)點(diǎn)，且粗差相同時(shí)LS-TLS求得的Fi均略大于LS的，即LS-TLS的粗差探測(cè)能力略好于LS，隨著粗差的減小2種算法的粗差探測(cè)能力逐漸變?nèi)?；在粗差? cm和2 cm時(shí)，2種解法均會(huì)出現(xiàn)無(wú)法識(shí)別和識(shí)別錯(cuò)誤的情況；SVD解法在粗差為6～10 cm的組中能準(zhǔn)確定位粗差位置，在粗差為1～5 cm這幾組會(huì)出現(xiàn)無(wú)法定位或者定位錯(cuò)誤的情況。

表5 LS-TLS法的方差比值統(tǒng)計(jì)量Table 5 Variance ratio statistics with LS-TLS method

注:黑體數(shù)字表示大于檢驗(yàn)指標(biāo)。

綜合實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知,3種算法在粗差較大時(shí)均能準(zhǔn)確探測(cè)粗差位置,探測(cè)能力為L(zhǎng)S-TLS最好,LS次之,SVD較差;在粗差較小時(shí)SVD無(wú)法探測(cè)粗差,LS和LS-TLS仍可以準(zhǔn)確探測(cè);在粗差很小時(shí),3種算法均無(wú)法準(zhǔn)確探測(cè)粗差。

4 結(jié)語(yǔ)

在使用布爾莎模型或者EIV模型求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換7參數(shù)時(shí),源目標(biāo)坐標(biāo)中如果含有粗差,會(huì)影響平差結(jié)果使得求出的參數(shù)解不正確,因此定位粗差位置并將其剔除就顯得十分重要。研究使用方差比值檢驗(yàn)法對(duì)3種轉(zhuǎn)換解法的粗差探測(cè)能力進(jìn)行了比較,結(jié)果表明LS和LS-TLS算法具有較好的粗差探測(cè)能力,而SVD解法的探測(cè)能力較差。值得注意的是,針對(duì)的原始坐標(biāo)只有1組數(shù)據(jù)含有粗差的情況,對(duì)于多組數(shù)據(jù)均含有粗差的情況可能需要進(jìn)行多次F檢驗(yàn)。并且為了能更好地定位粗差,需要視情況靈活的改變?chǔ)恋闹?對(duì)于多組數(shù)據(jù)同時(shí)含有粗差以及如何應(yīng)對(duì)粗差較小的情況,將在后續(xù)的研究中進(jìn)行。