劉 超，高 展

（同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海200092）

懸索橋結(jié)構(gòu)具有幾何非線性的特點(diǎn)，計(jì)算復(fù)雜。Ochsendorf等［1］指出，19世紀(jì)初數(shù)學(xué)家Euler針對主纜線形提出的拋物線理論，即在沿跨均布荷載下，主纜的形狀為拋物線，其水平分力為恒定值，忽略了主纜重量是沿著主纜曲線分布的特征，僅適用于跨度較小的橋梁。隨著懸索橋跨度的不斷增大，拋物線理論的計(jì)算誤差也逐漸增大，不能滿足設(shè)計(jì)要求，于是，懸鏈線模型［2］、分段懸鏈線法［3］被先后提出，并廣泛應(yīng)用至今。之后，Ohtsuki還提出了一種簡化節(jié)線法［4］?；趶椥詰益溇€單元，Kim等［5］提出一種自錨式懸索橋成橋狀態(tài)分析方法——空間彈性懸鏈線法（TUCD），此法首先使用空間彈性懸鏈線法對主纜及吊索進(jìn)行分析，然后對全橋進(jìn)行非線性迭代計(jì)算直至滿足收斂準(zhǔn)則。宋旭明等［6］提出需要仔細(xì)考慮梁的壓縮對主纜的無應(yīng)力長度產(chǎn)生的影響。Kim等［7］考慮加勁梁和主塔的軸向壓縮，基于彈性懸鏈線單元和牛頓迭代法，提出了一種結(jié)合TUCD法和逐次替代初始力法的新算法。Sun等［8］提出了一種用桿系單元模擬整體橋梁求解主纜坐標(biāo)的方法。

我國懸索橋規(guī)范規(guī)定的纜形計(jì)算方法即為分段懸鏈線法［9］。但該方法存在的不足一直沒有得到很好解決，如絕對收斂速度不夠快且不易收斂，尤其是在計(jì)算空纜的過程中，由于出現(xiàn)了嵌套循環(huán)，運(yùn)算效率和精度都有所下降。本文提出了一種基于整體力學(xué)分析的坐標(biāo)體系新方法，旨在提高數(shù)值方法的計(jì)算精度和效率。

1 基于整體力學(xué)分析的坐標(biāo)體系法

基于力學(xué)分析的坐標(biāo)方法是將自錨式懸索橋主纜看作一個(gè)整體，其力學(xué)概念明確，收斂速度快，計(jì)算精度高。本文利用該方法基于如下假定分析平面主纜：

（1）主纜是理想柔性的，既不能受壓也不能受彎，不考慮截面的抗彎剛度，且在計(jì)算主纜變形時(shí)不考慮抗拉剛度的變化。

（2）主纜材料符合胡克定律，應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系。

（3）主纜錨固點(diǎn)位置、理論交點(diǎn)位置、跨中垂度以及吊桿力為設(shè)計(jì)已知量。

1.1 基本方程

將主纜分離計(jì)算成橋纜形，如圖1所示。

圖1 主纜受力分析圖Fig.1 Force analysis of main cable

圖1 中，G2為主纜在主塔頂部的理論交點(diǎn)，G1、G3分別為主纜與加勁梁錨固區(qū)位置。

在成橋狀態(tài)下，G1、G2、G33個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是已知的，可視為支承端。理想情況下，主塔處主纜的水平分力是相等的，G2點(diǎn)只提供豎向反力Rv2，G1點(diǎn)和G3點(diǎn)分別提供水平向反力RH1、RH3和豎向反力RV1、RV3。主纜除了受到3個(gè)支點(diǎn)的支座反力以外，還受到吊點(diǎn)的豎向力Wi以及各節(jié)段主纜的自重Pk。其中，主跨共有N1個(gè)吊點(diǎn)以及N1+1段主纜，邊跨共有N2個(gè)吊點(diǎn)以及N2+1段主纜，N=N1+N2。

由水平方向的合力為零，得

由豎直方向的合力為零，得

由G3點(diǎn)的力矩和為零，得

式中：X0i為支點(diǎn) Gi的軸向坐標(biāo)；Y0i為支點(diǎn) Gi的豎向坐標(biāo)；Xi為第i個(gè)吊點(diǎn)的軸向坐標(biāo)；Xk為第k段主纜中心的軸向坐標(biāo)。

將G1G2段的主纜隔離，該段主纜對G2點(diǎn)的力矩和為零，得

從圖1可以看出，主纜體系的支反力一共有5個(gè)，通過受力分析得到2個(gè)力平衡方程，2個(gè)力矩平衡方程，4個(gè)方程不能解出5個(gè)未知量?？紤]到主纜在主跨的跨中垂度設(shè)計(jì)值是已知的，即主纜在主跨跨中的坐標(biāo)已知。故可取該點(diǎn)左邊或右邊的主纜為半結(jié)構(gòu)，如果結(jié)構(gòu)體系是平衡的，那么該結(jié)構(gòu)對任一點(diǎn)的力矩都為零，所以可以用半結(jié)構(gòu)對主纜跨中點(diǎn)取力矩為零來得到第5個(gè)平衡方程為

式中：NQ為半跨主跨吊點(diǎn)的個(gè)數(shù)；XQ為主纜跨中點(diǎn)Q的軸向坐標(biāo)；YQ為主跨中點(diǎn)Q的豎向坐標(biāo)。

式（1）～式（5）即為基于整體力學(xué)分析坐標(biāo)法的基本方程。

1.2 成橋纜形求解

在5個(gè)平衡方程中，（X0i，Y0i）表示支點(diǎn)Gi的坐標(biāo)值，（XQ，YQ）表示主跨垂點(diǎn)的坐標(biāo)，都為已知量；吊桿力Wi也是已知量；若主纜自重已知，聯(lián)立式（1）～式（5）可求出5個(gè)未知支反力。由于主纜的初始纜形未知，所以其初始重力也是未知的。

假設(shè)纜形為直線，即將G1G2、G2G3通過直線連接，以索夾位置為分界點(diǎn)將主纜分段。每一段的主纜長度已知，若忽略泊松效應(yīng)，可以用主纜的截面積乘上節(jié)段長度再乘上重度表示節(jié)段主纜的重力Pk，作用點(diǎn)在節(jié)段中心。

利用5個(gè)一次方程和高斯消元法，可求出5個(gè)反力。此時(shí)，整個(gè)體系的內(nèi)力都是已知的，將主纜的初始纜形假設(shè)為直線，整個(gè)體系是不平衡的。以跨中某一索夾吊點(diǎn)為例，主纜在吊點(diǎn)處是一條直線，吊桿力的方向是豎直向下的，一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的3個(gè)力，其中2個(gè)在同一條直線上，這個(gè)節(jié)點(diǎn)不能達(dá)到力的平衡。為了求出合理的纜形，可以取任意吊點(diǎn)左邊的結(jié)構(gòu)為半結(jié)構(gòu)，吊點(diǎn)的縱向坐標(biāo)Xi是已知的，把吊點(diǎn)的高度坐標(biāo)Yi視為未知量，利用吊點(diǎn)一側(cè)的力對吊點(diǎn)的力矩和為零，求出每個(gè)吊點(diǎn)的坐標(biāo)。

半結(jié)構(gòu)對吊點(diǎn)力矩和為零的關(guān)系式為

求解吊點(diǎn)坐標(biāo)為

式（6）、式（7）中，主纜重力是對應(yīng)上一個(gè)纜形的節(jié)段重力，在計(jì)算得到新的纜形之后，由于主纜重力發(fā)生變化，體系變得不平衡，需要重復(fù)上述步驟，先重新計(jì)算支反力，再計(jì)算得到新的纜形，直到相鄰兩次纜形計(jì)算的變化量滿足要求，即

式中：Yij為第j次迭代的第i個(gè)吊點(diǎn)豎向坐標(biāo)。成橋纜形計(jì)算流程如圖2所示。

圖2 成橋纜形計(jì)算流程圖Fig.2 Flowchart of cable shape finding in finished stage

1.3 空纜纜形求解

空纜的計(jì)算方法與成橋纜形的計(jì)算方法類似，吊桿力為零，受力如圖3所示。

圖3 空纜狀態(tài)主纜受力示意圖Fig.3 Force analysis of main cable in unloaded stage

空纜纜形計(jì)算時(shí)也存在5個(gè)未知的支反力，4個(gè)已知的力平衡方程?？绽|狀態(tài)下的主纜跨中垂度未知，故需要建立其他平衡方程。由于從空纜狀態(tài)到成橋狀態(tài)主纜的錨固點(diǎn)不變，所以可以利用主纜的無應(yīng)力長度不變進(jìn)行求解。

在成橋狀態(tài)下，每一個(gè)主纜單元的拉力在整個(gè)節(jié)段內(nèi)不發(fā)生變化，主纜單元的形變量可以表示為

式中：F為主纜節(jié)段的拉力，F(xiàn)=（H2+V2）0.5，H為節(jié)點(diǎn)處的水平力，V為節(jié)點(diǎn)處的豎向力；E為主纜的彈性模量；A為主纜的截面積。

成橋狀態(tài)下主纜的無應(yīng)力長度可表示為

式中：S為成橋狀態(tài)下的主纜有應(yīng)力長度。

有了每一段主纜的無應(yīng)力長度，就能得到每一個(gè)吊點(diǎn)到主纜初始錨固點(diǎn)的無應(yīng)力長度，第i個(gè)吊點(diǎn)對應(yīng)的無應(yīng)力長度如下所示：

利用空纜和成橋主纜的無應(yīng)力長度相等求解空纜纜形。雖然空纜垂度未知，但可以假設(shè)一個(gè)初始垂度D，這樣空纜纜形的解法和成橋纜形的解法一致，同樣是利用5個(gè)方程求解5個(gè)未知反力，最后反推主纜坐標(biāo)。計(jì)算流程如圖4所示。

圖4 空纜纜形求解流程圖Fig.4 Flowchart of cable shape finding in unloaded stage

在平面纜形計(jì)算中，空纜纜形的垂度和成橋纜形比較接近。在計(jì)算過程中，得到的空纜纜形垂度在0～2D之間。如果將D取為成橋垂度，求得的空纜垂度范圍在零到兩倍的成橋跨中垂度，與實(shí)際情況相符?？梢?，這種方法計(jì)算出來的纜形是可靠的，而且收斂速度快。

1.4 索鞍預(yù)偏求解

由于主纜在成橋狀態(tài)與空纜狀態(tài)下的內(nèi)力不同，所以應(yīng)設(shè)置索鞍預(yù)偏，消除主纜對主塔的水平力。從空纜到成橋的過程中，隨著吊桿的張拉，主纜逐漸回到設(shè)計(jì)位置。計(jì)算空纜纜形的原理是主纜的無應(yīng)力長度不變。利用類似求解空纜垂度的方法可得索鞍預(yù)偏。具體步驟如下：

（1）假設(shè)在初始條件下，鞍座偏向邊跨的預(yù)偏量為DP，預(yù)偏調(diào)整量TP=DP/2。

（2）計(jì)算空纜狀態(tài)下的主跨主纜無應(yīng)力長度S0S。

（3）SS為成橋狀態(tài)下主跨主纜無應(yīng)力長度。如果S0S＞SS，減小預(yù)偏量，DP=DP-TP。

（4）如果S0S＜SS，增加預(yù)偏量，DP=DP+TP。

（5）減小預(yù)偏調(diào)整量：TP=TP/2。

（6）通過改變預(yù)偏量和重復(fù)步驟（2）～（5）計(jì)算空纜纜形，直到主跨空纜纜形的無應(yīng)力長度與主跨成橋狀態(tài)纜形的無應(yīng)力長度相等或兩者之差滿足精度要求。

2 工程概述

如圖5所示，河北省涉縣將軍大道赤水灣大橋工程主橋?yàn)樽藻^式懸索橋。全橋長239 m，橋?qū)?2 m。其中，主跨129 m為鋼箱梁，邊跨（40+40+30）m為混凝土箱梁；主塔采用鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)；主纜為2根預(yù)制平行鋼絲索股，對稱布置，成橋狀態(tài)下主跨跨度129 m，矢跨比為1/12.5，兩主纜橫橋向中心間距為18 m；全橋共有44根吊索，吊索間距為8 m。該橋已于2019年2月完成吊索張拉施工。

圖5 赤水灣大橋總體布置圖（單位：cm）Fig.5 Layout of Chishui Bay Bridge(unit:cm)

3 方法應(yīng)用

本文的主纜找形法順利指導(dǎo)了該橋的施工。赤水灣大橋空纜和成橋狀態(tài)照片如圖6和圖7所示。圖8和圖9分別表示空纜和成橋時(shí)候主纜坐標(biāo)。

圖6 空纜照片F(xiàn)ig.6 Picture of bridge in unloaded stage

圖7 吊桿張拉完成Fig.7 Hangers having been strained

圖8 空纜實(shí)測坐標(biāo)Fig.8 Measured coordinates of main cable in unloaded stage

圖9 吊桿張拉完成主纜實(shí)測坐標(biāo)Fig.9 Measured coordinates of main cable after straining

基于整體力學(xué)分析的坐標(biāo)法，用Matlab對纜形進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，同時(shí)利用有限元軟件Midas Civil建立有限元模型，對纜形進(jìn)行求解，有限元模型如圖10所示。用兩種不同的方法得到的空纜和成橋纜型與實(shí)測值的誤差如圖11和圖12所示。

圖10 Midas有限元模型Fig.10 Finite element structural model of Midas

圖11 空纜纜形比較Fig.11 Comparisonofcableshapesinunloadedstage

圖12 吊桿張拉完成時(shí)的纜形比較Fig.12 Comparison of cable shapes after straining

從圖11和圖12可以看出，采用論文方法得到的理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)測結(jié)果比較一致。論文方法和有限元方法計(jì)算得到的空纜纜形與實(shí)測纜形的誤差均小于1.5 mm。對于成橋纜形，采用有限元方法計(jì)算的纜型理論值與實(shí)測纜形的最大誤差為40 mm，采用論文方法計(jì)算的纜型理論值與實(shí)測纜形的最大誤差為56 mm。成橋纜型誤差大主要是由于吊桿力理論值與實(shí)際值存在誤差。

4 初始參數(shù)對結(jié)果的影響

利用本文提出的找形新方法對索鞍、主梁壓縮量、泊松效應(yīng)和主纜單元?jiǎng)澐志冗M(jìn)行影響性分析。

4.1 鞍座的影響

在纜形計(jì)算時(shí)，鞍座近似看作支座，提供向上的支反力；鞍座兩端的主纜為直線段。但實(shí)際上主纜在鞍座位置是圓弧形的，從成橋纜形到空纜纜形的過程中，主纜和鞍座的切點(diǎn)不斷發(fā)生變化，需要考慮鞍座對纜形的影響。

利用鞍座處的主纜段和鞍座圓弧相切，求出主纜和索鞍的切點(diǎn)。在圖13中，O點(diǎn)為鞍座圓弧的圓心；點(diǎn)A、點(diǎn)B為主纜與鞍座的切點(diǎn)；P為主纜的理論交點(diǎn)。在主纜架設(shè)時(shí)，A、B、P這3點(diǎn)是可變的。在計(jì)算主纜有應(yīng)力長度時(shí)，要先計(jì)算切點(diǎn)A、B的位置。利用主纜的有應(yīng)力長度減去折線APB的長度后加上圓弧AB的長度即為主纜的實(shí)際有應(yīng)力長度。修正索鞍處主纜的無應(yīng)力長度后，重新計(jì)算主纜纜形。這樣能充分考慮圓弧段主纜的特性，以及空纜到成橋狀態(tài)主纜與鞍座切點(diǎn)發(fā)生的變化。

圖13 鞍座和主纜Fig.13 Saddle and main cable

圖14 表示鞍座對空纜纜形的影響。考慮鞍座后，空纜索夾豎向坐標(biāo)產(chǎn)生了最大25 mm左右的變化。

圖14 鞍座對空纜纜形的影響Fig.14 Influence of saddle on unloaded cable shape

4.2 主梁壓縮對纜形的影響

有限元計(jì)算結(jié)果顯示，赤水灣橋在成橋狀態(tài)下，鋼梁段的壓縮量為18.8 mm，混凝土梁段的壓縮量為19.4 mm。

在本文方法中，通過改變邊界處的坐標(biāo)可以求出考慮主梁壓縮后的空纜坐標(biāo)。從圖15中可見，考慮主梁壓縮后空纜纜形發(fā)生明顯變化，索夾位置向錨固區(qū)方向偏移。主纜的豎向坐標(biāo)最大變化值為18 cm。

4.3 泊松效應(yīng)的影響

圖15 主梁壓縮對空纜纜形的影響Fig.15 Influence of main beam compression on unloaded cable shape

為了研究泊松效應(yīng)對成橋纜形的影響，分別計(jì)算了兩種不同條件下的主纜纜形：①不考慮泊松效應(yīng)，利用初始截面面積得到的主纜重度為q1=5.158 8 kN·m－1；②考慮泊松效應(yīng)，考慮初始截面面積的變化得到重度為q2=4.973 7 kN·m－1。由圖16可見，在不同重度主纜的作用下，纜形的差別最大為0.4mm。

圖16 不同重度纜形比較Fig.16 Comparisonofcableshapesatdifferent weights

4.4 劃分精度對纜形的影響

本文提出的方法本質(zhì)上是將主纜劃分成線單元進(jìn)行求解。理論上說單元?jiǎng)澐衷骄?xì)，得到的計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確。分析以下兩種情況：①每個(gè)吊點(diǎn)之間的主纜作為一個(gè)主纜單元；②按米劃分，即每個(gè)吊點(diǎn)之間的主纜劃分成8個(gè)主纜單元。經(jīng)過計(jì)算，在成橋狀態(tài)下，這兩種劃分方法得到的纜形相差最大僅有0.34 mm，位于主跨跨中附近。

5 結(jié)論

（1）提出一種新的基于整體力學(xué)分析的坐標(biāo)體系方法求解自錨式懸索橋的纜形。該方法將主纜作為一個(gè)整體進(jìn)行受力分析，不同于分段懸鏈線法假設(shè)支反力，通過反復(fù)迭代求解纜形。論文方法通過假設(shè)初始纜形為直線，先求出支反力再進(jìn)行迭代，具有收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)。在赤水灣大橋上的應(yīng)用，顯示該方法計(jì)算得到的纜形與實(shí)測值較為接近，證明其計(jì)算精度高。

（2）以赤水灣橋?yàn)槔捎帽疚姆椒ㄟM(jìn)行參數(shù)分析，得出如下結(jié)論：①主塔處索鞍會對主纜的線形產(chǎn)生一定的影響，可以利用直線與圓弧相切求出主纜與索鞍的切點(diǎn)，再利用調(diào)整切點(diǎn)位置以及無應(yīng)力長度的方法修正纜形。②主梁的壓縮會對纜形產(chǎn)生較大的影響。③由泊松效應(yīng)引起的主纜重度變化對纜形的影響可以忽略不計(jì)。④主纜單元的劃分精度對纜型計(jì)算結(jié)果影響有限。