吳進(jìn)

摘? 要：華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離?！薄皵?shù)”的準(zhǔn)確性和“形”的直觀性，可以引導(dǎo)學(xué)生更全面地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，觸發(fā)高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：以形助數(shù);以數(shù)解形;數(shù)形結(jié)合;小學(xué)數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)是一門研究客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，具有抽象性、邏輯性和概括性等特點(diǎn)，而“數(shù)”和“形”就是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)課本的兩條基本主線。

■一、以形助數(shù)，抽象知識(shí)直觀化

現(xiàn)階段，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“數(shù)”指的是數(shù)與代數(shù)，包括了數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系、常見的量等內(nèi)容。然而基于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求，我們傳統(tǒng)的數(shù)與代數(shù)的教學(xué)就顯得：重?cái)?shù)量，輕質(zhì)量;重過(guò)程，輕思維;重內(nèi)容，輕生活;重形式，輕價(jià)值。

小學(xué)階段，低年級(jí)學(xué)生的思維趨向于將數(shù)學(xué)知識(shí)與具體事物或生動(dòng)表象聯(lián)系在一起，高年級(jí)學(xué)生逐步學(xué)會(huì)區(qū)分概念中的本質(zhì)與非本質(zhì)屬性、主要與次要的因素，學(xué)會(huì)用抽象、科學(xué)的定義概括生活表象，思維邏輯性逐漸增強(qiáng)。但是，總體而言，小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維仍然趨向于將數(shù)學(xué)知識(shí)與直接的、感性的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系在一起，具有很明顯的具體形象性。

因此，在小學(xué)階段，如何賦予“數(shù)與代數(shù)”這塊內(nèi)容更多的趣味性、直觀性、實(shí)用性，可以說(shuō)是我們亟須考慮的問(wèn)題！結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)幾何圖形直觀形象的特點(diǎn)，我們做了如下嘗試。

1. 數(shù)的認(rèn)識(shí)

數(shù)的認(rèn)識(shí)，包含了自然數(shù)、整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等概念的學(xué)習(xí)，是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最基本的內(nèi)容，是學(xué)生今后構(gòu)建數(shù)的概念體系、掌握數(shù)的運(yùn)算、探究數(shù)量關(guān)系的重要基礎(chǔ)。那么如何建立起枯燥概念與直觀圖形的紐帶呢？

我們就以認(rèn)識(shí)“分?jǐn)?shù)的意義”為例。分?jǐn)?shù)的概念：把單位“1”平均分成若干份，取其中一份或幾份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)。如果單靠字面含義，難以理解分?jǐn)?shù)的概念，而教材中直觀圖的及時(shí)呈現(xiàn)恰好可以提供幫助。例如，聯(lián)系第2張圖，學(xué)生明白了：把一個(gè)長(zhǎng)方形看作單位“1”平均分成8份，取其中5份就表示“八分之五”?；橄蟾拍顬榫唧w事例的同時(shí)，加深了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解，為接下來(lái)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系的分析打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2. 數(shù)的運(yùn)算

數(shù)的運(yùn)算指根據(jù)一定的數(shù)學(xué)概念、法則和定理，由一些已知量通過(guò)計(jì)算得出確定結(jié)果的過(guò)程。新課標(biāo)指出，學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)要注重以下幾點(diǎn)：理解運(yùn)算意義，理解運(yùn)算算理，掌握運(yùn)算方法，選擇運(yùn)算方法解決問(wèn)題。在傳統(tǒng)的計(jì)算教學(xué)中，家長(zhǎng)、學(xué)生、教師更注重掌握運(yùn)算方法，鑒于其相對(duì)抽象、枯燥、死板，學(xué)生多采用“題海戰(zhàn)”來(lái)強(qiáng)化練習(xí)，卻對(duì)運(yùn)算本質(zhì)知之甚少。

為了發(fā)展學(xué)生的思維，探尋數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì)，現(xiàn)階段，幫助學(xué)生理解運(yùn)算意義、理解運(yùn)算算理才是我們計(jì)算教學(xué)的重中之重。那如何讓枯燥的算理“活”起來(lái)，更易于學(xué)生理解呢？我們智慧的數(shù)學(xué)教師，契合小學(xué)生思維發(fā)展特點(diǎn)，想到了用圖來(lái)化解難點(diǎn)。

例如，在教學(xué)“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”中，運(yùn)算方法是：分母不變，分子與整數(shù)相乘的積作為分子。簡(jiǎn)單的一句話卻包含了兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：“為什么分母不變？”“分子與整數(shù)相乘的積表示什么？”多數(shù)學(xué)生對(duì)此是比較模糊的。而圖形恰好可以形象地說(shuō)明，其中一個(gè)小長(zhǎng)方形表示一個(gè)“十分之一”米，分子乘分母就是計(jì)算有幾個(gè)“十分之一”米。由圖可見，“分母不變”是說(shuō)明分?jǐn)?shù)單位不變，“分子與整數(shù)相乘的積作為分子”表示有多少個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。從算理到算法，從一般到特殊，在幫助學(xué)生理解算理的同時(shí)，增強(qiáng)了運(yùn)算學(xué)習(xí)的直觀性、趣味性。

3. 數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系是從數(shù)學(xué)問(wèn)題中總結(jié)出來(lái)的揭示某些數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系，并以數(shù)量關(guān)系式表示這種聯(lián)系。因此，學(xué)生深刻理解、掌握“數(shù)學(xué)問(wèn)題”背后的數(shù)量關(guān)系，對(duì)于解決同類問(wèn)題，培養(yǎng)“舉一反三”能力，形成對(duì)應(yīng)的解題策略，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，就顯得尤為重要了。

為了在復(fù)雜問(wèn)題中，清晰、準(zhǔn)確地找到數(shù)量關(guān)系，我們小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一就是“線段圖”，它有助于將數(shù)學(xué)問(wèn)題中數(shù)量以及數(shù)量之間的關(guān)系可視化、直觀化。

例如，張寧和王曉星一共有78張郵票，張寧給了王曉星18張郵票后，兩人一樣多，那么張寧和王曉星原來(lái)各有多少?gòu)堗]票？這個(gè)問(wèn)題看似比較簡(jiǎn)單，然而“張寧給了王曉星18張郵票后，兩人一樣多”這句話很容易讓學(xué)生誤以為：張寧的郵票數(shù)-王曉星的郵票數(shù)=18（張）。但如果將條件和問(wèn)題整理成一張線段圖，學(xué)生可以輕易發(fā)現(xiàn)，實(shí)則：張寧的郵票數(shù)-王曉星的郵票數(shù)=36（張）。由此可見，線段圖融合了條件和問(wèn)題的同時(shí)，能夠清晰地呈現(xiàn)數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，其表現(xiàn)方式更契合小學(xué)生思維的形象性，更有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

4. 常見的量

常見的量包括了時(shí)間、長(zhǎng)度、面積、體積等知識(shí)?？v觀小學(xué)階段“常見的量”的學(xué)習(xí)，其抽象性讓學(xué)生的體驗(yàn)感不強(qiáng)，大多數(shù)只會(huì)生搬硬套，不能夠正確建模和應(yīng)用。然而，抽象的文字卻與生活實(shí)際緊緊聯(lián)系在一起，我們數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一就是要架構(gòu)起它們之間的橋梁。

例如，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)體積單位”時(shí)，常見的體積單位依次有立方厘米、立方分米、立方米，單靠文字，學(xué)生難以體驗(yàn)其實(shí)際大小?？紤]小學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的直觀形象性，以體驗(yàn)“1立方分米的大小”為例，一方面我們借助常見的幾何圖形進(jìn)行理解：棱長(zhǎng)是1分米的正方體，體積是1立方分米;另一方面我們借助生活中的物體進(jìn)行理解：1立方分米相當(dāng)于1個(gè)粉筆盒大小。多角度幫助學(xué)生化抽象為具體，讓“冰冷”的知識(shí)“鮮活”起來(lái)，真正為學(xué)生的思想“減負(fù)”。

■二、以數(shù)解形，表面現(xiàn)象精準(zhǔn)化

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，另一條主線是“形”，指的是圖形與幾何，主要包含四部分：圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的測(cè)量、圖形與變換、圖形與位置。縱觀小學(xué)六年級(jí)中“圖形與幾何”知識(shí)板塊的教學(xué)，“圖形與幾何”無(wú)論是在學(xué)習(xí)還是生活中，學(xué)生從直觀、表面上去認(rèn)識(shí)它們是比較容易的，但同時(shí)也是相對(duì)膚淺的。如果有了“數(shù)與代數(shù)”的支撐，我們就可以進(jìn)一步深入、精準(zhǔn)了解圖形，挖掘圖形的內(nèi)在價(jià)值，為我們解決有關(guān)“圖形與幾何”的實(shí)際問(wèn)題搭橋鋪路。比如：

1. 圖形的認(rèn)識(shí)

以“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體”為例。如果沒(méi)有數(shù)據(jù)支撐，我們僅僅只是知道生活中的牙膏盒、油箱、游泳池等類似的幾何形狀是長(zhǎng)方體;有了數(shù)據(jù)支撐，我們便知道長(zhǎng)方體有8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱和6個(gè)面，相對(duì)的棱長(zhǎng)度相等，相對(duì)的面完全一樣……從而我們可以依據(jù)長(zhǎng)方體的特點(diǎn)，自主地制造我們需要的長(zhǎng)方體物體。

2. 圖形的測(cè)量

以“測(cè)量線段的長(zhǎng)度”為例。如果沒(méi)有數(shù)據(jù)支撐，我們僅僅只是知道上海去南京很遠(yuǎn);有了數(shù)據(jù)支撐，我們知道兩地大約相距300公里，開車大約需要4小時(shí)，坐高鐵大約需要一個(gè)半小時(shí)，乘飛機(jī)大約需要1小時(shí)……可以幫助人們合理安排時(shí)間、合理安排交通出行。

3. 圖形與變換

以“圖形的放大與縮小”為例。如果沒(méi)有數(shù)據(jù)支撐，我們僅僅只是知道照片可以放大或縮小;有了數(shù)據(jù)支撐，我們知道圖形放大或縮小后，對(duì)應(yīng)邊成比例，形狀才不會(huì)發(fā)生變化，可以按1∶2縮小，也可以按5∶1放大……依此，拍證件照片時(shí)，我們僅需拍一次照片，就可以按需要打印1寸、2寸等不同大小的照片。

4. 圖形與位置

以“確定位置”為例。如果沒(méi)有數(shù)據(jù)支撐，我們僅會(huì)用“四面八方”確定大概方向;有了數(shù)據(jù)支撐，我們可以知道具體位置在什么方向，多少角度，多少距離……例如，當(dāng)軍艦發(fā)現(xiàn)遇難船只在北偏東50°方向12海里處，可以更方便、更迅速地去展開救援。

由此可見，圖形的直觀性、簡(jiǎn)潔性確實(shí)在某種程度上契合了小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，但如果我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)僅限于此就難免顯得淺薄了;而在數(shù)據(jù)支撐下，學(xué)生可以更深入、更細(xì)致、更精準(zhǔn)地去了解圖形、了解客觀世界，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值。

■三、數(shù)形結(jié)合，助推數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效解決

“數(shù)”表示抽象思維，“形”表示形象思維?！皵?shù)形結(jié)合”告訴我們，使抽象思維與形象思維相結(jié)合，通過(guò)“數(shù)”與“形”的互相轉(zhuǎn)化可以高效解決一系列數(shù)學(xué)問(wèn)題。而從上面的交流中，我們也不難體會(huì)出“數(shù)學(xué)結(jié)合”思想對(duì)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、體會(huì)數(shù)學(xué)價(jià)值大有裨益。

小學(xué)階段，學(xué)生的思維以具體形象為主，逐步向抽象邏輯思維過(guò)渡，小學(xué)生更多地能夠體會(huì)到“以形助數(shù)，抽象知識(shí)直觀化”的優(yōu)點(diǎn)，若是能夠巧妙地運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想，往往會(huì)使抽象問(wèn)題直觀化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，達(dá)到優(yōu)化解題路徑，達(dá)到事半功倍的效果。而隨著年齡的增長(zhǎng)，學(xué)段的上升，尤其到了高中、大學(xué)階段，學(xué)生會(huì)對(duì)“以數(shù)解形，表面現(xiàn)象精準(zhǔn)化”的理解更加深刻。因此，我們高年級(jí)教學(xué)可以適當(dāng)滲透，待學(xué)生以后進(jìn)一步感悟。