多 濱，羅俊松，賈 勇，鐘曉玲，郭 勇

(成都理工大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 成都 610059)

無線通信信號處理領(lǐng)域中實時高精度的頻率估計對全數(shù)字解調(diào)器的解碼具有十分重要的理論和實用價值。在眾多頻率估計算法中，快速傅里葉變換法是經(jīng)典譜估計理論中的重要算法和理論基礎(chǔ)，尤其適用于確定性長信號的譜估計，具有算法復(fù)雜度低、計算量小、易于硬件實現(xiàn)的特點，但需要對信號實現(xiàn)整周期采樣，否則會導(dǎo)致嚴(yán)重的頻率泄露和柵欄效應(yīng)，應(yīng)用受到了極大的限制[1]。子空間分解類算法源于現(xiàn)代空間譜估計理論，一般分為兩類：一類是噪聲子空間類算法，典型代表為多重信號分類法(multiple signal classification,MUSIC)[2]；另一類是信號子空間類算法，典型代表為旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)估計信號參數(shù)法(ESPRIT)[3]。求根MUSIC(RMUSIC)算法則是用求多項式根的方法避免了傳統(tǒng)MUSIC算法的譜峰搜索過程，極大地降低了計算復(fù)雜度，具有更高的頻率分辨率，但在極低的信噪比(signal to noise ratios,SNR)下，該算法估計精度略有不足[4-5]。ESPRIT算法作為信號子空間類算法也同樣具有較高的估計精度，通過兩次特征值分解就可以直接估計出接收信號的頻率，但計算量相對較大[6-10]。

目前，結(jié)合法作為提高頻率估計精度和降低硬件實現(xiàn)復(fù)雜度的有效方法得到了廣泛的關(guān)注。文獻(xiàn)[11]首先提出了一種將FFT和FFT結(jié)合的算法(本文稱為F-F算法)，提高了頻率估計精度，降低了計算量。文獻(xiàn)[12]將FFT和MUSIC相結(jié)合(本文稱為F-M算法)，用于間諧波的頻率估計，不僅解決了FFT算法的頻率泄露和柵欄效應(yīng)問題，同時避免了耗時的譜峰搜索過程。文獻(xiàn)[13]將ESPRIT和RMUSIC(本文稱為E-RM算法)聯(lián)合，可用于解決數(shù)字解調(diào)器的頻率估計問題，通過計算復(fù)數(shù)矩陣向量的乘積，在一定程度上降低了計算復(fù)雜度，并保持較高的頻率估計精度。

高精度和實時性要求的矛盾一直都是頻率估計在高速全數(shù)字解調(diào)器中應(yīng)用的瓶頸。因此，研究一種既保證高精度，又滿足低計算量的頻率估計算法，具有重要的應(yīng)用前景。本文深入研究了基于子空間分解類算法、F-F、F-M和E-RM算法的實現(xiàn)特點，并針對上述技術(shù)的頻率估計精度仍有不足和計算量仍較高的問題，分別提出了將RMUSIC與FFT結(jié)合(本文稱為 R-F算法)和將ESPRIT與FFT結(jié)合(本文稱為E-F算法)的頻率估計算法，通過對信號頻率的預(yù)估計，再利用加窗插值FFT算法在已確定的細(xì)化域內(nèi)完成精估計。針對這兩種算法在高低SNR下的不同性能，本文還提出了一種具有可選結(jié)構(gòu)的RF-or-EF算法，通過事先設(shè)定的SNR閾值，能夠自適應(yīng)地選擇R-F算法或E-F算法進(jìn)行頻率估計，滿足各種SNR條件下的頻率估計需求。仿真結(jié)果表明，本文所提出的算法具有頻率估計精度高、實時性強(qiáng)、計算量小的特點，不會產(chǎn)生頻譜泄露，優(yōu)于現(xiàn)有的頻率估計算法。

1 基于子空間分解的信號頻率估計

基于相關(guān)矩陣特征分解的信號頻率估計是現(xiàn)代信號頻率估計的重要內(nèi)容，其中典型的代表有RMUSIC法和ESPRIT法。

1.1 基于RMUSIC算法的信號頻率估計

假設(shè)由K個復(fù)正弦波組成的信號為：

定義接收信號向量為r(n)=[r(n),r(n?1),···,r(n?M+1)]T，則有：

式中，

式中，n=1,2,···,L，L為樣本采樣點數(shù)；表示矩陣復(fù)共軛轉(zhuǎn)置。

由于aH(ωk)(k=1,2,···,K)與Ez正交，故可定義：

式中，zk=ejωk(k=1,2,···,K)是方程的根。根據(jù)求得的根即直接估計出信號頻率，其估計的頻率誤差比MUSIC算法小，精度更高[14-15]。

1.2 基于ESPRIT算法的信號頻率估計

ESPRIT算法是另一種基于子空間思想的信號頻率估計算法，即利用信號子空間的旋轉(zhuǎn)不變性求解出信號的特征參數(shù)。

假設(shè)解調(diào)器接收到的信號仍為式(2)所示向量。定義隨機(jī)過程并分別定義向量y(n)和矩陣 Φ 為：

式中，旋轉(zhuǎn)算子 Φ 滿足 ΦHΦ=ΦΦH=I，I是秩為M的單位陣。因此，由式(2)和式(6)可得：

由于s(n+1)=Φs(n)，所以式(8)可以表示為：

接收向量的自相關(guān)矩陣為：

對Rrr進(jìn)行特征分解，得到Rrr的最小特征值λmin=λM=σ2(λ1≥ λ2≥···≥ λM)，由 式(10)和 式(11)，定義如下矩陣對 {Crr,Crv}：

若存在標(biāo)量 λ和非零向量u，使得方程：

成立，則這樣的標(biāo)量 λ稱為矩陣對 {Crr,Crv}的廣義特征值[7]。當(dāng)矩陣Crr?λCrv是奇異時，該方程中的向量u有非零解，即行列式滿足：

故求解式(15)可以得到矩陣對 {Crr,Crv}的廣義特征值為

2 R-F高精度頻率估計算法

從上一節(jié)介紹可知，RMUSIC算法具有很高的頻率分辨率，且不需要搜索整個譜峰，但在低信噪比時分辨力還不夠。而FFT算法實現(xiàn)復(fù)雜度低、硬件易于實現(xiàn)，但對于信號非整周期采樣，則應(yīng)用受到限制[16]。

基于上述問題，首先提出R-F高精度頻率估計算法，具體步驟如下：

1)根據(jù)L個樣本觀測值r(0),r(1),···,r(L?1)，確定接收信號表達(dá)式；

4)確定M-K個噪聲子空間的特征向量；

5)求解式(5)，得到接收信號頻率的初步估計值；

6)確定細(xì)化域。執(zhí)行完步驟5)后，可以初步獲得信號頻率的粗略估計。因為真實頻率就在很小的范圍內(nèi)，如果只在一個很小的區(qū)域內(nèi)搜索，無疑會大大縮短搜索過程。由于RMUSIC算法精度相對較高，可以減小搜索范圍，降低了算法計算量，增強(qiáng)了實時性。因此，確定FFT算法的估計范圍為：

7)執(zhí)行加窗FFT算法進(jìn)行精估計，通過頻率細(xì)分在已經(jīng)確定的狹小的區(qū)域內(nèi)尋找譜峰位置。在搜索范圍S1上用FFT算法進(jìn)行如下計算，確定待估頻率，其表達(dá)式為：

式中，x(n)和X(f)分別代表信號的采樣序列及其相應(yīng)的變換系數(shù)；fs為采樣頻率。本文在FFT算法的基礎(chǔ)上，選取頻率檢測精度較高、頻譜泄漏抑制效果好且計算量較小的Hanning窗對信號進(jìn)行截斷，由文獻(xiàn)[1]可知，信號x(n)經(jīng)過加Hanning窗截斷后得到的序列為：

式中，wH(n)=0.5?0.5cos(2πn/N),n=0,1,2,···,N?1為所加Hanning窗，N為采樣點數(shù)。R-F算法實現(xiàn)時的程序設(shè)計流程如圖1所示。

由于Hanning窗函數(shù)的旁瓣衰減較大，通過對信號x(n)進(jìn)行采樣截斷，能夠克服各頻譜之間所產(chǎn)生的干擾，從而大幅度減小柵欄效應(yīng)和頻譜泄漏，不僅降低了頻率估計的計算量，還可較精確地估計出各種頻率信號的頻率。

可以任意設(shè)定細(xì)化域分辨率R3，但只有當(dāng)R3選取恰當(dāng)時，才能同時保證頻率估計的高精確性和低計算量。因此，S1范圍較大時，R3值可以取得較小，以降低計算量；S1范圍較小時，R3值可以設(shè)置得大一些，以提高估計精度，且具體的取值，需折中處理，取決于實際的需求。

R-F算法將頻率預(yù)估計和精估計分析過程有機(jī)地結(jié)合在一起，經(jīng)過預(yù)估計后，確定了細(xì)化域，大幅度縮短了搜索頻率的過程，并通過加窗技術(shù)，濾除了其他頻率分量和高斯白噪聲，提高了頻率估計精度和頻域穩(wěn)定性，降低了計算量。

3 E-F高精度頻率估計算法

為了進(jìn)一步降低實現(xiàn)復(fù)雜度，并充分利用ESPRIT算法在低信噪比條件下頻率分辨率較高的特點[17]，結(jié)合計算量較小的FFT算法，本節(jié)提出了第二種高精度頻率估計算法，即E-F算法。

與R-F算法類似，E-F高精度頻率估計算法具體步驟如下：

1)根據(jù)L個樣本觀測值r(0),r(1),···,r(L?1)，確定接收信號表達(dá)式；

6)確定FFT算法的估計范圍為：

7)執(zhí)行加Hanning窗FFT算法，確定最終頻率估計值。

4 EF-or-RF高精度頻率估計算法

在實際工程系統(tǒng)中，噪聲是無法避免的，因此必須分別考慮本文所提出的方法在不同SNR環(huán)境中的估計精度問題。基于R-F和E-F算法，提出一種EF-or-RF選擇性頻率估計算法，分別解決不同SNR下的高精度頻率估計問題。從前文可知，RMUSIC算法和ESPRIT算法分別在高SNR和低SNR條件下頻率分辨率較高。因此，該算法的基本思想是在接收到信號r(t)后，首先進(jìn)行SNR判定，用SNR的先驗知識決策選擇E-F或R-F算法。頻域估計法是信噪比估計算法中的一種經(jīng)典算法，通過對接收信號采樣，能夠在頻域中對信噪比進(jìn)行直接估計[18]。然后，在SNR判定模塊中設(shè)置一個閾值，定義此閾值為T，如果SNR小于該閾值，則選擇R-F算法進(jìn)行頻率估計，反之選擇E-F算法。具體操作為設(shè)置一個標(biāo)簽F，如果SNR＞T，則F=0，表明選擇R-F算法；否則，F(xiàn)=1，表示選擇E-F算法。對于閾值T的選擇，如果T值較低，則導(dǎo)致大部分的判定都會趨向選擇E-F算法，那么在高SNR時，頻率估計性能精度不夠；而如果T值較高，則有可能在低SNR時更傾向于選擇R-F算法而沒有選擇E-F算法，故導(dǎo)致低SNR頻率估計精度不足。因此，該方法是將R-F算法與E-F算法有機(jī)地結(jié)合在一起，既滿足高SNR高精度頻率估計需求又能滿足低SNR高精度頻率估計需求，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。因SNR判定模塊中的頻域估計算法計算量相對較少，復(fù)雜度較低，有較高的估計精度，故圖2算法結(jié)構(gòu)并不會引入額外的計算復(fù)雜度。

5 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)主要通過MATLAB仿真軟件模擬不同SNR的無線信道環(huán)境，驗證數(shù)字解調(diào)器采用不同頻率估計算法對接收信號估計的精度。仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置

5.1 頻率估計算法的精度比較

為了進(jìn)一步確定R-F算法和E-F算法的精度，以及EF-or-RF選擇性高精度頻率估計算法的可行性，下面分別在SNR高、低兩種環(huán)境中將已有的幾種頻率估計算法與本文提出的算法進(jìn)行比較，如表2和表3所示。

表2 SNR=-5 dB時，頻率估計值和估計誤差性能比較

表2中，由于噪聲功率非常大，傳統(tǒng)的FFT算法和MUSIC算法都無法準(zhǔn)確地估計出f1和f2，頻率估計的精度不高，但ESPRIT算法的頻率估計誤差相對較低，這證實了相對于其他傳統(tǒng)的頻率估計算法，ESPRIT算法在低SNR下仍具有較好的頻率估計精度[18]。此外，相比于F-F和F-M算法，本文提出的R-F算法和E-F算法的估計精度更高，對于低SNR時的噪聲都有良好的抑制效果，對頻率的估計精度可達(dá)到小數(shù)點后2位，且E-F算法的估計誤差低于R-F算法。

表3 SNR=25 dB時，頻率估計值和估計誤差性能比較

從表3中可以看出，由于計算點數(shù)不夠，F(xiàn)FT算法和MUSIC算法并不會隨著SNR的增加而提高估計精度。在高SNR條件下，RMUSIC算法和ESPRIT算法的估計誤差非常接近，且R-F與E-F兩種算法對頻率估計都非常理想，高于F-F算法和F-M算法的估計精度，但R-F算法的估計精度更高，幾乎可以達(dá)到小數(shù)點后4位的精度。

基于以上仿真結(jié)果可知，盡管R-F和E-F兩種算法都作了相似程度的細(xì)化域估計，但由于RMUSIC算法和ESPRIT算法的不同，導(dǎo)致它們對噪聲的敏感程度也不盡相同。在高SNR時，R-F算法的優(yōu)勢非常明顯，故可以直接應(yīng)用R-F算法就可基本達(dá)到小數(shù)點后4位的精度。但在低SNR的惡劣環(huán)境中，E-F算法的頻率估計性能優(yōu)于R-F算法，具有較強(qiáng)的抗造能力。

5.2 性能分析

本節(jié)主要比較本文提出的R-F和E-F算法與F-M算法[12]和E-RM算法[13]在不同SNR條件下估計頻率f1的根均方誤差(root mean square error,RMSE)、計算復(fù)雜度和仿真處理時間。RMSE常被用來描述頻率估計算法的性能，計算方法如下[19]：

式中，N是獨立進(jìn)行蒙特卡洛仿真的次數(shù)；是對f1第i次仿真頻率的估計值；f1是頻率的真實值。具體仿真參數(shù)仍如表1所示。

圖3描述了隨著SNR的變化，以上4種算法的RMSE性能。仿真結(jié)果表明，RMSE性能隨著SNR的增加而不斷降低，說明這幾種算法都對噪聲比較敏感，頻率估計精度也都會隨著SNR的增加而得到改善。從圖3還可以看出，本文提出的R-F和E-F算法的RMSE性能都明顯優(yōu)于F-M算法，并且E-F算法在低SNR下略優(yōu)于R-F算法，而R-F算法在高SNR下占據(jù)明顯的優(yōu)勢。此外，通過與E-RM算法比較可以看出，在中低SNR下，E-RM提供了與R-F和E-F算法相近的性能，但在高SNR下，R-F算法的性能更好，原因是在細(xì)化域利用加窗FFT算法進(jìn)行二次頻率搜索，可以獲得更加準(zhǔn)確的頻率估計值。

在實際應(yīng)用當(dāng)中，頻率估計算法的精度是影響性能的重要因素，但算法的計算復(fù)雜度也同樣重要。一般來說，F(xiàn)FT算法的復(fù)雜度為O(LlogB)，其中B為可重疊窗函數(shù)的個數(shù)[20-21]。MUSIC算法和ESPRIT算法的復(fù)雜度分別為O(M2P+M2L)和O(M3+M2L)[22]。MUSIC算法需要頻譜搜索，且當(dāng)估計頻率數(shù)P＞M時，比ESPRIT算法復(fù)雜度更高，而RMUSIC算法僅需要通過子空間分解來估計頻率，不需要頻譜搜索，其復(fù)雜度僅為O(M2L)。所以，F(xiàn)-M、R-F、E-F和E-RM這4種算法的復(fù)雜度分別為O(LlogB)+O(M2P+M2L)、O(LlogB)+O(M3+M2L)、O(LlogB)+O(M2L)和O(M3+M2L)+O(M2L)。從4種算法的復(fù)雜度比較可以看出，E-RM算法的復(fù)雜度最高，RF算法的復(fù)雜度最低。E-F算法更適用于M值較小和所需估計頻率數(shù)較大的情況。

表4給出了F-M算法、R-F算法、E-F算法和E-RM算法在不同的M值和SNR=10 dB時，估計頻率f1所需處理時間的比較。從表4可以看出，雖然增加M值也會在一定程度上提高頻率的估計精度，但各算法也會因為矩陣維度的增大而明顯增加計算量。在相同的M值和較小的P值條件下，本文提出的R-F的仿真耗時均小于F-M和E-RM算法，尤其是在M值較大時，差異更加明顯。盡管在中低SNR下E-RM算法的性能略優(yōu)于E-F和R-F算法，但是本文提出的算法消耗更少的時間，計算更加有效，滿足實時性要求。

表4 不同算法耗時比較

本文提出的R-F和E-F算法能夠更快速更準(zhǔn)確地估計出兩個甚至多個信號的頻率，實現(xiàn)高精度頻率估計。在此基礎(chǔ)上，通過R-F和E-F算法選擇性結(jié)合的設(shè)置，既能滿足高SNR高精度頻率估計的需求，又能滿足低SNR高精度頻率估計需求，適用于各種SNR條件下的全數(shù)字接收機(jī)高精度頻率估計。

6 結(jié) 束 語

本文結(jié)合子空間分解類算法的特點，提出了R-F算法、E-F算法和RF-or-EF算法，解決了高速全數(shù)字解調(diào)器對頻率估計算法的高精度和實時性需求。首先由RMUSIC算法或ESPRIT算法對頻率進(jìn)行預(yù)估計，再根據(jù)預(yù)估計值確定細(xì)化域，最后基于加窗FFT算法的思想進(jìn)行精估計。通過縮小的細(xì)化域，減少了頻率估計的計算量，算法流程精簡，易于硬件實現(xiàn)。此外，通過R-F和E-F算法的選擇性結(jié)構(gòu)，可以滿足不同信噪比條件下的高精度頻率估計需求。仿真結(jié)果表明，本文提出的算法能夠精確地估計出接收信號的頻率，與已有的頻率估計算法相比，具有更高的頻率估計精度，更低的計算時間，在低信噪比下也能相對準(zhǔn)確的估計出信號頻率，抗噪性能強(qiáng)。