宮梓豐，劉 剛，宋 睿，吳玉彬，蔡光斌

(1. 火箭軍工程大學(xué) 核工程學(xué)院， 陜西 西安 710025； 2. 火箭軍士官學(xué)校 測試控制系， 山東 青州 262500)

近幾年來，關(guān)于多約束高超聲速滑翔飛行器姿態(tài)控制問題已成為國內(nèi)外研究的一個重點[1]。而我國在高超聲速滑翔飛行器及其再入技術(shù)領(lǐng)域已經(jīng)取得了迅猛發(fā)展，但在試驗演習和實戰(zhàn)化應(yīng)用方面仍有一定的差距?；栾w行器進入再入階段后，不僅需要考慮動壓、過載、熱流密度等約束從而對軌跡進行規(guī)劃，還必須綜合實際打擊環(huán)境進行避障與突防[2]。最新的制導(dǎo)方法都可以較為完善地應(yīng)對再入飛行中發(fā)生的各類情況，但對于高超聲速滑翔飛行器來說，要發(fā)揮出其重要的戰(zhàn)略突防性能，除卻要考慮相關(guān)制導(dǎo)方法涵蓋的因素，還必須能保證繞過具有地理敏感屬性的空域[3]。現(xiàn)今對于禁飛區(qū)與飛行器突防的研究仍然相對較淺[4-5]。

通過建立高超聲速滑翔飛行器再入段的物理模型，將軌跡優(yōu)化中的過程約束和終端約束考慮在內(nèi)，使得整個航程滿足禁飛區(qū)約束，并盡可能優(yōu)化控制量是軌跡優(yōu)化與跟蹤控制問題的核心。此問題模型的非線性程度強，且復(fù)雜度高，常規(guī)的變分法、極大值原理等解析法難以快速求解出最優(yōu)解，所以一般利用數(shù)值法求解軌跡優(yōu)化與制導(dǎo)控制問題[6]。文獻[4]完整介紹了偽譜法作為直接法的典型代表方法，采用了Gauss積分規(guī)則的基本原理，而后利用Chebyshev多項式或者Legendre多項式產(chǎn)生配點，最后對系統(tǒng)進行插值處理[7-8]。

采用hp-Radau自適應(yīng)偽譜法將整個時間區(qū)間分區(qū)并進行網(wǎng)格細化，同時避免區(qū)間中產(chǎn)生過于細密的網(wǎng)格以及難以解算的高次復(fù)雜多項式[9]，綜合評估網(wǎng)格化密度和插值多項式的冪次，保證系統(tǒng)不僅可以快速收斂，還能夠滿足既定的精度要求[10]。此種方法可以降低初始條件估計區(qū)間誤差對結(jié)果的影響，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為等價的線性規(guī)劃問題[11-12]。本文經(jīng)過快速軌跡優(yōu)化，設(shè)計閉環(huán)反饋控制器以實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤，通過仿真計算結(jié)果計算狀態(tài)量實時誤差，利用積分法設(shè)立誤差評判標準，評估模型性能得出結(jié)論。

1 再入模型構(gòu)建與控制器設(shè)計

1.1 滑翔飛行器再入運動學(xué)模型

高超聲速滑翔飛行器再入過程中會受到諸多的約束限制，控制系統(tǒng)通道間的耦合現(xiàn)象也較為突出，模型的非線性屬性較強，其動態(tài)變化可由一組非線性微分方程表征[6，13]。在模型構(gòu)建中忽略地球的扁率，視其為均勻光滑的球體，可得出滑翔飛行器再入過程中的位置變化方程。

(1)

式中，x、y、z分別為飛行器在再入坐標系下的x、y、z軸向所對應(yīng)的位置分量，v是飛行器的線速度，ζ為航跡傾角，ξ為航跡偏角。

飛行器的速度、航跡偏角和航跡傾角的一次微分滿足：

(2)

式中：Q、S、g、m、φ和σ分別代表飛行器的動壓、參考面積、當前位置重力加速度、質(zhì)量、緯度和傾側(cè)角；KD、KL、KY分別是擬合而成的飛行器阻力系數(shù)、升力系數(shù)和側(cè)向力系數(shù)，其數(shù)值一般與飛行器運行的馬赫數(shù)和攻角相關(guān)；Ω=7.292×10-5rad/s，為地球的自轉(zhuǎn)角速度。

飛行器的運動學(xué)方程可以表示為：

(3)

式中：α和β是系統(tǒng)的控制量，分別為再入飛行器的攻角與側(cè)滑角；p、q、r分別是再入飛行器的滾轉(zhuǎn)方向角速度、俯仰方向角速度和偏航方向角速度[11]。

飛行器的動力學(xué)方程可以表示為：

(4)

式中，b為飛行器的翼展長度，Ixx、Iyy、Izz分別是再入飛行器相對于x、y、z軸向的轉(zhuǎn)動慣量，Kl、Km、Kn分別是通過風洞試驗得出的或是擬合而成的滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航乘子系數(shù)。

1.2 限制優(yōu)化問題的約束條件

為使控制問題盡可能切合實際飛行任務(wù)要求，在軌跡優(yōu)化與制導(dǎo)問題中加入禁飛區(qū)約束。禁飛區(qū)是指飛行器禁止通過的空中區(qū)域，比如防空識別區(qū)、導(dǎo)彈攔截區(qū)等[14]，在優(yōu)化軌跡的時候必須要繞過禁飛區(qū)。

通過分析禁飛區(qū)約束的性質(zhì)[15]，設(shè)定禁飛區(qū)即路徑約束為：

C(x(t),u(t),t)≤0,t∈[t0,tf]

(5)

通常情況下，熱流密度、動壓和過載被認定是路徑約束的一部分，通過不等式組的形式給出[16-17]，其表達式可以按照通用標準定義，也可根據(jù)飛行器結(jié)構(gòu)特性來單獨定義。對于不同的飛行器外形與材料，以及不同的飛行任務(wù)會有不同的約束指標，在此不再贅述。

1.3 優(yōu)化指標

航跡參數(shù)的變化對于規(guī)避禁飛區(qū)有直接的影響，因而嚴格控制有關(guān)航程參數(shù)相對重要。為使滑翔飛行器在再入段獲得最大的橫向航程，則確定系統(tǒng)的目標函數(shù)為：

(6)

2 問題轉(zhuǎn)化與求解策略

2.1 自適應(yīng)網(wǎng)格細化方法

數(shù)值法求解最優(yōu)控制問題要先對系統(tǒng)進行時域轉(zhuǎn)換。其中，通過偽譜法求解需要將控制系統(tǒng)的時域映射到[-1,1]，所以先對原時域做相應(yīng)轉(zhuǎn)換。汲取hp有限元方法的優(yōu)點，hp自適應(yīng)偽譜法將時域分成了多個子區(qū)間，再將每個子區(qū)間上的最優(yōu)控制問題分別轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃(NonLinear Programming, NLP)問題求解[18]。選取K-1個配點,將最優(yōu)控制問題的整體運行時間即t∈[t0,tf]分成K個子時間區(qū)間，將每個子區(qū)間的時間定義域[tk,tk+1]轉(zhuǎn)換到區(qū)間[-1,1]上，來滿足Legendre正交多項式的定義區(qū)間[6]。

(7)

通過這種方法可以將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題，可以利用稀疏非線性優(yōu)化器(Sparse Nonlinear OPTimizer, SNOPT)算法求解此類問題。

設(shè)[tk-1,tk]為第k個子區(qū)間。取相鄰配點之間的中點，以式(8)所示準則來評估誤差。

(8)

x(k)表示在第k個區(qū)間內(nèi)軌跡的狀態(tài)。設(shè)ρ為判斷實施細化標準的標量。若該狀態(tài)所對應(yīng)的曲率小于ρ，則認為該區(qū)間內(nèi)的軌跡相對平滑，如果這個區(qū)間的精度不滿足要求，則可以通過增加區(qū)間中的配點數(shù)來提升精度，即利用“p法”來提升求解精度；若存在大于ρ的元素，則認定該區(qū)間的軌跡不平滑，要通過細化區(qū)間網(wǎng)格的方式提升精度，即采用“h法”來提升求解精度。

2.2 反步法求解控制策略

在得出最優(yōu)軌跡的同時，飛行器再入的全時狀態(tài)量也可以同步解算，進而得出三通道輸出信號，控制副翼、方向舵和升降舵的運行。

式(3)可以表示為：

(9)

式(4)可以表示為：

(10)

由此可以設(shè)計控制回路，構(gòu)建姿態(tài)控制器模型，如圖1所示。

圖1 跟蹤控制器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of tracking control system

下面運用Backstepping的方式設(shè)計控制u，實現(xiàn)對前一階段得出的參考控制量[σd,αd,βd]進行跟蹤。Backstepping法又稱作反演、反推、反步法，其基本思路是根據(jù)系統(tǒng)的階數(shù)，分為若干步驟來實現(xiàn)控制，最終實現(xiàn)對系統(tǒng)目標輸出的控制，對于二階及以上系統(tǒng)的控制優(yōu)勢明顯。在分步設(shè)計中，需要設(shè)計合適的 Lyapunov 函數(shù)，設(shè)計每一步的虛擬控制函數(shù)需要保證Lyapunov 函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)負定，得到的虛擬控制函數(shù)即為下一階次的控制信號。從控制系統(tǒng)微分方程組的最低階次開始遞歸，直到最后一步設(shè)計出最終的控制方案。

考慮以下系統(tǒng)，其中g(shù)1、g2均可逆。

定義誤差變量z1=x1-ξd，ξd為給定的標準狀態(tài)量，對變量z1求導(dǎo)可得：

(11)

(12)

令x2=z2+x2d，得：

(13)

(14)

(15)

(16)

從式(16)可以看出，選取的Lyapunov函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)負定，中間變量z1和z2都為有界的，使得變量x1和x2對參考信號[σd,αd,βd]的跟蹤誤差在可控的范圍內(nèi)，算法實現(xiàn)了對參考信號[σd,αd,βd]的跟蹤。

3 仿真試驗

3.1 條件與約束

3.1.1 初始條件

飛行器再入的初速度v0=7.8 km/s，再入高度h0=80 km，初始航跡傾角ζ0=0°，初始航跡偏角ξ0=90°。各個方向的初始角速度分量均設(shè)為零。

3.1.2 禁飛區(qū)約束

根據(jù)實際飛行空域識別區(qū)限制條件，以飛行器再入點對地面的投影點為原點建立坐標系，設(shè)計如式(17)所示的類圓柱形禁飛區(qū)域。

(17)

式中，lon代表經(jīng)度，lat代表緯度，h為高度。

3.1.3 終端約束

vf=800 m/s，hf=25 km，ζf=0°，ξf=90°。

3.1.4 過程約束

在飛行器再入的全過程中，定義法向過載最大值nmax=2.5g，熱流率最大值Q=1.2×106W/m2。

3.2 仿真結(jié)果與分析

采用上述已知條件，利用hp-Radau自適應(yīng)偽譜法對再入飛行問題進行解算，仿真實驗在MATLAB2018a軟件中運行，設(shè)定配點精度為1×10-6。

通過軌跡優(yōu)化，可以得出高超聲速飛行器運行的最優(yōu)軌跡，進而得出最優(yōu)軌跡高度變化曲線，如圖2所示。

圖2 再入高度曲線Fig.2 Reentry height curve

飛行軌跡呈跳躍式，相較于平滑下降的“錢學(xué)森”彈道，其能耗更小，可以增加飛行航程。不僅如此，飛行器在稠密與稀薄的大氣層交替穿行，可以減少滑行過程中的熱能損耗，使得最優(yōu)控制問題中的熱能約束更容易被滿足，最優(yōu)解的選擇更寬泛。整個飛行過程中，飛行器速度下降過程偏于平穩(wěn)，除此之外，遵循這種飛行方案可以保證其熱流密度不會出現(xiàn)間歇尖峰，有利于保護飛行器的本體結(jié)構(gòu)不被損壞。

最優(yōu)軌跡的控制量(攻角)變化如圖3所示。

圖3 攻角變化曲線Fig.3 Curve of AOA

使用傾斜轉(zhuǎn)彎(Bank To Turn， BTT)飛行控制模式，即在航跡坐標系中，設(shè)定攻角與側(cè)滑角為控制量，全程攻角控制在25°以內(nèi)，使得三通道控制信號耦合程度盡量輕微，從而容易有效實現(xiàn)系統(tǒng)控制。

加入禁飛區(qū)約束后，其飛行軌跡將要做出必要調(diào)整，原始軌跡與優(yōu)化后的飛行軌跡如圖4、圖5所示。

圖4 優(yōu)化前后軌跡立體圖Fig.4 Trajectory stereogram before and after optimization

圖5 優(yōu)化前后軌跡局部平面圖Fig.5 Trajectory partial layout before and after optimization

由圖4和圖5可知，飛行器沿著優(yōu)化軌跡飛行即可避開禁飛區(qū)，達成優(yōu)化指標的同時完成突防任務(wù)。

根據(jù)狀態(tài)量與控制量的動態(tài)關(guān)系，可以得出滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航三通道的角速度，進而導(dǎo)出副翼、方向舵和升降舵的控制信號，如圖6所示。

圖6 副翼、方向舵和升降舵的控制信號Fig.6 Control signals of aileron, rudder and elevator

以此控制信號對三自由度角速度進行跟蹤，跟蹤情況如圖7～9所示。

圖7 滾轉(zhuǎn)角速度的跟蹤情況Fig.7 Tracking of rolling angular velocity

圖8 俯仰角速度的跟蹤情況Fig.8 Tracking of pitch angular velocity

圖9 偏航角速度的跟蹤情況Fig.9 Tracking of yaw angular velocity

由圖7～9可知，系統(tǒng)對三個自由度的角速度變量能夠有效實現(xiàn)實時跟蹤，系統(tǒng)設(shè)立的采樣時間間隔約為40 s，由控制信號控制得到的角速度誤差因素主要來自目標采樣和控制信號時間傳導(dǎo)。

對攻角和傾側(cè)角的跟蹤效果如圖10、圖11所示。

圖10 攻角的跟蹤情況Fig.10 Tracking of angle of attack

圖11 傾側(cè)角的跟蹤情況Fig.11 Tracking of bank angle

由圖10、圖11可以看出，跟蹤控制器已經(jīng)實現(xiàn)對于系統(tǒng)控制變量的實時跟蹤。在系統(tǒng)存在干擾的情況下，依然可以完成正常輸出，保證高超聲速飛行器再入的姿態(tài)穩(wěn)定。跟蹤信號的攻角變化較小，因而與之對應(yīng)的俯仰角速度會相對較小，由于采樣時刻俯仰角速度的突變量較小，所以系統(tǒng)對攻角的跟蹤效果較好；而傾側(cè)角與滾轉(zhuǎn)角速度和偏航角速度有關(guān)，由于偏航角速度和滾轉(zhuǎn)角速度存在較多的瞬時振蕩，尤其是在飛行器再入初始階段和飛行軌跡策略重新優(yōu)化的階段，因而跟蹤側(cè)滑角難度相對較大。由于每個采樣點間存在一定時間間隔，系統(tǒng)對其跟蹤效果會有一定誤差，但此誤差最終依然可以收斂。系統(tǒng)仿真驗證了控制模型能夠達到預(yù)期輸出，可以有效跟蹤高超聲速飛行器再入時的控制變量，進而實現(xiàn)機動快速調(diào)姿。

4 結(jié)論

1)由偽譜法解算出的最優(yōu)軌跡狀態(tài)量符合條件限制，三通道信號雖然存在耦合，但可通過控制攻角范圍使系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)有效跟蹤。

2)通過優(yōu)化原始軌跡，飛行器可以避開設(shè)定的禁飛區(qū)域，始末點的相對誤差在0.1%以內(nèi)。

3)角速度閉環(huán)跟蹤系統(tǒng)可以基本跟蹤最優(yōu)姿態(tài)變化，但是在突變過于明顯的時刻誤差較大，存在遲滯現(xiàn)象，這是由于系統(tǒng)采樣時刻相對固定，沒有通過感知環(huán)境變化而細化采樣造成的。

下一步工作將引進自適應(yīng)采樣時間方法，減少因采樣時間遲滯所造成的誤差，提升跟蹤性能。