王停 張永斌 王凡 楊雪林

摘要 陣列天線方向圖綜合技術(shù)在智能天線設(shè)計(jì)中具有重要作用，其中均勻陣列的方向圖綜合問(wèn)題一直是智能天線領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。為解決等間隔均勻陣列需要大量的陣元才能滿足方向圖指標(biāo)要求的問(wèn)題，基于壓縮感知理論與低秩矩陣恢復(fù)技術(shù)分別提出了稀疏陣列方向圖綜合的方法，該方法主要包括稀疏陣列設(shè)計(jì)、稀疏陣列恢復(fù)與陣列方向圖綜合等過(guò)程。仿真結(jié)果表明，利用少量稀疏陣元來(lái)實(shí)現(xiàn)所期望的低增益、強(qiáng)方向性的方向圖效果，有利于設(shè)備的小型化和經(jīng)濟(jì)性。

關(guān) 鍵 詞 方向圖綜合;壓縮感知;低秩恢復(fù);稀疏陣列

中圖分類號(hào) TN821.91? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A

Abstract Antenna array pattern synthesis technology plays a vital role in the field of smart antenna， and it is well known that the pattern synthesis of homogeneous array is the main topic of pattern synthesis technology. But this technology need plenty of homogeneous array elements to meet the antenna requirements. So a novel pattern synthesis technology for sparse array based on the compressed sensing （CS） method and low-rank matrix recovery （LRMR） method is proposed. The technology includes the design of sparse array， the recovery of homogeneous array and the synthesis of antenna array pattern， etc. The simulation result shows that an antenna array with low-gain and strong-directivity can be built by using a small amount of sparse array elements and it is available for the miniaturization and economical efficiency of the antenna system.

Key words pattern synthesis; compressed sensing; low-rank matrix recovery; sparse array

0 引言

在無(wú)線通信系統(tǒng)中，天線經(jīng)常用來(lái)高效地發(fā)射與接收電磁波，可以在不同地點(diǎn)間進(jìn)行信息傳輸而不借助任何中間設(shè)備。方向圖綜合技術(shù)在傳統(tǒng)天線領(lǐng)域與智能天線領(lǐng)域都發(fā)揮著必不可少的作用。陣列天線方向圖綜合是利用各種優(yōu)化算法改變天線特性并以此來(lái)滿足天線系統(tǒng)方向圖的各種指標(biāo)的技術(shù)。在均勻線陣方向圖綜合問(wèn)題的研究中，人們首先成功研究了各種均勻線陣的低旁瓣和深零陷方向圖綜合算法，隨后又提出了基于自適應(yīng)原理的陣列方向圖綜合技術(shù)[1-5]。但是，以上基于等間隔均勻陣列的綜合均需要大量的陣元才能滿足方向圖的指標(biāo)要求，這顯然提高了天線設(shè)備的復(fù)雜性與成本。

在天線陣列的設(shè)計(jì)中，利用將天線的陣元在陣列當(dāng)中進(jìn)行稀疏分布[6]的方法來(lái)構(gòu)造一個(gè)低增益且強(qiáng)方向性的天線陣列，以較少單元數(shù)滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，并以此大幅降低生產(chǎn)成本。根據(jù)壓縮感知[7-8]與低秩恢復(fù)理論[9-11]，將稀疏陣列恢復(fù)成均勻陣列，然后再進(jìn)行方向圖綜合，這樣可以用較少的稀疏陣元，達(dá)到實(shí)現(xiàn)均勻陣元方向圖綜合的效果，這對(duì)設(shè)備的小型化和經(jīng)濟(jì)性都有很好的作用。

基于這一思想，本文提出一種稀疏陣列技術(shù)，其中對(duì)于直線陣采用壓縮感知方法，對(duì)于矩形陣采用低秩矩陣恢復(fù)技術(shù)。使用PSO算法得到二維方向圖，使用Chebyshev方法[12]得到三維方向圖。

1 方法原理

將壓縮感知與低秩恢復(fù)技術(shù)應(yīng)用于稀疏陣列方向圖綜合中。Orthogonal Matching Pursuit（OMP）算法是一種經(jīng)典的壓縮感知重構(gòu)算法。在OMP算法中，在每次迭代過(guò)程中都會(huì)將被選定的原子進(jìn)行正交化處理，然后將采樣值投影到由這些正交原子組成的空間，并得到信號(hào)在這些正交原子上的分量與殘差，之后再用同樣的方法分解殘差，如此迭代會(huì)使殘差隨著分解的過(guò)程迅速減小，從而可以降低迭代次數(shù)。

根據(jù)多匹配原則提出一種改進(jìn)的壓縮感知重構(gòu)算法——Orthogonal Multi-Matching Pursuit （OMMP）算法。OMMP算法的本質(zhì)為通過(guò)當(dāng)前最好的一組線性無(wú)關(guān)組與上次的候選集取交集來(lái)選擇原子。設(shè)[Λ]是通過(guò)測(cè)量矩陣[Φ]中的列向量來(lái)構(gòu)成的索引集，則[Λk]就是通過(guò)k次迭代后選擇的原子構(gòu)成的索引集。在每次迭代過(guò)程中，OMMP算法都會(huì)經(jīng)過(guò)兩個(gè)階段的計(jì)算得到新原子，與OMP算法相比，OMMP算法中當(dāng)前殘差與剩余原子的相關(guān)性是通過(guò)在第一階段計(jì)算當(dāng)前殘差與剩余原子的內(nèi)積來(lái)得到的。

步驟6? ? 將先前已設(shè)置好的誤差參數(shù)與[rk22]進(jìn)行比較，或計(jì)算索引集原子數(shù)目是否已達(dá)到要求值。若不滿足停止條件，計(jì)算[n=n+1]，然后返回步驟2執(zhí)行。

OMMP算法的迭代在[Λk]中的原子數(shù)達(dá)到了一個(gè)固定值時(shí)停止。實(shí)驗(yàn)表明，為了使算法具有較好的重建效果，應(yīng)該在[Λk]中原子數(shù)量設(shè)置為測(cè)量矩陣列數(shù)的一半時(shí)停止迭代。

通過(guò)以上的基本步驟可見(jiàn)，OMMP算法與OMP算法的核心區(qū)別在于OMP算法每次都選擇一個(gè)內(nèi)積較大的原子，而OMMP算法則是選取一個(gè)在兩次連續(xù)迭代中相關(guān)性都較大的一個(gè)原子，所以在原子的選擇方面，OMMP算法比OMP算法的魯棒性更高并加快了原子的選擇速度。

在方向圖綜合問(wèn)題中，壓縮感知技術(shù)適用于一維線陣情況，若將問(wèn)題擴(kuò)展到二維矩形陣列中，低秩恢復(fù)技術(shù)的優(yōu)勢(shì)便顯現(xiàn)出來(lái)。將問(wèn)題從一維擴(kuò)展到二維，利用低秩恢復(fù)技術(shù)把稀疏矩陣恢復(fù)成均勻矩陣，用更少的稀疏陣元達(dá)到均勻陣元方向圖綜合的效果，這會(huì)對(duì)設(shè)備的簡(jiǎn)易性與經(jīng)濟(jì)性有很好的效果。

Wright等[9]最早提出的低秩矩陣恢復(fù)，是指在原始矩陣是低秩的或近似低秩的前提下，在某些元素被嚴(yán)重?fù)p壞的矩陣中自動(dòng)識(shí)別出被損壞的元素并對(duì)原始矩陣進(jìn)行恢復(fù)，因此低秩矩陣恢復(fù)又被稱為低秩稀疏矩陣分解（Low Rank and Sparse Matrix Decomposition，LRSMD） 或魯棒主成分分析（Robust Principal Component Analysis，RPCA）。

假設(shè)矩陣D由一個(gè)低秩矩陣A和一個(gè)噪聲矩陣E組成，其中E是稀疏矩陣，換句話說(shuō)，矩陣E中的非零元素較少，此時(shí)就可以利用低秩恢復(fù)技術(shù)來(lái)求解問(wèn)題，因此可以用如下優(yōu)化問(wèn)題來(lái)描述低秩矩陣恢復(fù)：

式中：[E0]是稀疏矩陣的[l0]范數(shù)，表示矩陣中非零元素的個(gè)數(shù)。式（8）是一個(gè)計(jì)算量非常大的NP難問(wèn)題，因此需要尋找到合適的方法來(lái)近似求解這一最優(yōu)化問(wèn)題，Candes[10]已經(jīng)從理論上證明了通過(guò)[l1]范數(shù)（矩陣中元素絕對(duì)值的和）最小化求解得到的解與[l0]范數(shù)最小化的解非常接近，因此可以將[l0]范數(shù)最小化問(wèn)題松弛為[l1]范數(shù)最小化問(wèn)題。式（8）中的[rank]函數(shù)是非凸的不連續(xù)函數(shù)，其值為奇異值的[l0]范數(shù)，而奇異值的[l1]范數(shù)就是核范數(shù)，因此可以根據(jù)上述理論將矩陣的[rank]函數(shù)近似為核范數(shù)，如式（9）：

式中：[A*]是矩陣的核范數(shù)，且滿足[A*=k-1nδkA];[δkA]為矩陣的第k個(gè)奇異值;[λ]是權(quán)重參數(shù)，通?？稍O(shè)定為[λ=1max（m，n）]。

式（9）的本質(zhì)就是用具有唯一可求解的方程代替具有多個(gè)解的方程，用求解矩陣主對(duì)角線上所有元素之和代替求解矩陣的秩。Recht[11]從理論上證明了用凸優(yōu)化求解問(wèn)題的可行性，而對(duì)于矩陣是稀疏的這一前提，我們可認(rèn)為相對(duì)于數(shù)據(jù)本身來(lái)說(shuō)大多數(shù)的干擾和噪聲是稀疏的。

其中LRMR技術(shù)主要包括Accelerate Proximal Gradient （APG）與Augmented Lagrange Multipliers （ALM），而ALM又分為Exact Augmented Lagrange Multipliers （EALM）與Inexact Augmented Lagrange Multipliers （IALM）兩種算法。其中APG算法就是在某一點(diǎn)最小化目標(biāo)函數(shù)的近似函數(shù)，ALM算法實(shí)際是運(yùn)用次微分與閾值迭代的算法近似替代最優(yōu)解，而EALM和IALM算法之間的區(qū)別在于低秩矩陣A和噪聲矩陣E的交替更新次數(shù)。在EALM中是交替更新A和E得到近似解，在IALM中只需要對(duì)A和E各更新一次得到子問(wèn)題的近似解。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

本論文的仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境為：微機(jī)型號(hào)Lenovo G460，CPU（Intel（R） Core（TM） i3-380M 2.53 GHz），內(nèi)存2.00 GB，硬盤(pán)容量500 GB，軟件平臺(tái)Windows7（32位）操作系統(tǒng)，Matlab7.0。

2.1 稀疏線陣設(shè)計(jì)

現(xiàn)在將壓縮感知技術(shù)應(yīng)用于稀疏線性陣列方向圖的求取，并對(duì)仿真效果進(jìn)行分析。

給定一個(gè)具有[N]個(gè)陣元的均勻矩陣[L0]，并且設(shè)每個(gè)陣元的權(quán)值都為1。首先根據(jù)壓縮感知技術(shù)對(duì)線陣進(jìn)行稀疏，得到稀疏線陣[L1]，使得剩余位置的陣元的權(quán)值為[wii∈Ω]，其中[Ω]是剩余陣元位置的集合。然后通過(guò)重構(gòu)算法將稀疏線陣[L1]重構(gòu)為恢復(fù)線陣[L3]，利用經(jīng)典算法分別對(duì)[L0]和[L3]進(jìn)行方向圖綜合，分析效果。

例1：令2N = 20，[d=λ2]，SLVL = -35 dB，用PSO算法進(jìn)行綜合，取適應(yīng)度函數(shù)為

式中：[S=θ0≤θ≤90°-θ0或90°+θ0≤θ≤180°];[PSLL]為實(shí)際峰值旁瓣電平;SLVL為預(yù)期的峰值旁瓣電平。

經(jīng)過(guò)250次迭代，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。從圖1可以看出，經(jīng)過(guò)OMMP算法重構(gòu)權(quán)值后的低旁瓣方向圖的峰值旁瓣電平可達(dá)到-35 dB，而經(jīng)過(guò)OMP算法重構(gòu)權(quán)值后的低旁瓣方向圖的峰值旁瓣電平只有-25 dB。

例2：令2N = 20，[d=λ2]，要求在[θ=70°]處形成-80 dB的深零陷，SLVL = -35 dB，使用凸優(yōu)化算法來(lái)進(jìn)行方向圖綜合。選用CVX工具箱來(lái)進(jìn)行綜合，經(jīng)過(guò)250次迭代，最終所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。從圖2可以看出，經(jīng)過(guò)OMMP算法與OMP算法重構(gòu)后的深零陷方向圖均滿足了實(shí)驗(yàn)要求。

根據(jù)以上2個(gè)例子可以看出，在相同的算法與參數(shù)條件下，經(jīng)過(guò)OMMP算法重構(gòu)后的線陣方向圖與原方向圖的結(jié)果更接近，效果更好。

根據(jù)壓縮感知原理，將稀疏線性陣列恢復(fù)成均勻線陣，然后再進(jìn)行方向圖綜合，這樣可以用較少的稀疏陣元，達(dá)到實(shí)現(xiàn)均勻陣元方向圖綜合的效果，這對(duì)設(shè)備的小型化和經(jīng)濟(jì)性有很好的作用。

2.2 稀疏面陣設(shè)計(jì)

根據(jù)低秩恢復(fù)技術(shù)，可以對(duì)10 × 10的均勻矩陣（權(quán)值為1）稀疏、重構(gòu)并得到其方向圖。為了得到一個(gè)均勻平面矩形天線陣的Chebyshev方向圖（圖3），在這里用稀疏矩形天線陣來(lái)實(shí)現(xiàn)。假設(shè)期望的副瓣電平SLVL = -30 dB，對(duì)于一個(gè)10 × 10的均勻矩陣，陣元間距[d=λ2]，權(quán)重因子由Chebyshev法產(chǎn)生。從均勻矩陣中隨機(jī)不斷移除陣元，之后分別用3種低秩恢復(fù)算法進(jìn)行恢復(fù)并進(jìn)行方向圖綜合，直到剩余陣元恰好滿足方向圖的要求。

3種低秩恢復(fù)算法綜合所得方向圖分別如圖4、圖5、圖6所示，算法運(yùn)行具體指標(biāo)如表1所示?？梢钥闯觯?種低秩恢復(fù)算法均可較好地將稀疏矩陣恢復(fù)成均勻矩陣，并得到符合要求的方向圖。其中，EALM算法的稀疏效果最好，APG算法的方向圖誤差最小。

綜上所述，將低秩恢復(fù)算法應(yīng)用于稀疏矩陣天線方向圖綜合，可以在節(jié)省20%～30%的陣元的情況下獲得與原矩陣十分接近的方向圖綜合效果，因此低秩恢復(fù)算法在稀疏矩陣天線方向圖綜合中的應(yīng)用獲得了成功。

3 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種陣列稀疏的新方法，對(duì)線陣與面陣分別采用壓縮感知與低秩矩陣恢復(fù)技術(shù)來(lái)減少陣元數(shù)。通過(guò)實(shí)例仿真分析，證明了該方法的有效性。通過(guò)稀疏陣列，可以減小天線的尺寸，在經(jīng)濟(jì)上有許多優(yōu)點(diǎn)。但是基于壓縮傳感的稀疏陣列的方向系數(shù)通常比均勻陣列的方向系數(shù)小得多。雖然合成的稀疏陣列可以獲得與均勻陣列相同的天線方向系數(shù)和方向圖，但其天線陣元數(shù)較少，因此會(huì)損失掃描能力。在以后的研究中，將對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行深入探討，希望能找到更好的方案。

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