高欣悅， 郝亞娟

(燕山大學(xué)理學(xué)院,秦皇島 066004)

帶孔的可滲透板殼在流固耦合問題中的應(yīng)用十分廣泛,如:在外國, Vinogradov等[1]研究了壓縮激波與湍流邊界層相互作用下可滲透板的傳熱；Gupta等[2]利用積分方程研究了水波與非對稱非均勻滲透板的相互作用； Andronov等[3]得到了平面平行通道中穩(wěn)定對稱的分離流流過可滲透板的一般問題的精確解析解；Leontiev等[4]利用微分湍流模型對超音速氣體流動中可滲透壁面的邊界層進(jìn)行了數(shù)值研究。在中國,白象忠課題組采用拉格朗日-歐拉法研究了可滲透球殼的流固耦合問題,給出了在小雷諾數(shù)的情況下滲透球殼在黏性流體中的位移解及內(nèi)力解,分析了滲透參數(shù)和流速對殼體的影響[5],之后又采用該方法在考慮了殼的切向力和法向力的情況下,給出了殼的位移和流體壓力的計算方法且分析了滲透參數(shù)對殼的變形、壓力的影響[6]；丁冠喬等[7]應(yīng)用數(shù)值分析方法研究了雷諾數(shù)為200的多孔雙圓柱的滲透率對其流場的影響；Ai等[8]提出了一種耦合各向異性滲透率的彈性薄板和飽和多孔彈性地基相互作用問題的BEM-ALEM方法。

現(xiàn)假設(shè)可滲透彈性薄板的孔很小且均勻分布,不會對其彎曲剛度及外部流場產(chǎn)生影響,不考慮孔造成的阻力。采用相容拉格朗日-歐拉法,求解可滲透彈性懸臂梁式薄板在理想流體繞流作用下的變形與應(yīng)力,通過具體的算例,分析板的幾何尺寸、滲透參數(shù)和流體流速對板的變形與應(yīng)力的影響。

1 基本方程的建立

如圖1所示,長度為b,厚度為h的可滲透彈性梁式薄板(-∞

y=0邊固定:

v(y)=w(y)=?w(y)/?y=0

(1)

y=b邊自由:

N22(y)=Q2(y)=M22(y)=0

(2)

式中:v、w分別為薄板位移矢量在y軸和z軸上的投影,薄板發(fā)生小變形則位移矢量v(y)可以忽略不計；N22、Q2、M22分別為薄板發(fā)生小變形后作用于中面單位寬度上的拉壓力、橫向剪力和彎矩。在薄板變形的過程中,認(rèn)為中面具有不可延伸性。

圖1 懸臂梁式板繞流示意Fig.1 The cantilever beam-plate in a cross-flow

流體運(yùn)動的速度勢φ滿足：

(3)

流體運(yùn)動的邊界條件為

φ=V∞z，z→∞

(4)

接觸面的運(yùn)動學(xué)方程為[10]

(5)

接觸面的動力學(xué)方程為[10]

(6)

式(6)中:Zi(i=2,3)為流體對薄板作用力在y軸和z軸上的投影；pi為薄板的阻滯壓力。

懸臂薄板表面的線性關(guān)系式為[10]

(7)

式(7)中:ρ為流體的密度；t為時間。

(8)

式(8)中:D=Eh3/12[1-ν2]為薄板的彎曲剛度,其中，E為薄板的彈性模量；ν為泊松比。

當(dāng)薄板為剛性時,變形w1=0。薄板變形前流體運(yùn)動的勢函數(shù)為φ1,壓力為p1,引起薄板彎曲的流體運(yùn)動的勢函數(shù)為φ2,壓力為p2,薄板彎曲時產(chǎn)生的撓度w2,則有：

p=p1+p2,φ=φ1+φ2,w=w2

(9)

將式(9)代入式(3)～式(5)和式(8)中,得:

(10)

φ1=V∞z,z→∞

(11)

(12)

(13)

φ2=0,z→∞

(14)

(15)

(16)

式(16)為橫向繞流條件下薄板發(fā)生小變形時的微分方程。由于彈性薄板發(fā)生小變形時勢函數(shù)φ2和壓力p2都很小,故在式(15)和式(16)中舍去了較小量?p2/?z、?φ2/?y和?2φ2/?z2。

2 基本方程的求解

設(shè)滿足邊界條件的撓度函數(shù)為[9]

(17)

式(17)中:A為待定常數(shù)。

橫向繞流薄板的流體勢函數(shù)為[11]

(18)

式(18)中:W=z2-y2+b2。

將式(18)代入式(10)得

(19)

當(dāng)z=0時有:

(20)

設(shè)勢函數(shù)φ2為[11]

(21)

式(21)中:B為待定常數(shù)。

則由式(13)知，當(dāng)z=0時得：

(22)

當(dāng)y=0時阻滯壓力為

(23)

由式(20)可知,當(dāng)y=b/4和y=b/2時的壓力分別為[11]

(24)

(25)

將x=1代入式(25)得f(x)=-7/15,故可估算出y=b時的阻滯壓力為

(26)

采用線性滲透關(guān)系式[12]：

(27)

(28)

將式(23)和式(26)代入式(28)，得：

(29)

將式(17)、式(20)、式(22)和式(29)代入式(16)得：

(30)

將式(30)的左右兩邊在y0=b/2處進(jìn)行泰勒展開,并令兩端的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)相等,得：

(31)

(32)

聯(lián)立式(31)和式(32),得：

(33)

(34)

由此,可以確定撓度w的表達(dá)式。

薄板表面應(yīng)力分量σy的表達(dá)式為

(35)

3 算例分析

設(shè)基本參數(shù)為:流體密度ρ∞=103kg/m3,板長b=0.7 m,板厚h=0.001 m,壓力p∞=105Pa,流體速度V∞=0.02 m/s,滲透參數(shù)k=0.5,薄板的彈性模量E=200×109Pa,泊松比ν=0.5。

圖2～圖4分別是考慮流體的流速不同、板的幾何尺寸和滲透參數(shù)不同時,板的w-y曲線。

圖2 不同流速的w-y曲線Fig.2 w-y curves of different velocities

圖3 不同幾何尺寸的w-y曲線Fig.3 w-y curves of different geometric sizes

圖4 不同滲透參數(shù)的w-y曲線Fig.4 w-y curves of different permeability parameters

由圖2、圖3可以發(fā)現(xiàn),薄板的板長、流體的流速與薄板變形程度成正比,即隨著板長與流速的增大,薄板變形程度增大；而薄板的板厚與變形程度成反比。由圖4可知,薄板的滲透參數(shù)越大,撓度越小,也就是滲透情況越好,變形越小,薄板的滲透參數(shù)與變形程度成反比。

圖5～圖7分別是考慮流體的流速不同、板的幾何尺寸和滲透參數(shù)不同時,板的σy-y曲線。

圖5 不同流速的σy-y曲線Fig.5 σy-y curves of different velocities

圖6 不同幾何尺寸的σy-y曲線Fig.6 σy-y curves of different geometric sizes

圖7 不同滲透參數(shù)的σy-y曲線Fig.7 σy-y curves of different permeability parameters

由圖5、圖6可知,應(yīng)力數(shù)值由固定端沿y軸單調(diào)遞減至0,應(yīng)力曲線越臨近固定端梯度越大。薄板的板長、流體的流速與應(yīng)力數(shù)值下降速度成正比,即板長越長、流速越快,應(yīng)力數(shù)值下降速度越快；薄板的板厚與曲線梯度成反比。由圖7可知,薄板的滲透參數(shù)越大,應(yīng)力越小,也就是滲透情況越好,應(yīng)力數(shù)值下降速度越慢,薄板的滲透參數(shù)與應(yīng)力數(shù)值下降速度成反比。

4 結(jié)論

(1)采用相容拉格朗日-歐拉法求解理想流體繞流可滲透彈性懸臂梁式薄板的流固耦合問題,得出彈性體的變形、應(yīng)力表達(dá)式。

(2)給出了流體流速、板的幾何尺寸、滲透參數(shù)的變化對可滲透梁式板的撓度及應(yīng)力的影響和變化趨勢。

(3)可以為進(jìn)一步研究理想流體繞流可滲透彈性體的流固耦合問題奠定基礎(chǔ)。