王國蘭，賈慶菊

二次型正定性在多元隱函數(shù)極值中的應用

王國蘭，賈慶菊

（山西工商學院 計算機信息工程學院，山西 太原 030006）

利用二次型的正定性及隱函數(shù)的存在定理，給出了多元隱函數(shù)極值存在的必要條件，得到了一個快速判斷多元隱函數(shù)極值的新方法。

矩陣；正定性；多元隱函數(shù)；極值

1 問題的提出

在管理科學、最優(yōu)設(shè)計、系統(tǒng)控制等許多領(lǐng)域中，很多實際問題目標函數(shù)或約束條件很難用線性函數(shù)表達。解決這種問題要用到非線性規(guī)劃的方法，如果非線性規(guī)劃的最優(yōu)解存在，自然離不開多元函數(shù)極值的討論。一般教科書僅限于二元函數(shù)極值判定的討論，文獻[1]僅給出了多元顯函數(shù)極值問題的討論。本文利用二次型的正定性及隱函數(shù)存在定理，給出了多元隱函數(shù)極值存在的必要條件和充分條件，得到了一個快速判斷多元隱函數(shù)極值的方法。

2 引理

令

則

引進矩陣

在駐點

某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階二階連續(xù)偏導數(shù)。令矩陣

3 定理及其證明

定理1 設(shè)函數(shù)

則由方程

證明 由題設(shè)知

是

的駐點，即

同理，

證畢。

定理2 設(shè)函數(shù)

在駐點

某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階、二階連續(xù)偏導數(shù)。

其中

(3)

在0處取得極小值。當(0)為負定矩陣時，函數(shù)

證明 由已知

若在

處有

由引理2可知結(jié)論成立。證畢。

4 定理的應用

例 求由方程

解 令

解方程組

得駐點1(1,-2,8)，2(1,-2,-2)。

在駐點處，有

顯然

代入數(shù)值，得

同理

顯然(1)為正定矩陣，(2)負定矩陣，由定理知

[1] 同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學(第六版,下冊)[M].北京:高等教育出版社,2006:110-111.

[2] 申玉發(fā).矩陣的正定理論在多元函數(shù)極值問題中的應用[J].鄭州航空工業(yè)管理學院學報,1996,14(3):59-62.

[3] 李忠艷,陸忠臣,陳浩.一類多元函數(shù)極值的快速判別方法及應用[J].數(shù)學的實踐與認識,2003,33(7):96-101.

[4] 葉振信,張浩明,楊浩,等.基于次型正定性多元函數(shù)極值判別法[J].數(shù)學的實踐與認識,2014,44(23):303-306.

The Application of Quadratic Positivity in the Extremum of Multiple Implicit Functions

WANG Guo-lan, JIA Qing-ju

(Computer and Information Engineering College,Shanxi Technology and Business University, Taiyuan 030006, China)

In this paper, by using the positive character of quadratic form and the existence theorem of implicit function, we give the necessary condition for the existence of extreme value of multiple implicit function, and get a new method to judge the extreme value of multiple implicit function quickly.

matrix; positive qualitative; multivariate implicit function; extremum

O174

A

1009-9115(2019)06-0037-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2019.06.009

山西省教育科學“十三五”規(guī)劃課題（GH-17083)

2019-05-21

2019-10-09

王國蘭（1981-），女，山西太原人，碩士，副教授，研究方向為基礎(chǔ)數(shù)學。

（責任編輯、校對：趙光峰）