岑宇暉， 徐進友， 王亮， 丑述銘， 白溢文

（天津理工大學a.天津市先進機電系統(tǒng)設計與智能控制重點實驗室；b.機電工程國家級實驗教學示范中心，天津300384)

0 引 言

齒輪傳動是應用最廣泛的機械傳動形式之一，具有效率高、工作性能可靠、傳動比恒定等特點。由于工作環(huán)境、制造和安裝等因素，輪齒極易產(chǎn)生裂紋，裂紋故障是齒輪失效的最主要形式。具有初始裂紋的齒輪隨著時間和負載的變化，將會導致斷齒等嚴重后果，嚴重影響機械設備的安全穩(wěn)定運行。因此研究裂紋齒輪的傳動特點、準確識別裂紋特征尤為重要。

當齒輪產(chǎn)生裂紋時，其嚙合剛度的變化會引起振動響應的相應變化，文獻[1]～[4]研究了裂紋齒輪的嚙合剛度變化規(guī)律及對傳動系統(tǒng)動態(tài)響應的影響，從而作為系統(tǒng)存在裂紋齒輪的判據(jù)。文獻[5]～[6]以具有裂紋的輪齒為研究對象，探討了裂紋位置、深度等參數(shù)對齒輪的固有頻率和振型的影響。

本文以整個齒輪為研究對象，基于有限元分析技術，通過對裂紋齒輪的精確建模，對其動力學參數(shù)進行對比分析，從而辨別齒輪裂紋的位置特征。

表1 直齒齒輪基本參數(shù)

1 齒輪建模

齒輪基本參數(shù)如表1所示。在圖1所示的坐標系中，Si表示任意半徑ri圓上的齒厚，αi、θi為該圓上的壓力角和漸開線展角。S、r、α、θ分別為分度圓上的齒厚、半徑、壓力角及展角。則任意圓上的齒厚可表示為

式中：壓力角αi=arccos（rb/ri）；rb為基圓半徑。

將式（1）離散化，其中ri的變化范圍為rb～ra，ra為齒頂圓半徑。在ANSYS中，利用APDL語言，編寫程序生成漸開線齒廓，并利用布爾運算生成軸孔，形成一個輪齒面。為劃分規(guī)則的映射網(wǎng)格將齒面分成幾個區(qū)域，如圖2所示。

圖1 齒輪參數(shù)示意圖

圖2 齒面模型

進一步通過拉伸、旋轉復制生成齒輪有限元模型如圖3所示。

為對比分析，利用相同辦法建立裂紋齒輪模型，裂紋參數(shù)定義如圖4所示。限于篇幅，文中僅列出齒根處裂紋，裂紋方向為α=60°，深度l=3 mm。所得有限元模型如圖5所示。

2 裂紋齒輪模態(tài)分析

邊界條件取內(nèi)孔表面節(jié)點固定。利用block lanczos法分別求解兩種齒輪的模態(tài)。

2.1 固有頻率和振型對比分析

圖3 完好齒輪有限元模型

圖4 裂紋參數(shù)

圖5 裂紋齒輪有限元模型

表2 固有頻率結果 Hz

完好齒輪和裂紋齒輪的固有頻率結果如表2所示。振型云圖如圖6～圖7所示。

從表中可以看出，完好齒輪由于對稱性，彎曲振動模式（表2中的2～3階、5～6階、7～8階模態(tài)）均為重頻，振型相差一個相位。裂紋齒輪由于裂紋破壞了原有的對稱性，使得彎曲振動模式的重頻特征消失，產(chǎn)生了頻率分裂現(xiàn)象[7]。

從完好齒輪和裂紋齒輪的固有頻率數(shù)值大小上看，二者的變化不明顯，振型也無本質區(qū)別。因此僅從固有頻率和振型無法辨別裂紋的特征。

圖6 完好齒輪振型

圖7 裂紋齒輪振型

2.2 模態(tài)曲率分析

本文采用模態(tài)曲率作為損傷指標判斷裂紋位置[8]。利用ANSYS后處理功能，將振型數(shù)據(jù)導出，并進行二階差分運算，獲得振型曲線的模態(tài)曲率變化規(guī)律。二階中央差分計算公式為

式中：yi為節(jié)點i的位移；h為相鄰節(jié)點之間的距離。

圖8～圖9為2階和3階振型圖和模態(tài)曲率變化曲線，圖中振型位移數(shù)據(jù)進行了歸一化處理，周向位置以x軸為起點，逆時針旋轉。

圖8 第二階振型和模態(tài)曲率曲線

圖9 第三階振型和模態(tài)曲率曲線

從前述結果可以看出，2階和3階振型均為1節(jié)徑的彎曲振動，振型存在一個相位差。在模態(tài)曲率變化曲線上可以看出。在90°附近有明顯的突變，即為存在裂紋的輪齒附近。從上述結果可以看出，通過模態(tài)曲率分析，可以初步判斷出裂紋故障所在齒的位置對于不同階數(shù)的振型，其模態(tài)曲率的變化趨勢基本一致，都是在裂紋處發(fā)生突變，利用相同方法可以得到其他模態(tài)階數(shù)的模態(tài)曲率曲線，可以發(fā)現(xiàn)不同階數(shù)的模態(tài)曲率的變化幅度不同，隨著模態(tài)階數(shù)的提高，變化幅度減小。

3 結 語

本文通過參數(shù)化建模得到裂紋齒輪的精確模型，利用ANSYS軟件求解了完好齒輪和裂紋齒輪的模態(tài)特征，并進行了對比分析。利用二階有限差分法獲得了模態(tài)曲率變化曲線，并通過模態(tài)曲率的變化判斷裂紋的輪齒的位置。本文的研究方法對于故障齒輪的損傷識別和故障診斷具有一定的參考價值。