邢昭陽(yáng), 申永軍, 邢海軍

(石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043)

0 引言

動(dòng)力吸振器(dynamic vibration absorber, DVA)作為一種抑制系統(tǒng)振動(dòng)的設(shè)備已經(jīng)廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域。自Frahm[1]發(fā)明第一個(gè)DVA以來(lái)，很多學(xué)者便以提高DVA的減振效果為目標(biāo)對(duì)DVA的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改進(jìn)與優(yōu)化，形成了3種傳統(tǒng)的模型：Voigt型DVA[2]、接地型DVA[3]和三要素型DVA[4]，在實(shí)際工程中可以根據(jù)不同的使用條件和要求選擇合適的模型。目前，由Den Hartog[5]和Ormondroyd[2]提出的固定點(diǎn)理論被廣泛應(yīng)用于DVA的參數(shù)優(yōu)化，成為國(guó)內(nèi)外認(rèn)可的經(jīng)典理論。由于通過(guò)固定點(diǎn)理論求得的DVA的最優(yōu)參數(shù)并非是精確解，Nishihara和Asami[6-8]推導(dǎo)得到了DVA的級(jí)數(shù)解，發(fā)現(xiàn)與固定點(diǎn)理論推導(dǎo)的結(jié)果非常接近。經(jīng)典的DVA雖然能夠有效減小主系統(tǒng)振動(dòng)，但只對(duì)高頻振動(dòng)效果明顯，當(dāng)主系統(tǒng)受到低頻激擾時(shí)，它們的減振效果會(huì)明顯變差。近些年來(lái)，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)負(fù)剛度元件能夠提高振動(dòng)控制系統(tǒng)的控制性能。負(fù)剛度的概念由Molynewx[9]首次提出。為了提高振動(dòng)控制的性能，Alabuzhev et al[10]提出在隔振系統(tǒng)中使用負(fù)剛度裝置。Lakes et al[11]研究發(fā)現(xiàn)負(fù)剛度元件本身是不穩(wěn)定的，需要與正剛度元件并聯(lián)使用才能發(fā)揮作用。彭獻(xiàn)等[12-13]從能量角度分析了正、負(fù)剛度并聯(lián)系統(tǒng)的工作原理，并且提出了基于正、負(fù)剛度并聯(lián)使用的準(zhǔn)零剛度隔振器的設(shè)計(jì)方法。彭解華等[14]強(qiáng)調(diào)了正、負(fù)剛度元件并聯(lián)使用的穩(wěn)定性問(wèn)題，從能量角度推導(dǎo)了彈性系統(tǒng)靜態(tài)穩(wěn)定性的剛度準(zhǔn)則。彭海波等[15-17]基于負(fù)剛度元件的穩(wěn)定性提出預(yù)加荷載使主系統(tǒng)產(chǎn)生的最大位移不大于固定點(diǎn)處響應(yīng)值時(shí)，系統(tǒng)將處于穩(wěn)定狀態(tài)，研究發(fā)現(xiàn)在3種經(jīng)典的DVA模型中加入接地負(fù)剛度元件能夠提高DVA的減振效果。

序列二次規(guī)劃算法收斂性好、計(jì)算效率高，是一種求解約束非線性優(yōu)化問(wèn)題的有效方法[18-20]。Matlab 作為目前科學(xué)與工程計(jì)算的主流軟件，其優(yōu)化工具箱中有許多優(yōu)化函數(shù)，其中fminimax函數(shù)基于序列二次規(guī)劃法可以用來(lái)求解最大值最小化問(wèn)題。由于在動(dòng)力吸振系統(tǒng)中，主系統(tǒng)的幅頻曲線存在2個(gè)峰值，H∞優(yōu)化的最終目的是為了讓這2個(gè)峰值等高且盡可能地降低，本質(zhì)上是最大值最小化問(wèn)題，可以應(yīng)用fminimax函數(shù)對(duì)DVA進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。本文提出了一種含有負(fù)剛度元件的動(dòng)力吸振器模型，由于推導(dǎo)公式比較復(fù)雜，首先利用Matlab優(yōu)化工具箱編寫(xiě)了優(yōu)化程序，驗(yàn)證了程序的有效性與正確性，然后對(duì)所提出的模型進(jìn)行了數(shù)值參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到了該模型的局部最優(yōu)參數(shù)，與其他模型對(duì)比發(fā)現(xiàn)本文模型具有良好的減振性能。

圖1 動(dòng)力吸振器模型

1 動(dòng)力吸振器模型

圖1所示為本文提出的含有負(fù)剛度元件的動(dòng)力吸振器模型，其中，m1為主系統(tǒng)質(zhì)量；m2為吸振器質(zhì)量；k1為主系統(tǒng)剛度；k2為吸振器剛度；k3為接地負(fù)剛度元件的剛度；c2為阻尼器的阻尼；x1、x2分別為主系統(tǒng)的位移和動(dòng)力吸振器的位移，主系統(tǒng)與接地負(fù)剛度元件同時(shí)受到振幅為x0、頻率為ω的簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)。

根據(jù)牛頓第二定律可以得到該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程為

(1)

(2)

設(shè)解的形式為x1=X1ejωt,x2=X2ejωt并代入式(2)得到

X1=[x0(jA1+B1)]/(jC1+D1)

(3)

進(jìn)一步求得主系統(tǒng)的振幅放大因子

(4)

式中,A2=2βλ(1+nμβ2)；B2=(1+n)β2-λ2+nμβ4；C2=2βλ[1+nμβ2-λ2(1+μ)]；D2=(1+n)β2+λ4+nμβ4-λ2[1+β2(1+n+μ)]。

圖2 在不同阻尼比下的歸一化幅頻曲線

由固定點(diǎn)理論易證歸一化的幅頻曲線均通過(guò)2個(gè)獨(dú)立于阻尼比的點(diǎn)，也就是該模型主系統(tǒng)幅頻曲線的固定點(diǎn)。圖2中給出了阻尼比分別為0.2、0.4和0.6時(shí)的歸一化幅頻曲線，從圖中可以看出對(duì)于不同的阻尼比，曲線均通過(guò)P、Q兩點(diǎn)。從理論角度看，該模型可以運(yùn)用固定點(diǎn)理論進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，但是負(fù)剛度項(xiàng)的存在使得解析公式較為復(fù)雜，于是嘗試用數(shù)值優(yōu)化方法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2 動(dòng)力吸振器的數(shù)值優(yōu)化方法

2.1 數(shù)值優(yōu)化方法的Matlab實(shí)現(xiàn)

對(duì)于一般的DVA來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)的頻率比與阻尼比的數(shù)值分別為在區(qū)間[0,2]與[0,1]內(nèi)，于是DVA的H∞優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可以表示為

(5)

式中，β和ξ分別為系統(tǒng)的頻率比和阻尼比；A是以頻率比和阻尼比作為變量的函數(shù)。

Matlab優(yōu)化工具箱中自帶的fminimax函數(shù)可以直接調(diào)用，不需要進(jìn)行復(fù)雜的程序編寫(xiě)，其使用方法為[21]:[x,fval,maxfval]=fminimax(@fun,x0,a,b,Aeq,Beq,lb,ub)，其中，x為最優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量，fval為目標(biāo)函數(shù)值，maxfval為目標(biāo)函數(shù)的最大值，fun為目標(biāo)函數(shù)，x0為自變量的初值(可以用隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生)，a、b為線性不等式約束ax≤b,Aeq、Beq為線性等式約束，lb、ub為自變量的下界與上界。

圖3 局部最優(yōu)解和全局最優(yōu)解

在使用該函數(shù)時(shí)有一些需要注意的問(wèn)題：該函數(shù)對(duì)自變量的初值x0的選取比較敏感，選擇不同的初值可能會(huì)得到不同的結(jié)果，因此為了使數(shù)據(jù)真實(shí)有效，對(duì)文中出現(xiàn)的每個(gè)模型均使用隨機(jī)數(shù)作為自變量的初值并運(yùn)行了100次。為了得到有意義的系統(tǒng)參數(shù)，盡管把系統(tǒng)的頻率比與阻尼比的取值范圍設(shè)為[0,2]與[0,1]，有時(shí)可能會(huì)在此區(qū)間內(nèi)得到局部最優(yōu)解和全局最優(yōu)解，如圖3所示，其中M處為局部最優(yōu)解，N處為全局最優(yōu)解，這時(shí)能夠使主系統(tǒng)位移的時(shí)間歷程曲線收斂的解才是DVA的最優(yōu)參數(shù)。

2.2 數(shù)值優(yōu)化方法的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證數(shù)值優(yōu)化方法的正確性，使用該方法對(duì)圖4所示的Voigt模型以及圖5所示的含有負(fù)剛度元件的Voigt模型進(jìn)行了研究。

圖4 Voigt型動(dòng)力吸振器

圖5 含負(fù)剛度元件的Voigt模型

2.2.1 Voigt型DVA的數(shù)值優(yōu)化

表1 Voigt模型的最優(yōu)參數(shù)

圖6 Voigt型DVA主系統(tǒng)歸一化的幅頻曲線

圖7 最優(yōu)參數(shù)隨質(zhì)量比的變化曲線

從圖6中可以看出，由數(shù)值優(yōu)化方法和解析法得到的主系統(tǒng)幅頻曲線幾乎完全重合，圖7中由2種方法得到的最優(yōu)頻率比曲線完全吻合，而最優(yōu)阻尼比的曲線稍有偏離，其原因已在上文給出，屬于正?，F(xiàn)象。據(jù)此判斷該數(shù)值優(yōu)化方法適用于Voigt型DVA。

2.2.2 含負(fù)剛度的Voigt模型的數(shù)值優(yōu)化

圖5所示的含負(fù)剛度元件的Voigt模型，其主系統(tǒng)受到振幅為x0、頻率為ω的簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)，彭海波等[15]研究了該模型主系統(tǒng)受到振幅為F0、頻率為ω的簡(jiǎn)諧力激勵(lì)時(shí)的減振效果。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)在受到相同頻率的位移激勵(lì)和力激勵(lì)的情況下，主系統(tǒng)的振幅放大因子完全相同。利用固定點(diǎn)理論及負(fù)剛度理論可以得到解析方法下圖5所示模型的最優(yōu)參數(shù)表達(dá)式[15]

(6)

進(jìn)一步整理后得到

(7)

下面使用數(shù)值優(yōu)化方法對(duì)該模型進(jìn)行優(yōu)化，選取質(zhì)量比μ=0.1，得到了2組頻率比、阻尼比和負(fù)剛度比的數(shù)值解

(8)

(9)

通過(guò)觀察主系統(tǒng)的位移時(shí)間歷程曲線是否收斂可以驗(yàn)證2組參數(shù)的有效性。使用式(8)和式(9)中得到的優(yōu)化參數(shù)，分別繪制了當(dāng)λ=1時(shí)主系統(tǒng)位移的時(shí)間歷程曲線如圖8(a)和圖8(b) 所示，當(dāng)系統(tǒng)使用式(8)中的參數(shù)時(shí)，主系統(tǒng)的位移時(shí)程曲線才能夠收斂，因此這組參數(shù)是該模型的最優(yōu)參數(shù)。表2匯總了μ=0.1時(shí)解析法和數(shù)值優(yōu)化方法得出的最優(yōu)參數(shù)值及兩者之間的偏差，比較各參數(shù)發(fā)現(xiàn)2種方法得到的最優(yōu)負(fù)剛度比偏差極小，最優(yōu)頻率比的偏差不超過(guò)2%，最優(yōu)阻尼比的偏差較大。結(jié)合式(6)可知，由于數(shù)值優(yōu)化方法與解析法得到的最優(yōu)參數(shù)nopt存在微小的偏差，在βopt和ξ2opt中該偏差被放大了。除此之外，與Voigt型DVA的情況相同，在求解ξ2opt時(shí)將2個(gè)固定點(diǎn)處求得的最優(yōu)值ξP和ξQ的平均值作為最優(yōu)參數(shù)是最優(yōu)阻尼比偏差較大的主要原因。

圖8 主系統(tǒng)位移時(shí)間歷程

圖9 歸一化的主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線

表2 含負(fù)剛度元件的Voigt模型的最優(yōu)參數(shù)

為了更直觀地比較2種方法的優(yōu)化效果，在各自最優(yōu)參數(shù)下繪制了主系統(tǒng)歸一化的幅頻響應(yīng)曲線如圖9所示。從圖9中可以看出數(shù)值優(yōu)化達(dá)到了與解析法相近的優(yōu)化效果，實(shí)現(xiàn)了共振峰值的完全等高設(shè)計(jì)，而且數(shù)值優(yōu)化相比于解析法繪制的幅頻曲線的峰值要更低，達(dá)到了更好的優(yōu)化效果。

通過(guò)上述分析，將基于fminimax函數(shù)的數(shù)值優(yōu)化方法應(yīng)用于DVA的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，達(dá)到了與解析法相同的優(yōu)化效果，驗(yàn)證了該數(shù)值優(yōu)化方法在DVA優(yōu)化設(shè)計(jì)中的可行性，為動(dòng)力吸振器的參數(shù)優(yōu)化提供了一種方法。

3 動(dòng)力吸振器的數(shù)值優(yōu)化

3.1 最優(yōu)參數(shù)的求解及驗(yàn)證

將圖1所示模型的頻率比β、阻尼比ξ2和負(fù)剛度比n作為設(shè)計(jì)變量，以β、ξ2和n的取值范圍作為約束條件，將式(4)中主系統(tǒng)的振幅放大因子作為目標(biāo)函數(shù)，選取質(zhì)量比μ=0.1，使用數(shù)值優(yōu)化方法對(duì)DVA進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。隨機(jī)產(chǎn)生初始點(diǎn)x0運(yùn)行了100次后發(fā)現(xiàn)得到了很多組不同的解(由于這些解并不能幫助得到本模型的最優(yōu)參數(shù)，并未在文中列出)，與圖3中描述的情況類似，其中還存在一些導(dǎo)致主系統(tǒng)位移時(shí)程曲線發(fā)散的解。出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因是fminimax函數(shù)對(duì)初值x0比較敏感，對(duì)于該模型來(lái)說(shuō)較難找到有意義的最優(yōu)解，但是發(fā)現(xiàn)通過(guò)數(shù)值優(yōu)化方法求得的頻率比數(shù)值幾乎都位于區(qū)間[1.9,2]，這說(shuō)明該模型的最優(yōu)頻率比就在此區(qū)間內(nèi)。于是通過(guò)減小頻率比的上界，試圖尋找該系統(tǒng)的局部最優(yōu)解，當(dāng)頻率比的上界減小到一定值后，無(wú)論隨機(jī)產(chǎn)生的初值x0為何值，經(jīng)過(guò)多次循環(huán)后只會(huì)得到同一組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)便是該系統(tǒng)的局部最優(yōu)解。每次將上界減小0.1，最終在頻率比上界為1.9時(shí)得到了100組相同的數(shù)據(jù)：βopt=1.900，ξ2opt=0.337，nopt=-0.734。將這組參數(shù)代入到式(4)，繪制了主系統(tǒng)歸一化的幅頻曲線，并通過(guò)繪制主系統(tǒng)位移時(shí)程曲線和四階榮格庫(kù)塔法進(jìn)行了驗(yàn)證，如圖10所示，圖10(a)中給出了主系統(tǒng)的位移時(shí)程曲線；圖10(b)中給出了主系統(tǒng)歸一化的幅頻曲線。

圖10 數(shù)值優(yōu)化參數(shù)的驗(yàn)證

從圖10看出，主系統(tǒng)的位移時(shí)程曲線是收斂的，由數(shù)值優(yōu)化方法和四階榮格庫(kù)塔法得到的幅頻曲線吻合良好，說(shuō)明數(shù)值優(yōu)化方法求得的最優(yōu)參數(shù)在本系統(tǒng)中是正確且有意義的。盡管通過(guò)數(shù)值優(yōu)化方法得到的最優(yōu)頻率精度只有小數(shù)點(diǎn)后一位，但是該模型仍然具有優(yōu)良的減振性能，其最大振幅放大因子數(shù)值在1附近，且幅頻曲線的第一個(gè)共振峰幾乎位于λ=0處，說(shuō)明該系統(tǒng)具有較低的諧振頻率。

3.2 與其他模型的對(duì)比

圖11 隨機(jī)激勵(lì)時(shí)間歷程

在實(shí)際工程中大部分激勵(lì)為隨機(jī)激勵(lì)，因此進(jìn)一步研究了主系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)，構(gòu)建了100 s均值為0、方差為1的隨機(jī)位移激勵(lì)，其時(shí)間歷程如圖11所示，主系統(tǒng)不附加DVA的位移響應(yīng)如圖12(a)所示。選取主系統(tǒng)質(zhì)量為m1=1 kg、質(zhì)量比μ=0.1、主系統(tǒng)剛度為k1=100 N/m，根據(jù)文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[15]和本文得到的最優(yōu)參數(shù)繪制了主系統(tǒng)附加3種不同DVA的位移響應(yīng)曲線如圖12(b)～圖12(d)所示。觀察圖12可以發(fā)現(xiàn)，本文模型相比于其他模型具有更優(yōu)良的減振性能。

圖12 主系統(tǒng)時(shí)間歷程

4 結(jié)論

研究了一種含負(fù)剛度的低頻動(dòng)力吸振器，由于該模型很難通過(guò)解析法進(jìn)行研究，提出了一種基于動(dòng)力吸振器H∞優(yōu)化的數(shù)值優(yōu)化方法，并驗(yàn)證了該方法的正確性，使用數(shù)值優(yōu)化方法對(duì)該模型進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化。研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)質(zhì)量比μ=0.1時(shí)，通過(guò)數(shù)值優(yōu)化方法得到了系統(tǒng)的最優(yōu)頻率比、最優(yōu)阻尼比和最優(yōu)負(fù)剛度比分別為：βopt=1.900，ξ2opt=0.337，nopt=-0.734，盡管并沒(méi)有得到非常精確的系統(tǒng)參數(shù)，但是其幅頻曲線的第一個(gè)共振峰幾乎位于λ=0處，且最大振幅放大因子數(shù)值在1附近，說(shuō)明該系統(tǒng)具有較低的諧振頻率，在簡(jiǎn)諧激勵(lì)與隨機(jī)激勵(lì)下與其他模型相比，本文模型能夠更大程度地抑制系統(tǒng)振動(dòng)，表現(xiàn)出了優(yōu)良的減振性能。進(jìn)一步研究表明，本文提出的數(shù)值優(yōu)化方法還能夠?qū)χ飨到y(tǒng)含阻尼的模型進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，該方法為一些復(fù)雜而難以進(jìn)行解析推導(dǎo)的線性系統(tǒng)提供了一種可行的優(yōu)化方案。