李再東 郭奇奇

1) (河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院, 天津 300401)

2) (天津理工大學(xué)理學(xué)院, 天津 300384)

本文介紹了鐵磁納米線中磁化強度的一些新激發(fā)態(tài), 包括各向同性鐵磁的Akhmediev呼吸子、Kuznetsov-Ma孤子和怪波、自旋極化電流驅(qū)動下各向異性鐵磁納米線中的怪波動力學(xué).在各向同性情況下,展示了形如四片花瓣的磁孤子的空間周期過程和自旋波背景的局域化過程; 在極限情況下, 得到了磁怪波解并闡明了其形成機制.在各向異性情況下, 發(fā)現(xiàn)怪波的產(chǎn)生主要源于中心的能量積累和快速彌散; 此外, 怪波還具有不穩(wěn)定性, 它和自旋波背景間的能量與磁振子的交換可以通過自旋極化電流來調(diào)控.

專題：非線性物理

1 引 言

在過去幾十年中, 磁性納米結(jié)構(gòu)的磁化動力學(xué)研究取得了重大進展.在這些研究中, Selforganization[1]是自然界中最有趣的物理現(xiàn)象之一.在磁學(xué)領(lǐng)域中, 這一現(xiàn)象已經(jīng)在條狀疇、磁泡、磁孤子、磁渦旋等磁疇的形成方面進行了深入細致的研究.此外, 在二維薄膜磁性系統(tǒng)的研究中, 一些有趣的磁性Self-organization模式進一步被揭示,如自旋波[2]和斯格明子[3?5], 其中斯格明子可以在薄膜中作為亞穩(wěn)態(tài)成核.基于斯格明子在納米軌道上的運動為設(shè)計磁性信息存儲器提供了新的路徑.

疇壁的動力學(xué)引起諸多研究興趣, 主要原因在于其潛在的技術(shù)應(yīng)用價值在未來信息存儲和讀取方面具有廣闊前景和重要意義[6?11].例如, 在鐵磁體中, 磁化強度形成的空間局域結(jié)構(gòu)-磁疇壁, 其實可以看作是一個勢壘, 將簡并的兩個磁狀態(tài)分開[12,13],而這兩個組態(tài)正好可以作為二進制信息存儲的基本單元.目前, 疇壁運動有多種驅(qū)動手段, 例如外磁場、自旋轉(zhuǎn)移矩和磁振子等, 但疇壁的傳播還受到自旋霍爾效應(yīng)[14]、Rashba效應(yīng)[15]和Dzyaloshinskii-Moriya 相互作用[16?19]的影響.近些年來, Dzyaloshinskii-Moriya相互作用引起了人們對低維磁學(xué)的極大興趣[16?23], 這些研究不僅受到基本物理問題的啟發(fā), 還受到自旋電子存儲器和邏輯納米器件潛在應(yīng)用的啟發(fā).Dzyaloshinskii-Moriya相互作用可以看作是一種各向異性超交換作用, 不僅對疇壁運動具有重要影響, 而且對孤子的激發(fā)和傳播也存在重要影響.研究表明Dzyaloshinskii-Moriya相互作用可以影響孤子能量, 從而改變了動態(tài)孤子的振幅及內(nèi)部結(jié)構(gòu)畸變,形成不同結(jié)構(gòu)類型的孤子[17].另外, Dzyaloshinskii-Moriya相互作用還存在于反鐵磁和弱鐵磁中, 同樣對其孤子激發(fā)有著重要影響[24?26].

此外, 層狀材料中與自旋極化電流有關(guān)的磁化動力學(xué)問題也得到了廣泛的關(guān)注[27,28].自旋極化電流可以在磁性多層結(jié)構(gòu)中引起許多獨特的現(xiàn)象[29,30],如自旋波激發(fā)[31,32]、磁化開關(guān)[27]和反轉(zhuǎn)[33?35]及吉爾伯特阻尼增強[36,37]等.目前, 自旋極化電流通常用來創(chuàng)建、操縱和控制納米尺度的磁激發(fā), 例如疇壁[38?41]和渦旋[42?44].眾所周知, 非線性激發(fā)[12,13]是磁性有序材料中的一般現(xiàn)象.在鐵磁體中, 磁振子由于相互吸引作用而趨于自局域化.在某種意義上, 磁振子的吸引力對于一維鐵磁體是至關(guān)重要的, 因為它產(chǎn)生準粒子(磁振子)的束縛態(tài), 即自局域化.自旋波可以被看作是宏觀上連續(xù)的磁振子簇, 當磁化強度偏離基態(tài)時就會引起自旋波的激發(fā), 它們的相互作用和不穩(wěn)定性導(dǎo)致了磁疇壁和磁孤子的存在.

然而, 非線性激發(fā)的研究還有待于進一步深化.近年來, 小局部擾動是非線性物理研究的熱點之一.研究表明, 呼吸子或怪波可以由高階效應(yīng)、非自治和耦合效應(yīng)在一定條件下轉(zhuǎn)化為各種非線性波[45?49], 從而導(dǎo)致呼吸子和孤子之間實現(xiàn)狀態(tài)轉(zhuǎn)換.基于線性穩(wěn)定性分析調(diào)制不穩(wěn)定性, 從而分析該狀態(tài)躍遷的機制已經(jīng)得到大量研究[45?47], 但是當擾動增長與背景相當大時, 線性分析不再有效.因此, 在 2013年, Zakharov 和 Gelash[50,51]提出了一種由小的局部擾動發(fā)展而來的超正則呼吸子解, 可以用來描述調(diào)制不穩(wěn)定的非線性階段.并且近年來, 在一些具有高階效應(yīng)的光纖系統(tǒng), 例如Hirota and Maxwell-Bloch 等系統(tǒng)中, 這種超正則呼吸子動力學(xué)和它們的狀態(tài)轉(zhuǎn)換也得到了詳細研究[48,49].眾所周知, 調(diào)制不穩(wěn)定性存在于光纖、玻色-愛因斯坦凝聚等眾多非線性系統(tǒng)中, 這些結(jié)果不僅豐富了調(diào)制不穩(wěn)定性的內(nèi)涵, 也為其他各種系統(tǒng)的非線性研究提供了方法.

本文研究在磁學(xué)系統(tǒng)中, 當自旋波通過磁孤子時, 自旋角動量從傳播的磁振子傳遞給孤子的現(xiàn)象, 這被稱為全磁的自旋轉(zhuǎn)移力矩[52].這種全磁的自旋轉(zhuǎn)移力矩可以影響磁化動力學(xué), 使磁狀態(tài)發(fā)生改變.本文研究了自旋波背景下鐵磁納米線中磁化強度的呼吸子和怪波解, 討論了各向同性情況下由全磁的自旋轉(zhuǎn)移力矩引起的亮(暗)怪波的精確解,以及自旋極化電流驅(qū)動下的單軸各向異性的怪波動力學(xué), 這些研究結(jié)果預(yù)期對玻色子和費米子鐵磁體的非線性激發(fā)的探測具有一定的意義.

2 Landau-Lifshitz-Gilbert方程

鐵磁中磁化強度的動力學(xué)可以用著名的Landau-Lifshitz-Gilbert方程很好地描述.本文采用無量綱形式[53]

其中,α為吉爾伯特阻尼系數(shù);AJ表示絕熱自旋矩參數(shù);heff表示有效場, 包括交換場、各向異性場和外加磁場.對于垂直各向異性的鐵磁納米線樣品材料, 即其中Ms為飽和磁化強度,Hk為各向異性常數(shù),hext為所施加的外磁場.

3 各向同性的精確呼吸子解和怪波解

首先, 本文考慮簡單的各向同性模型, 即方程(1)可重新寫為

眾所周知, 該方程存在自旋波解和孤子解.需要指出的是, 方程(1)是完全可積的, 可以利用達布變換構(gòu)造方程(2)的精確呼吸子解和怪波解, 這種方法的關(guān)鍵思想是首先從方程的一個種子解出發(fā), 然后通過Lax方程的規(guī)范變換構(gòu)造無窮多的新解析解.本文以自旋波作為初始的“種子”解m0, 即其中δ=ksx?ωst.將這個解帶入到方程(2), 得到色散關(guān)系為通過規(guī)范的達布變換, 可得到方程(2)的精確解形式為[54]

其中,σ是泡利矩陣, 矩陣K為

其中,

方程(3)表示嵌入到自旋波背景的磁孤子解.隨著μ的增加, 自旋波背景逐漸趨于局部化, 并且由于孤子和自旋波背景之間的相互作用形成呼吸子.仔細分析方程(3)的解, 可以得到Akhmediev呼吸子、Kuznetsov-Ma孤子及磁怪波.結(jié)果發(fā)現(xiàn)不同的磁狀態(tài)取決于一個臨界值 |μ|=Asks, 它也是調(diào)制不穩(wěn)定過程 ( |μ|Asks)及在極限 |μ|→Asks時的磁狀態(tài)的分界線.

調(diào)制不穩(wěn)定性在非線性物理學(xué)中被廣泛研究[54?56], 其特征是小擾動和連續(xù)波背景之間的周期性能量交換.它可以用于在非線性光纖中產(chǎn)生高重復(fù)率脈沖, 可以精確地描述非線性薛定諤方程的 Akhmediev 呼吸子.在光纖中, Akhmediev 呼吸子具有時間周期性, 在傳播方向上表現(xiàn)出單一生長-返回循環(huán)的特性, 即著名的 Fermi-Pasta-Ulam循環(huán)[57].近年來, 調(diào)制不穩(wěn)定性已被發(fā)現(xiàn)在各種非線性物理系統(tǒng)中, 對高度局域化怪波的產(chǎn)生起著重要作用.

方程 (3)可以在 |μ|

這 里As=1 , 由 于x0>0,?=exp(?x0) 是 一 個小量.

通過參數(shù)方程(4)式表達的Akhmediev呼吸子解, 實際上表示自旋波背景的不穩(wěn)定過程, 即在自旋波背景下的小擾動, 這些小擾動隨著時間的推移可呈現(xiàn)指數(shù)形式放大的非線性過程.在這個過程中, 磁孤子和自旋波背景之間發(fā)生周期性磁振子交換.應(yīng)當注意的是, 在基態(tài)背景上激發(fā)的磁孤子沒有這種特性.由此說明, 正是自旋波和磁孤子之間的相互作用導(dǎo)致了這一非常有趣的現(xiàn)象.

另外, 在 |μ|>Asks和ν=ksm03的條件下, 可以得到方程(2)另外一種形式的磁激發(fā)態(tài), 它類似于非線性光纖中光脈沖傳播的Kuznetsov-Ma孤子解, 也可以看作是怪波流體力學(xué)的原型.經(jīng)過化簡后, 該解的主要特征參數(shù)如下:

由(6)式可知, 磁性Kuznetsov-Ma孤子的主要特性表現(xiàn)為具有時間周期性而空間具有非周期性, 且孤子的傳播速度為 ? 2ksm03, 寬度為 1 /ζ.當As=1時, 參數(shù)θ僅取決于x, 這意味著包絡(luò)速度變?yōu)榱? 孤子被自旋波囚禁在空間中, 這是極為有趣的現(xiàn)象, 等待進一步深化研究.為了研究Kuznetsov-Ma孤子的漸近形式, 考慮極限情況x→ ±∞.根 據(jù) 方 程 (3)和 (6),m3近 似 為而 橫 向 分 量 表 示 為m+, 近 似 為這 里m0+≡m01+im02.當自旋波通過磁孤子時, 這一結(jié)果表明自旋波相位改變了自旋波的這種相位改變會影響磁孤子的傳播速度, 表示自旋角動量從自旋波背景轉(zhuǎn)移到動態(tài)孤子, 也就是前面說到的全磁自旋轉(zhuǎn)移力矩效應(yīng).另外, 要想實現(xiàn)m3的零背景情形, 可以通過兩種情況來實現(xiàn),即As=1 或 1 /2As<1,|μ1|=ks/2 , 而在x→ ±∞時磁振子密度分布達到最大值1.因此,m3的最大和最小的演化與孤子的傳播方向相同, 這一特性說明了孤子在鐵磁體磁化周期解的背景下傳播時的呼吸特性.

方程(3)的磁性Kuznetsov-Ma孤子解不同于磁性Akhmediev呼吸子解, 方程(6)的局部周期性磁振子交換表現(xiàn)為時間周期性演化.因此, 高磁振子密度沿著孤子的傳播方向呈時間周期性變化.上述的討論表明, |μ|=Asks是一個臨界點條件, 劃分了調(diào)制不穩(wěn)定性過程 ( |μ|Asks).它會導(dǎo)致不同物理行為的呼吸特征,在很大程度上取決于調(diào)制參數(shù)μ, 如圖1所示, 在ν=ksm03的條件下, 在極限 |μ|→ (Asks)?和(Asks)+過程中, 繪制了兩種不同的漸近行為.前一種情況演示出了形成近乎四片瓣的空間周期過程.隨著調(diào)制參數(shù) |μ| 接近Asks, 相鄰磁性瓣的空間間隔迅速增大, 而一個谷分裂為兩個, 且谷的振幅逐漸增大.另一種情況顯示了自旋波背景的局部化過程, 當調(diào)制參數(shù) |μ| 接近 (Asks)+時, 相鄰磁性花瓣的時間間隔迅速增大.

非常有趣的是, 在 |μ| 趨于 (Asks) 的極限情況下, 可以得到方程(3)的一種全新的磁化強度激發(fā)態(tài), 它是一個有理解的形式, 稱之為磁怪波, 其中主要參數(shù)由下式給出:

這里符號 ± 表示 |μ|→ ±Asks的極限情況.為了研究方程 (7)磁怪波的漸近形式, 考慮x→ ±∞(t→ ±∞)和x→0(t→0) 的 情 況 .對于+的 情 況, 當x→ ±∞(t→ ±∞) 時m3近似 為當x→0(t→0) 時分量m3近似為m03; 而對于 ? 的情況, 當x→ ±∞(t→ ±∞) 時m3近 似 為m03, 當x→0(t→0) 時 分 量m3近 似 為對于橫向分量m+, 在+的情況, 當x→ ±∞ (t→ ±∞)時 近 似 為當x→0(t→0)時 分 量m+近 似 為 ?m0+; 在 ? 的 情況, 當x→ ±∞(t→ ±∞) 時分量m+近似為 ?m0+,當x→0(t→0) 時 近 似為上 述 分析表明情況+表示亮怪波, 而情況 ? 對應(yīng)于暗怪波.亮和暗怪波的圖形表示如圖2所示.

特別的, 當As=1 時, 可以得到磁怪波如下:

上述結(jié)果表明, 磁怪波的形成存在兩種過程:一個是自旋波背景的局部化過程, 另一種是亮孤子的周期化的還原過程.磁怪波是由磁振子交換和高密度的強時間和空間局域化表現(xiàn)出來的.而且, 磁怪波可以通過自旋波背景的小局部擾動激發(fā).

4 單軸各向異性系統(tǒng)中的精確怪波解

在這個部分, 本文考慮自旋極化電流驅(qū)動下各向異性鐵磁納米線中的磁怪波動力學(xué), 這種情況下方程(1)是不可積的, 為了達到這個目的, 需要對方程(1)做一些近似處理和變換.方程(1)有兩種基本激發(fā)態(tài), 即自旋波和動力學(xué)孤子, 這兩種激發(fā)態(tài)都源于磁矩對基態(tài)的微小偏移.因此, 在各向異性情況可以引入一個合理的函數(shù)q替換磁化強度的分量, 即q≡mx+imy和在考慮無阻尼和長波近似的條件下, 方程(1)可以轉(zhuǎn)變成可積的非線性薛定諤方程的形式:

其中ω0=1+hext/(Hk/Ms?4π).根據(jù)前面談到的達布變換的思想, 方程(9)的解析解很容易構(gòu)造出來[58?62].這里, 選擇單軸各向異性情況下的自旋波解作為初始種子解q=Ace?i(kcx?ωct) , 其中ωc 和kc分別為無量綱的頻率和波數(shù).經(jīng)過復(fù)雜的計算, 可以得到具有呼吸特性的孤子解[53].

與各向同性討論的類似, 在臨界點μ1=Ac且ν1= ?kc的條件下, 可得到調(diào)制不穩(wěn)定過程(μ1Ac) , 這就導(dǎo)致了依靠調(diào)制呼吸行為而實現(xiàn)不同特征.在ν1= ?kc條件下, 取極限導(dǎo)致了兩種不同的漸進行為.當取極限條件μ1→Ac時, 出現(xiàn)奇異的磁怪波, 即

圖4 不同的參數(shù) μ1 下的磁振子密度分布圖 [53], 范圍從0.09到0.29間隔0.05.插圖為怪波形成時的磁振子密度.其余參數(shù)為Ac=0.2,AJ=kc=0.1Fig.4.The magnon density distribution against the background for the different parameter μ1 , which ranges from 0.09 to 0.29 in 0.05 steps[53].The inset figure is the magnon density distribution against the background for the excited formation of magnetic rogue wave.Other parameters are Ac=0.2,AJ=kc=0.1.

根據(jù)方程(10)和ρ=|Q1(x,t)|2?|Q1(x=±∞,t)|2,可以獲得磁怪波的磁振子密度分布關(guān)系:

為了進一步闡釋磁怪波的產(chǎn)生機制, 還需要關(guān)心的是怪波如何使磁振子和能量從背景向中心積聚, 這時需要再引入新的函數(shù), 即積聚和耗散率來進行說明:

通過復(fù)雜的計算可以得到

這說明了在不同的自旋極化電流下怪波和背景之間的交換(圖5).根據(jù)方程(12), 可知自旋極化電流能夠調(diào)控磁孤子積聚和耗散率, 并且臨界電流為AJc=2kc.在臨界電流以下, 磁振子的交換隨著電流的增加而降低; 在臨界電流以上, 磁振子的交換隨著電流的增加而增加 (圖5(f)).從圖5(a)到圖5(e)可以看出, 自旋極化電流使怪波和背景的磁振子交換不同導(dǎo)致了磁怪波對于 (x,t) 空間方向的不同.當AJc=2kc時, 磁振子的空間積聚 (或者耗散)達到最大(圖5(f)).通過計算

發(fā)現(xiàn): 當t<0 時, 背景中的磁振子向中間積聚; 當t=0, 怪波的臨界峰值出現(xiàn); 同理, 當t>0 , 波峰中的磁振子開始向背景轉(zhuǎn)移, 波峰逐漸衰減.最后磁怪波完全消失, 這也就證明了磁怪波僅僅是一個在時間和空間上的震蕩, 充分體現(xiàn)了一個不穩(wěn)定動力學(xué)過程的特性.

最后, 如何在實驗中探測到這種呼吸子和怪波是非常有趣的.囚禁在光格子中的玻色-愛因斯坦凝聚體可以具有鐵磁性, 即玻色鐵磁[63?65], 這種情況下m3分量的平均值可以從直接測量自旋磁量子數(shù)為+1和–1的塞曼子能級的粒子數(shù)之差來實現(xiàn).這意味著對于磁呼吸子解, 存在時間或空間周期性的粒子數(shù), 而對于怪波則粒子群為不均勻的.對于費米子鐵磁體, 電流通過鐵磁體時, 其電阻受磁矩取向的強烈影響.因此, 磁呼吸子解會使磁性層中的電阻發(fā)生周期性變化, 而怪波情況下, 應(yīng)該會出現(xiàn)瞬時電阻的急劇變化.

圖5 (a)?(e)不同電流值激發(fā)怪波在區(qū)域 ( x,t) 的分布圖[53], 電流從 0 到 0.8, 間隔為 0.2; (f)不同電流怪波形成時的圖形, 插圖為磁振子積聚的最大時情況.臨界電流 AJ=2kc , 其它參數(shù)Ac=kc=0.2Fig.5.(a)?(e) The formation region in space ( x,t) for magnetic rogue wave with different current[53].The parameter A J ranges form 0 to 0.8 in 0.2 steps; (f) The nonuniform exchange of magnons between rogue wave and background for the different spin current.The inset figure in (f) denotes the maximal accumulation (or dissipation) process for the critical current value AJ=2kc .Other parameters are Ac=kc=0.2 .

5 結(jié) 論

綜上所述, 本文研究了自旋轉(zhuǎn)移力矩激發(fā)下的各向同性和單軸各向異性的鐵磁體的磁化動力學(xué)過程.首先在各向同性系統(tǒng)中得到了Akhmediev呼吸子、Kuznetsov-Ma孤子和怪波的精確的表達式.根據(jù)臨界條件分別分析了調(diào)制不穩(wěn)定過程、周期化過程和磁怪波.這些結(jié)果對探測玻色子和費米子鐵磁體的非線性激發(fā)有一定的指導(dǎo)意義.然后對單軸各向異性的磁怪波進行分析發(fā)現(xiàn), 能量和磁振子向中心位置的積聚對帶有強呼吸子特點的怪波的產(chǎn)生起主要作用, 且怪波具有暫時性和局域性.它和背景間的能量與磁振子的交換可以通過自旋極化電流調(diào)控, 并且在臨界值以上和臨界值以下自旋矩的作用完全不同.這為鐵磁系統(tǒng)中的調(diào)制不穩(wěn)定性對非線性激發(fā)的可控性研究也提供了重要意義.