馬國梁，張海洋，蔡紅明，常思江

(1. 南京理工大學 能源與動力工程學院， 江蘇 南京 210094；2. 中國兵器工業(yè)導航與控制技術(shù)研究所， 北京 100089； 3. 南京理工大學 機械工程學院， 江蘇 南京 210094)

彈丸的氣動外形通常表現(xiàn)出軸對稱特點，而彈丸的動態(tài)穩(wěn)定性問題一直是外彈道學的基本問題之一[1]。著名外彈道學者Murphy早年建立了一套完整的彈丸運動穩(wěn)定性理論[2]，采用復攻角方程來描述彈丸的角運動特性，這一方法被國內(nèi)外的外彈道學書籍廣泛采用[3-4]。國內(nèi)研究人員一直對彈丸飛行穩(wěn)定性的相關(guān)問題進行積極探索。王良明針對細長彈丸表現(xiàn)出的氣動彈性進行了穩(wěn)定性研究[5]，閆曉勇等研究了火箭彈章動運動的穩(wěn)定性條件[6]，王華畢等研究了無控低速滾轉(zhuǎn)火箭彈的錐形穩(wěn)定性問題[7]。隨著常規(guī)彈丸靈巧化、制導化技術(shù)的發(fā)展，一些新型彈藥的運動穩(wěn)定性問題也得到了國內(nèi)外學者的重視。楊永亮等研究了末敏子彈的穩(wěn)態(tài)掃描條件[8]，劉俊輝等利用滑模理論分析了脈沖修正彈制導回路的穩(wěn)定性[1，9]。Wang等分析了控制策略對固定鴨舵雙旋彈的穩(wěn)定性影響[10]，周偉采用擬線性方法研究了有控旋轉(zhuǎn)彈錐形運動穩(wěn)定性[11]。

不同海拔高度對彈丸彈道特性存在很大影響，我國的云貴高原、青藏高原等地區(qū)海拔高度較高，為了保障國家安全，就對火炮武器提出了高原地區(qū)的使用需求。王良明等對平原環(huán)境和高原環(huán)境下的彈丸飛行穩(wěn)定性差異進行了分析[12]，主要針對高炮發(fā)射的旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈。錢明偉分析了高原氣象條件和高原空氣動力特性對彈道參數(shù)的影響，研究了高原射表的編制方法[13]。劉志明等指出馬格努斯效應(yīng)是影響卷弧翼火箭彈高原飛行失穩(wěn)的主要原因[14]。由于空氣密度低是高原環(huán)境的重要特點，鐘揚威等以空氣密度作為分岔參數(shù)，計算分析了彈箭角運動的分岔特性[15]。

本文用現(xiàn)代控制理論的狀態(tài)空間方法來分析彈丸動態(tài)穩(wěn)定性，建立了彈丸角運動的四階狀態(tài)空間模型，通過符號化求解得到兩對共軛復根，利用復數(shù)平方根計算方法得到特征根實部的表達式。鑒于陀螺穩(wěn)定因子和動態(tài)穩(wěn)定因子的傳統(tǒng)定義，提出了彈丸穩(wěn)定因子的新定義，穩(wěn)定因子不僅能夠分析彈丸是否動態(tài)穩(wěn)定，而且能夠定量刻畫動態(tài)穩(wěn)定性的強弱。分析表明，基于穩(wěn)定因子定義的新的動態(tài)穩(wěn)定條件與傳統(tǒng)外彈道學的動態(tài)穩(wěn)定條件完全一致。討論了低空氣密度對旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈和尾翼穩(wěn)定彈動態(tài)穩(wěn)定性的不同影響。研究結(jié)果表明，高原環(huán)境對于尾翼穩(wěn)定彈的動態(tài)穩(wěn)定性會產(chǎn)生不利影響。

1 動力學建模

1.1 坐標系定義

1.1.1 地面發(fā)射坐標系

地面發(fā)射坐標系與地球表面固連，坐標原點定義在炮口斷面中心，x軸沿水平線指向射擊方向，y軸在水平面內(nèi)，垂直射擊面向右(由彈底部前視)，z軸按右手法則定義指向下方。為簡化研究，將地面發(fā)射坐標系近似為慣性坐標系。

1.1.2 地面發(fā)射坐標系

彈道坐標系坐標原點O位于全彈質(zhì)心。xp軸沿飛行速度方向，yp軸沿水平方向，zp軸按右手法則定義。由地面發(fā)射坐標系按右手旋轉(zhuǎn)方法依次轉(zhuǎn)過彈道偏角χ和彈道傾角γ可以得到彈道坐標系，轉(zhuǎn)換矩陣為：

(1)

1.1.3 非滾轉(zhuǎn)彈體坐標系

非滾轉(zhuǎn)彈體坐標系顧名思義不隨彈體滾轉(zhuǎn)，坐標原點O位于全彈質(zhì)心，xb軸與彈體縱軸重合指向彈頭，yb軸指向右側(cè)，zb軸按右手法則定義。非滾轉(zhuǎn)彈體坐標系由彈道坐標系按右手旋轉(zhuǎn)方法依次轉(zhuǎn)過側(cè)滑角β和攻角α得到， 轉(zhuǎn)換矩陣為：

(2)

1.2 彈體氣動力及氣動力矩

1.2.1 阻力

彈體阻力大小為0.5ρV2SCD，阻力與飛行速度方向相反，S為參考面積，V為飛行速度，CD為阻力系數(shù)。

1.2.2 升力

按照外彈道學的習慣[1]，升力在彈道坐標系中的向量表示為：

(3)

式中，CLα為彈體升力系數(shù)。

1.2.3 馬格努斯力

馬格努斯力在彈道坐標系中的向量表示為：

(4)

式中：p為彈丸轉(zhuǎn)速；d為參考長度，這里取彈的直徑為參考長度。

1.2.4 俯仰力矩

俯仰力矩在外彈道學專業(yè)中習慣稱為靜力矩或者翻轉(zhuǎn)力矩，彈體坐標系中的俯仰力矩向量為：

(5)

式中，CMα為彈體俯仰力矩系數(shù)。

1.2.5 俯仰阻尼力矩

(6)

式中，CMq為俯仰阻尼力矩系數(shù)。

1.2.6 滾轉(zhuǎn)阻尼力矩

滾轉(zhuǎn)阻尼力矩在外彈道學道中習慣稱為極阻尼力矩，滾轉(zhuǎn)阻尼力矩大小為：

(7)

方向指向彈體縱軸，Clp為滾轉(zhuǎn)阻尼力矩系數(shù)。

1.2.7 滾轉(zhuǎn)力矩

裝有斜置尾翼的彈丸或者渦輪火箭彈都存在滾轉(zhuǎn)力矩，滾轉(zhuǎn)力矩大小為：

(8)

方向指向彈體縱軸，Cl為滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)。

1.2.8 馬格努斯力矩

非滾轉(zhuǎn)彈體坐標系中馬格努斯力矩向量為：

(9)

1.3 線性化方程

根據(jù)牛頓第二定律，在彈道坐標系中寫出彈丸的力方程組如下:

(10)

(11)

(12)

根據(jù)動量矩定理，可得彈丸的力矩方程組如下：

(13)

(14)

(15)

其中，Ix為軸向轉(zhuǎn)動慣量，Iy為橫向轉(zhuǎn)動慣量。根據(jù)角速度的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系可以得到如下方程：

(16)

(17)

(18)

(19)

其中，

根據(jù)傳統(tǒng)彈丸的氣動參數(shù)大小和物理幾何參數(shù)的特性，忽略影響較小的量，有：

(20)

2 動態(tài)穩(wěn)定性分析

2.1 坐標系定義

根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論可知，如果狀態(tài)矩陣A的所有特征根具有負實部，則彈丸是動態(tài)穩(wěn)定的。通過符號化求解，可得A的四個特征根為：

(21)

(22)

(23)

(24)

其中，a=4M+H2-P2，b=2P(2T-H)，i為虛數(shù)單位。

根據(jù)復數(shù)的平方根計算方法[16]，可以進一步對特征根的形式進行整理，b≥0時，四個特征根可以表示為如下兩對共軛復根：

(25)

(26)

b<0時，四個特征根可以表示為如下兩對共軛復根：

(27)

(28)

共軛復根的虛部取值不同，實際上對應(yīng)了傳統(tǒng)外彈道學中角運動的快圓和慢圓動態(tài)特性。兩對共軛復根的實部取值也不同，分別為：

(29)

(30)

(31)

若式(31)成立，則滿足λs<0，系統(tǒng)所有特征根的實部為負。外彈道學傳統(tǒng)上習慣采用陀螺穩(wěn)定因子與動態(tài)穩(wěn)定因子的經(jīng)典約束條件來判別動態(tài)穩(wěn)定性，這里統(tǒng)一采用穩(wěn)定因子λs來分析動態(tài)穩(wěn)定性，在應(yīng)用上更簡單直觀。在λs<0的前提下，|λs|越大，飛行攻角向平衡點的收斂速度越快，動態(tài)穩(wěn)定性越好，這也為定量分析動態(tài)穩(wěn)定性提供了方便。

動態(tài)穩(wěn)定條件式(31)成立的必要條件是H>0，根據(jù)彈丸氣動系數(shù)的特點可知升力系數(shù)CLα>0，俯仰阻尼力矩系數(shù)CMq<0，自然滿足H>0。

2.2 與傳統(tǒng)動態(tài)穩(wěn)定條件的一致性

進一步檢查動態(tài)穩(wěn)定條件式(31)與傳統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定條件是否一致。將a、b的表達式代入式(31)，由于H>0，整理可得式(31)的等價條件為：

(H2-P2+4M)2+4P2(H-2T)2-(H2+P2+4M)2<0

(32)

進一步化簡為：

P2T2+H2M-HP2T<0

(33)

情況1：對于轉(zhuǎn)速為0的彈丸，式(33)等價為M<0，這意味著只要彈丸是靜穩(wěn)定的，就一定是動態(tài)穩(wěn)定的，比如某些單兵武器發(fā)射的彈丸，轉(zhuǎn)速接近于0，就屬于這種情況。

情況2：對于具有轉(zhuǎn)速的尾翼穩(wěn)定彈，比如某些尾翼穩(wěn)定火箭彈，式(33)兩邊除以P2H2，整理可得式(33)的等價條件為：

(34)

沿用外彈道學動態(tài)穩(wěn)定因子的定義為：

(35)

將式(35)代入式(34)可得：

(36)

當0≤Sd≤2時，不等式(36)右邊Sd(2-Sd)≥0，只要彈丸是靜穩(wěn)定的，即M<0，彈丸一定是動態(tài)穩(wěn)定的，當Sd<0或者Sd>2時，動態(tài)穩(wěn)定條件變?yōu)椋?/p>

(37)

這種情況下，轉(zhuǎn)速不能過大，否則會導致動態(tài)不穩(wěn)定。

情況3：對于旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定的彈丸，沿用陀螺穩(wěn)定因子定義：

(38)

將其代入式(36)可得：

(39)

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，無論動態(tài)因子Sd如何取值，函數(shù)Sd(2-Sd)的最大值為1，因此對于旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈，陀螺穩(wěn)定因子Sg>1是動態(tài)穩(wěn)定條件成立的必要條件，當Sg<1時，動態(tài)穩(wěn)定條件不成立，穩(wěn)定因子λs>0，彈丸將是動態(tài)不穩(wěn)定的。

由以上討論可知，新的動態(tài)穩(wěn)定條件式(31)與傳統(tǒng)外彈道學的動態(tài)穩(wěn)定條件是一致的。

3 低空氣密度對動態(tài)穩(wěn)定性的影響

3.1 尾翼穩(wěn)定彈

對于轉(zhuǎn)速為0的尾翼穩(wěn)定彈,由穩(wěn)定因子的定義及式(31)～(33)的分析推導過程可知，若|H2M|越小，|λs|動態(tài)穩(wěn)定性越弱，按照式(20)展開H2M，有：

(40)

可以看出，|H2M|隨著密度的減小而減小，在其他彈道參數(shù)都一致的情況下，高原低密度條件下的|λs|在數(shù)值上小于平原條件下的|λs|，也就是說，轉(zhuǎn)速為0的尾翼穩(wěn)定彈在高原環(huán)境的動態(tài)穩(wěn)定性相對平原地區(qū)而言變差。因此對于這一類彈丸如果想在高原環(huán)境下使用，需要加大靜穩(wěn)定性，從而保證高原環(huán)境的動態(tài)穩(wěn)定性，比如可以采用增大尾翼面積的做法。

(41)

根據(jù)軸對稱彈的氣動特性可知，CLα>0，CMq<0，彈丸在超音速飛行狀態(tài)時，通常CMpα>0，而彈丸在亞音速小攻角的飛行狀態(tài)時，馬格努斯力矩系數(shù)的極性會發(fā)生改變，會出現(xiàn)CMpα<0的情形，進一步導致Sd<0。以尾翼穩(wěn)定的火箭彈為例，通常為了消除不對稱性使火箭彈丸具有一定轉(zhuǎn)速，大射角條件下彈道頂點附近更容易出現(xiàn)低亞音速的情形，也就更容易出現(xiàn)馬格努斯力矩系數(shù)極性變化的問題。在高原空氣密度較低的條件下，靜穩(wěn)定力矩減小到一定程度導致彈丸飛行時無法克服馬格努斯力矩系數(shù)為負的影響，就會導致平衡點動態(tài)不穩(wěn)定，飛行攻角增大；而馬格努斯力矩系數(shù)隨著攻角增大又變?yōu)檎担腿菀壮霈F(xiàn)極限環(huán)的情形。一些理論和試驗表明，這種情況下，彈丸的角運動狀態(tài)由一個動態(tài)不穩(wěn)定的平衡點趨于一個穩(wěn)定極限環(huán)，彈丸呈現(xiàn)一種錐擺運動的狀態(tài)，攻角較大的極限環(huán)會導致飛行阻力明顯增加，就出現(xiàn)所謂的“近彈”和“掉彈”問題，難以達到正常的射程要求。

3.2 旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈

對于旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈M>0，由陀螺穩(wěn)定因子Sg的定義可知，高原環(huán)境下密度減小時，Sg增大，更容易滿足動態(tài)穩(wěn)定條件式(39)，也就是說，旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈只要在平原大氣環(huán)境下是動態(tài)穩(wěn)定的，在高原大氣環(huán)境下更能滿足動態(tài)穩(wěn)定性，這一點與文獻[12]的研究結(jié)論是一致的。

4 仿真計算分析

4.1 算例分析

某型號尾翼穩(wěn)定彈具有一定轉(zhuǎn)速，彈丸物理幾何參數(shù)和氣動參數(shù)如下：d=0.122 m，S=0.011 7 m2，CLα=2.01，CD=0.24，CNpα=-0.16，CMpα=-3.2，Cl=0.9，Clp=0.024 8，CMq=-12，m=13.6 kg，Ix=0.023 4 kg·m2，Iy=0.231 87 kg·m2。

彈丸初速為205 m/s，初始轉(zhuǎn)速為15 r/s。在平原0 m海拔高度發(fā)射時，按炮兵標準氣象條件取空氣密度ρ=1.206 3 kg/m3，根據(jù)式(29)計算穩(wěn)定因子λs=-0.1<0，表明彈丸是動態(tài)穩(wěn)定的。如果在高原5000 m海拔高度發(fā)射時，空氣密度ρ=0.73 kg/m3，穩(wěn)定因子λs=0.033 3>0，角運動狀態(tài)方程將出現(xiàn)正實部特征根，彈丸在高原發(fā)射條件下將是動態(tài)不穩(wěn)定的。

4.2 彈道仿真

采用文獻[1]中120 mm口徑、轉(zhuǎn)速為0的尾翼穩(wěn)定迫彈數(shù)據(jù)進行外彈道仿真。外彈道仿真初始條件為：彈丸初速318 m/s，射角45°，其他初始條件為0。采用標準炮兵氣象條件，分別在海拔0 m的平原條件和海拔4500 m的高原條件下進行外彈道仿真計算。全彈道的穩(wěn)定因子變化曲線如圖1所示。

圖1 穩(wěn)定因子變化曲線(射角45°)Fig.1 Curves of stability factor (Quadrant elevation 45°)

對彈道高度進行仿真計算后得知，高原和平原條件下都在飛行時間接近21 s處到達彈道頂點。由圖1可以看出，彈丸穩(wěn)定因子的絕對值在彈道頂點處最小，意味著彈道頂點處彈丸動態(tài)穩(wěn)定性最弱，而且高原條件下彈丸穩(wěn)定因子絕對值偏小，意味著該型號迫彈在高原使用時相對平原的動態(tài)穩(wěn)定性降低。

其他初始條件不變，射角改為65°，仍分別在海拔0 m的平原條件和海拔4500 m的高原條件下進行外彈道仿真計算。按照式(29)計算穩(wěn)定因子λs，全彈道的穩(wěn)定因子λs變化曲線如圖2所示。

圖2 穩(wěn)定因子變化曲線(射角65°)Fig.2 Curves of stability factor (Quadrant elevation 65°)

圖2的仿真結(jié)果同樣說明該型號迫彈在高原使用時相對平原的動態(tài)穩(wěn)定性降低。比較圖1和圖2還可以看出，彈道頂點處的穩(wěn)定因子絕對值在65°射角條件下取值更小，意味著較大射角條件下彈丸的動態(tài)穩(wěn)定性更弱。

5 結(jié)論

在經(jīng)典的彈丸動態(tài)穩(wěn)定性理論基礎(chǔ)上，采用狀態(tài)空間模型研究得出了新的基于穩(wěn)定因子的動態(tài)穩(wěn)定條件。穩(wěn)定因子為負表明彈丸是動態(tài)穩(wěn)定的，而且穩(wěn)定因子絕對值越大動態(tài)穩(wěn)定性越強?；谛碌膭討B(tài)穩(wěn)定條件對彈丸在平原和高原的動態(tài)穩(wěn)定性差異進行了分析，結(jié)果表明：

1) 對于轉(zhuǎn)速為0的尾翼穩(wěn)定彈，如果彈丸是靜穩(wěn)定的就一定是動態(tài)穩(wěn)定的，在高原使用時該類彈丸的動態(tài)穩(wěn)定性降低，而且在其他彈道參數(shù)一致的條件下，較大射角條件下彈丸動態(tài)穩(wěn)定性較弱；

2)對于具有一定轉(zhuǎn)速的尾翼穩(wěn)定彈，如果動態(tài)穩(wěn)定因子滿足0≤Sd≤2，那么靜穩(wěn)定的彈丸在平原和高原都能保證彈丸的動態(tài)穩(wěn)定性，而平原和高原穩(wěn)定因子的強弱差異取決于彈丸的具體參數(shù)。

3)對于具有一定轉(zhuǎn)速的尾翼穩(wěn)定彈，如果彈丸動態(tài)穩(wěn)定因子Sd<0或者Sd>2，彈丸在高原使用時就可能出現(xiàn)動態(tài)不穩(wěn)定的情況。比較常見的情形是，馬格努斯力矩系數(shù)為負值導致Sd<0，高原使用時由于空氣密度的下降導致靜穩(wěn)定力矩減小，最終不能滿足動態(tài)穩(wěn)定條件。

4)旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈如果在平原使用時滿足動態(tài)穩(wěn)定條件，那么在高原使用時更容易滿足動態(tài)穩(wěn)定條件。

相關(guān)試驗表明，一些具有相當轉(zhuǎn)速的尾翼穩(wěn)定火箭彈在平原使用時飛行穩(wěn)定，但在高原使用時出現(xiàn)明顯問題。高原條件下這類火箭彈在小攻角時動態(tài)不穩(wěn)定而在大攻角時動態(tài)穩(wěn)定，表現(xiàn)為錐擺運動，最終由于較大攻角導致阻力顯著增加，出現(xiàn)“近彈”現(xiàn)象，使得高原射程遠小于正常的平原射程，這一現(xiàn)象的產(chǎn)生機理及穩(wěn)定性分析仍需做進一步的研究工作?？紤]到工程的實際需要，本文采用線性化分析方法討論了角運動狀態(tài)方程的局部穩(wěn)定性，在后續(xù)的研究中將嘗試采用非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法討論全局動力學特性。