吳 曉

(湖南文理學院 機械工程學院，湖南 常德 415000)

1 引 言

材料力學教材[1，2]在講授拉伸、壓縮章節(jié)時，都采用法國工程師J.V.維利奧特[1]于1877年提出的位移圖法求解簡單平面桁架節(jié)點在外載荷作用下的位移。位移圖法是一種求解簡單平面桁架節(jié)點在外載荷作用下位移的近似方法，由于直觀、簡潔，更有利于學生在開始接觸材料力學教學內容時對求解平面桁架節(jié)點在外載荷作用下位移的學習和掌握。如果不采用位移圖法求解簡單平面桁架節(jié)點在外載荷作用下的位移，能否用解析法求出平面桁架節(jié)點在外載荷作用下的位移，位移圖法給出的位移計算結果與解析法給出的位移計算結果誤差有多大，這都是值得研究的教學問題。因此，本文討論了用位移圖法求解平面桁架節(jié)點位移的計算精度問題。

2 靜定桁架節(jié)點位移的求解

以圖1所示三角桁架為例[2]，假設各材料及橫截面積均相同，AB=lACsinβ，BC=lACcosβ，研究三角桁架受力變形時A點位移AD。假設圖1所示三角桁架的桿件受力皆為拉力，A點受力變形后移動到D點，其受力圖可見圖2。

圖1 集中力作用下平面三角桁架

圖2 節(jié)點D的受力圖

由圖2可列出節(jié)點D處的平衡方程為：

NBDcosθ1+NCDcos(90°-β-θ2)=0
NBDsinθ1=NCDsin(90°-β-θ2)+P

(1)

由式(1)可以求得：

(2)

由圖1，利用三角函數(shù)正弦定理可得：

(3)

三角桁架變形后BD的長度為：

(4)

三角桁架變形后CD的長度為：

(5)

利用式(3)-式(5)可得：

(6)

利用式(6)，可以求出θ1、θ2。再由余弦定理，可得三角桁架在集中載荷P作用下節(jié)點A變形后的位移AD為：

(7)

3 靜不定桁架節(jié)點位移求解

圖3 靜不定桁架

圖4 節(jié)點A′的受力圖

設∠ABA′=θ1，∠ACA′=θ2，∠ADA′=θ3，由圖4可列出節(jié)點A′處的平衡方程為：

N1cos(90°-α-θ1)+N2cos(90°-θ2)

=N3cos(90°-β+θ3)

N1sin(90°-α-θ1)+N2sin(90°-θ2)+

N3sin(90°-β+θ3)=P

(8)

由圖3利用三角函數(shù)正弦定理可得：

(9)

由式(9)可以得到：

(10)

又因各桿件在外力作用下的伸長為：

(11)

利用式(8)-式(11)可以求得：

(12)

再由余弦定理，可得靜不定桁架在集中載荷P作用下節(jié)點A變形后的位移AA′為：

(13)

由式(12)求出θ1、θ2、θ3后，代入式(13)中，即可得到節(jié)點A變形后的位移AA′。

下面采用位移圖法計算圖3所示靜不定桁架節(jié)點A的位移。文獻[3]認為，桁架節(jié)點A的位移是沿著桿CA方向被拉伸，也就是默認桿CA的伸長即為桁架節(jié)點A的位移。同時，還認為桿BA、桿DA均沿各自桿長方向被拉伸，因此可知桿BA、桿CA、桿DA的拉伸長度關系為：

ΔlBA=ΔlCAcosα，ΔlDA=ΔlCAcosβ

(14)

由式(14)，可得到圖3所示靜不定桁架的變形協(xié)調條件：

ΔlCAsin(α+β)=ΔlBAsinβ+ΔlDAsinα

(15)

式(15)與文獻[3]給出的變形協(xié)調條件是一致的。再利用圖3所示靜不定桁架節(jié)點A的靜力平衡方程并結合式(15)，即可得到節(jié)點A變形后的位移為：

(16)

4 計算分析及討論

下面通過兩個簡單算例討論分析位移圖法的計算精度。

算例1：

以文獻[2]三角桁架為例計算節(jié)點D的位移。三角桁架相關參數(shù)為：sinβ=0.6，E=200GPa，P=60kN，AAB=3.14×10-4m2，AAC=1.02×10-3m2，AB=1.2m，AC=2m。把有關參數(shù)代入式(7)，可求得θ1=0.0746°，θ2=0.0466°，節(jié)點D的位移為AD=1.785mm。而文獻[2]采用位移圖法求得節(jié)點D的位移為AD=1.78mm。

由以上計算可知，式(7)計算結果與文獻[2]計算結果的誤差僅為0.28%，這說明在三角桁架滿足強度條件的前提下，此算例采用位移圖法計算三角桁架節(jié)點的位移，所得計算結果是足夠精確的，完全可以滿足實際工程的要求。

算例2：

以文獻[3]桁架為例計算節(jié)點A的位移，桁架相關參數(shù)為：E=200GPa，A=3.14×10-4m2，P=60kN，lAC=1.2m，α=45°，β=30°。把有關參數(shù)代入式(12)中，可以求得θ1=-0.0174°，θ2=-0.0046°，θ3=0.0096°，這說明桁架節(jié)點A在外力P作用下變形后的位置，在桁架節(jié)點A變形前的左邊。把相關參數(shù)代入式(13)中，可求得節(jié)點A變形后的位移AA′=0.6385mm；把有關參數(shù)代入式(16)中，可得采用位移圖法求得節(jié)點A的位移為AA′=0.5726mm。解析法計算的節(jié)點A位移是斜直線，位移圖法計算的節(jié)點A位移是沿CA方向伸長的直線，因此解析法計算結果大于位移圖法計算結果，而解析法給出的節(jié)點A的位移卻是圖3所示桁架的真實位移。

由算例2可知，式(13)計算結果與式(16)計算結果的誤差為11.51%， 這個誤差遠遠超過了實際工程所允許的誤差5%。造成誤差的原因是文獻[3]對圖3所示桁架節(jié)點A位移的方向做出了不合理的假設。因為，只有當α=β時，圖3所示靜不定桁架節(jié)點A位移才是沿CA方向伸長的；當α≠β時，圖3所示靜不定桁架節(jié)點A位移是在桁架節(jié)點A變形前的左邊或右邊的斜直線。所以，采用位移圖法計算桁架的節(jié)點位移時，應根據(jù)桁架的受力實際情況對節(jié)點位移方向做出合理的假設，這樣才能控制位移圖法的計算精度不超過實際工程所允許的誤差5%。

5 結 論

由以上算例可以看出，解析法的計算結果均大于位移圖法的計算結果，其主要原因是用位移圖法計算桁架節(jié)點位移時，只能對桁架節(jié)點位移的方向做出近似假設。

以上分析可以在教學中做簡要分析介紹，讓學生了解采用位移圖法求解桁架節(jié)點位移雖然直觀、簡潔，但是采用位移圖法求桁架節(jié)點位移有時也存在計算精度會超過實際工程所允許誤差5%的不足之處。