王力 劉靜思 李吉 周曉林 陳向榮 劉超飛 劉伍明

1) (四川大學(xué)物理學(xué)院, 成都 610065)

2) (北京景山學(xué)校朝陽學(xué)校, 北京 100012)

3) (太原師范學(xué)院物理系, 晉中 030619)

4) (四川師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院, 成都 610101)

5) (江西理工大學(xué)理學(xué)院, 贛州 341000)

6) (中國科學(xué)院物理研究所, 北京凝聚態(tài)物理國家實(shí)驗(yàn)室, 北京 100190)

7) (中國科學(xué)院大學(xué)物理學(xué)院, 北京 100190)

實(shí)現(xiàn)玻色-愛因斯坦凝聚的原子大多具備內(nèi)部自旋自由度, 在光勢(shì)阱下原子內(nèi)部自旋被解凍, 從而使原子可以凝聚到各個(gè)超精細(xì)量子態(tài)上, 形成旋量玻色-愛因斯坦凝聚體.靈活的自旋自由度成為體系相關(guān)的動(dòng)力學(xué)變量, 可以使體系出現(xiàn)新奇的拓?fù)淞孔討B(tài), 如自旋疇壁、渦旋、磁單極子、斯格明子等.本文綜述了旋量玻色-愛因斯坦凝聚的實(shí)驗(yàn)和理論研究, 旋量玻色-愛因斯坦凝聚體中拓?fù)淙毕莸姆N類, 以及兩分量、三分量玻色-愛因斯坦凝聚體中拓?fù)淙毕莸难芯窟M(jìn)展.

1 引 言

對(duì)于一個(gè)多粒子的玻色系統(tǒng), 當(dāng)體系的溫度極低, 且原子間的距離足夠靠近時(shí), 大量原子將會(huì)凝聚在動(dòng)量為零的最低能態(tài)上, 從而出現(xiàn)一種具有宏觀量子特性的簡并態(tài), 即玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensate, BEC)[1?5].當(dāng) BEC 被限制在磁勢(shì)阱(如四極阱(Paul)[6], Ioffe-Pritvhard阱 (IPT)[7], 時(shí)間軌道勢(shì)阱 (time orbiting potential,TOP)[8]等)中時(shí), 原子處于弱場(chǎng)束縛態(tài), 內(nèi)部自旋自由度被凍結(jié), 此時(shí)凝聚體性質(zhì)可以通過標(biāo)量形式的序參量來描述[9,10].當(dāng)BEC被限制在光勢(shì)阱[11,12]中時(shí), 內(nèi)部自旋自由度被釋放, 其磁化性質(zhì)由自旋相互作用決定, 這樣的體系稱為旋量BEC[13?16].

實(shí)驗(yàn)方面, 1998年美國麻省理工學(xué)院(MIT)的Stamper-Kurn研究組[16]在沿磁勢(shì)阱的中心軸射入紅外線光束形成的光偶極阱中, 首次實(shí)現(xiàn)了金屬23Na原子系統(tǒng)的BEC, 通過這一突破性進(jìn)展把在磁勢(shì)阱中凍結(jié)的自旋自由度解放出來, 在冷原子物理領(lǐng)域中開辟了旋量BEC研究的嶄新領(lǐng)域.實(shí)驗(yàn)采用光勢(shì)阱捕獲和冷卻鈉原子, 當(dāng)溫度達(dá)到1—2 μK, 原子密度數(shù)約為 1 × 1014cm–3時(shí), 轉(zhuǎn)移到磁勢(shì)阱中經(jīng)由射頻誘導(dǎo)蒸發(fā)進(jìn)一步冷卻, 在F= 1,mF= –1 的電子基態(tài)上產(chǎn)生含有(5—10) × 106個(gè)原子的凝聚體.隨著紅外線激光束能量的提升,在穩(wěn)定的磁勢(shì)阱中控制凝聚體進(jìn)入光勢(shì)阱, 然后關(guān)閉磁勢(shì)阱, 讓凝聚體處于全光阱中.圖1為光勢(shì)阱中F= 1旋量BEC所有精細(xì)態(tài)上鈉原子的分布,從圖1(b)可以清晰地看到凝聚體分布在三個(gè)超精細(xì)態(tài)上, 金屬鈉原子的自旋自由度被充分釋放.

圖1 光勢(shì)阱中 F = 1 23Na 凝聚體的超精細(xì)態(tài) [16].(a) 250 ms 時(shí)光勢(shì)阱中鈉原子的吸收?qǐng)D像; (b) 340 ms時(shí)光勢(shì)阱中鈉原子的吸收?qǐng)D像Fig.1.Optical trapping of 23Na condensates in all F =1 hyperfine states: shown are absorption images after(a) 250 ms and (b) 340 ms of optical confinement.

2001年, Barrett等[17]在兩束 CO2激光束 (功率為 12 W, 波長為 10.6 μm)交叉會(huì)聚形成的全光阱中得到了F= 1的87Rb原子的旋量BEC.實(shí)驗(yàn)中首先將低速的銣原子裝載到磁光阱中, 接著逐步降低光強(qiáng), 關(guān)閉磁場(chǎng), 然后把原子抽運(yùn)到F= 1,mF= 1 態(tài), 最后打開 CO2激光束, 使原子裝載到光勢(shì)阱中.整個(gè)過程中是通過在2 s時(shí)間內(nèi)逐步降低光強(qiáng), 即減少阱深來實(shí)現(xiàn)蒸發(fā)冷卻的.圖2為實(shí)驗(yàn)得到的Stern-Gerlach梯度磁場(chǎng)中自由膨脹10 ms后的原子吸收?qǐng)D像, 從下到上分別是F= 1,mF=–1, 0, 1 凝聚體的三個(gè)分量.

圖2 銣原子云在 Stern-Gerlach 梯度磁場(chǎng)中自由膨脹10 ms后的吸收?qǐng)D像[17].從下到上分別是 F = 1, mF = (–1,0, 1)凝聚體的三個(gè)分量Fig.2.Absorptive image of Rb atomic cloud after 10 ms free expansion in a Stern-Gerlach magnetic field gradient.Three distinct components are observed corresponding to F = 1, mF = (–1, 0, 1) spin projections from bottom to top,respectively.

2003年, Gustavson 等[18]研究了F= 2的23Na旋量BEC, 觀察到了數(shù)秒壽命的精細(xì)態(tài)(F= 2,mF= –2), 且原子密度數(shù)為每立方厘米 1014.Chang[19]、Schmaljohann[20]、Kuwamoto[21]等觀察到了F= 2的87Rb旋量BEC, 并研究了其動(dòng)力學(xué)性質(zhì).2012年, Pasquiou 等[22]也從實(shí)驗(yàn)上觀察到了F= 3的52Cr旋量BEC, 并研究了其熱力學(xué)性質(zhì), 表明在極低磁場(chǎng)下, 當(dāng)自旋自由度被熱激活時(shí),凝聚體的臨界溫度會(huì)降低.

特別地, 在2011年, 美國國家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院的Spielman[23]研究組在87Rb旋量BEC中兩個(gè)內(nèi)部自旋態(tài)之間通過雙光子拉曼過程實(shí)現(xiàn)了等效的自旋-軌道耦合, 這是人類歷史上首次通過人工合成磁場(chǎng)實(shí)現(xiàn)了BEC的自旋-軌道耦合效應(yīng), 成為近年來冷原子物理中的一個(gè)研究熱點(diǎn)[24?27].2012年, 中國科技大學(xué)潘建偉[28]研究組也實(shí)現(xiàn)了BEC中的一維自旋-軌道耦合.此外, 山西大學(xué)[29]和麻省理工[30]的研究組, 分別用40K和6Li實(shí)現(xiàn)了費(fèi)米冷原子氣體中的自旋-軌道耦合.量子氣體中自旋-軌道耦合的實(shí)現(xiàn), 開辟了研究冷原子物理的新方向, 如光與原子相互作用對(duì)旋量BEC拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響, 自旋渦旋陣列的產(chǎn)生, 以及各種新奇拓?fù)淙毕莸漠a(chǎn)生.科研工作者不僅詳細(xì)研究了自旋-軌道耦合的BEC的性質(zhì)[31?34], 還在實(shí)驗(yàn)上成功模擬了Zitterbewegung(狄拉克顫動(dòng))[35,36]、自旋霍爾效應(yīng)[37]等現(xiàn)象, 并提出了研究量子霍爾效應(yīng)[38]、反常量子自旋霍爾效應(yīng)[39]、費(fèi)米氣體中的拓?fù)淞孔酉嘧僛40]等物理問題的方案.

理論方面, 1998年Ho[41]和Ohmi[42]獨(dú)立進(jìn)行了旋量 BEC的理論研究.他們推廣了Gross-Pitaevskii方程, 在平均場(chǎng)理論下研究了自旋F=1的BEC的基態(tài)結(jié)構(gòu)和拓?fù)淙毕莸男再|(zhì).同年,Law等[43]利用量子光學(xué)中的代數(shù)方法研究了其自旋混合動(dòng)力學(xué)行為.接著, Koashi[44,45]、Ciobanu[46]和Semenoff[47]等研究了F= 2的旋量BEC的基態(tài)結(jié)構(gòu)、自旋相關(guān)、磁效應(yīng)、激發(fā)譜及相位等一系列理論性質(zhì).Santos[48]、Diener[49]、Makela[50]等對(duì)F= 3的旋量 BEC 也進(jìn)行了理論研究.2007年,Yip[51]研究了自旋F≤ 4的旋量BEC的基態(tài)及其對(duì)稱性.

BEC作為一種新穎的物質(zhì)形態(tài), 是物理學(xué)前沿的研究熱點(diǎn)之一, 特別是實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了旋量BEC、分子的BEC、費(fèi)米凝聚體、自旋-軌道耦合的超冷原子氣體以來, 又掀起了新一輪的研究熱潮.本文綜述了旋量BEC的實(shí)驗(yàn)和理論研究, 旋量BEC中產(chǎn)生的拓?fù)淙毕莸姆N類, 如自旋疇壁、渦旋、磁單極子、skymions、扭結(jié), 并結(jié)合我們的工作著重介紹了兩分量和三分量旋量BEC中拓?fù)淙毕莸难芯窟M(jìn)展.

2 旋量玻色-愛因斯坦凝聚體

2.1 旋量玻色-愛因斯坦凝聚體的哈密頓量表示

自旋為f的BEC的序參量在旋轉(zhuǎn)下有2f+ 1個(gè)分量, 且這些分量是隨著時(shí)間空間變化的, 攜帶關(guān)于超流和磁性的信息, 能形成自旋流及質(zhì)量流,產(chǎn)生豐富的自旋結(jié)構(gòu)[52].

考慮自旋f的全同玻色子體系, 取(r) 為相應(yīng)的場(chǎng)算符, 假設(shè)滿足對(duì)易關(guān)系:

考慮兩個(gè)自旋為f的玻色子的耦合作用, 其總自旋F為 0, 2, …, 2f, 耦合態(tài)對(duì)應(yīng)的湮滅算符為

哈密頓量具有標(biāo)量性, 在旋轉(zhuǎn)下保持不變, 進(jìn)一步得到相互作用哈密頓量:

其中v(F)(r?r′) 表示相互作用勢(shì), 且

其中g(shù)F描述兩個(gè)粒子間相互作用強(qiáng)度,aF指S波散射長度.由此哈密頓量可以表示為

對(duì)于自旋f= 1時(shí)的相互作用哈密頓量, 此時(shí)兩個(gè)玻色子碰撞的總自旋F只能是0和2, 相應(yīng)的相互作用哈密頓量可表示為

聯(lián)合兩式得到總的相互作用哈密頓量為

同樣地, 可以得到f= 2 時(shí)的相互作用哈密頓量:

f= 3時(shí)的相互作用哈密頓量為

其中

2.2 旋量玻色-愛因斯坦凝聚體的拓?fù)浜?/h3>

對(duì)于各種形式的拓?fù)淙毕葜饕ㄟ^計(jì)算拓?fù)浜蓙砼卸?線缺陷形式的渦旋可通過觀察相位圖中的奇異點(diǎn)和纏繞數(shù)來識(shí)別, 對(duì)于點(diǎn)缺陷, 如磁單極子, 可以通過計(jì)算拓?fù)浜蓙泶_定是整數(shù)磁單極子還是分?jǐn)?shù)磁單極子[53].在兩分量BEC系統(tǒng)中, 原子可以是兩種不同的元素[54], 也可以是同種元素的兩種同位素[55], 或者是同種原子的不同超精細(xì)態(tài)[56],該體系可用贋自旋 1 /2 系統(tǒng)來描述[57,58].

贋自旋S=Ψ?σΨ/|Ψ|2, 其分量形式為

其中y1,y2,q1,q2分別為兩個(gè)分量的波函數(shù)和相位.局部贋自旋的三個(gè)分量可表示為

其中q和j分別為極角和方位角.比較兩式可知贋自旋的極角只與兩分量的相對(duì)密度有關(guān), 即贋自旋的Sz分量由兩組分的密度差決定, 而Sx,Sy分量由相對(duì)密度和相對(duì)相位共同決定, 表明兩分量BEC不同的相對(duì)密度和相對(duì)相位會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)構(gòu)的自旋紋理, 可以用拓?fù)浜擅芏萹(r)來描述其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間分布:

對(duì)全空間積分得拓?fù)浜?

從(31)式可以看出, 任意交換自旋密度矢量的三個(gè)分量Sx,Sy,Sz中的兩個(gè)分量, 或者任意改變?nèi)齻€(gè)分量中其中一個(gè)分量的正負(fù)號(hào), 將會(huì)出現(xiàn)不同結(jié)構(gòu)的自旋紋理, 但其拓?fù)浜擅芏萹(r)和拓?fù)浜傻慕^對(duì)值 |Q| 不會(huì)變化.

3 拓?fù)淙毕莸姆诸?/h2>

拓?fù)淙毕莸莫?dú)特性是在弱微擾下能穩(wěn)定存在,在空間自由連續(xù)地變換而不改變其自身性質(zhì).這種穩(wěn)定性由表征序參量流形的離散拓?fù)淞孔訑?shù)保護(hù).拓?fù)淙毕莸姆诸愔饕揽客瑐愓? 描述不同的拓?fù)淙毕輹?huì)出現(xiàn)不同的序參量流形.表1總結(jié)了利用同倫群對(duì)拓?fù)淙毕葸M(jìn)行分類的結(jié)果.旋量BEC有豐富的序參量流形, 因而可產(chǎn)生不同種類的拓?fù)淙毕? 如整數(shù)和分?jǐn)?shù)渦旋[59?64], 非阿貝爾渦旋[65],’ tHooft-Polyakov 磁單極子[66], 狄拉克磁單極子[67?68],skyrmions[69?71]和扭結(jié)[72].

表1 同倫群描述的拓?fù)淙毕萁Y(jié)構(gòu)Table 1.Topological defect structures described by homotopy groups.

3.1 自旋疇壁

疇壁可由零階同倫群 π0(R) 表 征.若π0(R)=0說明體系是相連的, 若 π0(R)=1 , 說明體系被分為兩個(gè)非連續(xù)區(qū)域.以兩分量贗自旋1/2的序參量來描述, 其贗自旋表示為(28)式.圖3表示在贗自旋表象中自旋密度Sx,Sy,Sz的分布情況.第一組分分布在勢(shì)阱的左邊, 標(biāo)記為自旋朝上Sz=1(圖中紅色表示); 第二組分在強(qiáng)烈的排斥作用下分布在第一組分的低密度區(qū)域, 即勢(shì)阱的右邊, 標(biāo)記為自旋朝下Sz= –1(圖中藍(lán)色表示).兩個(gè)分量的相分離導(dǎo)致在贗自旋表象中形成了兩個(gè)自旋疇,在兩個(gè)自旋疇的界面上形成了自旋疇壁.在這個(gè)區(qū)域自旋既不朝上也不朝下(即|Sz|=1 ), 而是在x方向上有了分量.從左邊自旋疇到右邊自旋疇的過程中, 疇壁上的自旋沿著x方向翻轉(zhuǎn), 贗自旋在x-y平面的投影均指向x軸的正方向, 形成了如圖3(d)中的經(jīng)典奈爾型疇壁[73].

3.2 渦 旋

渦旋可由一階同倫群 π1(R) 表征, 描述一個(gè)從實(shí)空間回路到序參量流形的映射.它屬于線缺陷,常見于超流和液晶位錯(cuò)中.對(duì)于S波超導(dǎo)體、液4He以及旋量BEC, 繞渦旋線的質(zhì)量環(huán)流是量子化的, 其渦旋由纏繞數(shù)nw表征:

積分沿著閉合路徑C進(jìn)行, 其中κ≡h/M,vs(= ?/M??)為超流速度.對(duì)于標(biāo)量序參量, 其序參量流形為R=U(1) , 其基本群為整數(shù)加群:π1(U(1))～=Z .π1(U(1)) 的群元與纏繞數(shù)nw的值是一一對(duì)應(yīng)的[74].

對(duì)于自旋 1的鐵磁 BEC, 序參量流形為SO(3), 其基本群為 π1(SO(3))～=Z2={0,1} , 可存在Mermin-Ho渦旋, 對(duì)應(yīng)序參量為:

其中b是方位角,?表示極坐標(biāo)下極角.Mermin-Ho渦旋在中心處的方位角b= 0, 在邊界處對(duì)應(yīng)的方位角β=π/2 .因此, 空間內(nèi)自旋方向在中心處是垂直的, 邊界處是水平的.這種渦旋的纏繞數(shù)組合為 (0, 1, 2), 每個(gè)組分的密度分布都是軸對(duì)稱的,勢(shì)阱中心被y1組分占據(jù),y0組分被推到外部,y–1組分被排擠到最邊緣區(qū)域.

圖3 贗自旋密度 Sz, Sx, Sy 的空間分布[73] (a)?(c)表示旋轉(zhuǎn)角頻率為 0; (d) 自旋紋理投影到 x-y 平面內(nèi)的矢量表示Fig.3.The pseudospin density distribution for (a) Sz, (b) Sx and (c) Sy for W = 0; (d) the vectorial representation of the spin texture projected onto the x-y plane.

另一種渦旋結(jié)構(gòu)為極核渦旋, 對(duì)應(yīng)序參量為

這種渦旋的纏繞數(shù)滿足組合 (1, 0, –1).勢(shì)阱中心被y0組分占據(jù),y1和y–1組分被推到外部區(qū)域.不同于Mermin-Ho渦旋中心處的縱向磁化,極核渦旋代表手征對(duì)稱性的自發(fā)破缺.

對(duì)于渦旋而言, 相位的改變量是量子化的, 應(yīng)是2π的整數(shù)倍[75].在兩分量BEC系統(tǒng)中, 通過光學(xué)方法可以實(shí)現(xiàn)半量子化渦旋(half-quantized vortice), 描述兩分量系統(tǒng)中, 組分一渦旋的相位改變量是2π, 組分二相位改變量為0的情況.相對(duì)于整個(gè)系統(tǒng), 每個(gè)組分的相位改變量為π, 因此稱之為半量子化渦旋或 Alice渦旋[76].2017年Liu C F 和 Liu W M[77]利用變分方法, 得到了自旋-軌道耦合和外磁場(chǎng)聯(lián)合作用下自旋1BEC中無核半量子渦旋可能的穩(wěn)定解.計(jì)算表明, 各向同性自旋-軌道耦合提供了穩(wěn)定無核半量子渦旋和相應(yīng)的奇異半量子自旋紋理激發(fā)的局部能量最小.各向同性自旋-軌道耦合和垂直磁場(chǎng)的聯(lián)合約束是獲得這種激發(fā)的關(guān)鍵因素, 研究還提供了半量子渦旋的穩(wěn)定相圖和最可能的尺寸.圖4為自旋1BEC中半量子渦旋近似解和相應(yīng)的奇異自旋紋理.在自旋2BEC的單軸向列相和四面體循環(huán)相中還存在非阿貝爾渦旋, 其迷向群都是阿貝爾群[78].非阿貝爾渦旋的特點(diǎn)在于其渦旋的生成元是不能互換的, 因此當(dāng)兩個(gè)渦旋碰撞時(shí), 它們不能合并或者通過對(duì)方, 而是形成一個(gè)rung渦旋粘在一起.

3.3 磁單極子

磁單極子可由二階同倫群 π2(R) 表征, 描述從實(shí)空間一個(gè)球到序參量流形的映射, 為二維skyrmion結(jié)構(gòu), 常見的兩種二維skyrmions構(gòu)型如圖5.在鐵磁BEC系統(tǒng)中可以產(chǎn)生狄拉克磁單極子, 其鐵磁相的序參量為

圖5 兩種常見的二維 skyrmions 的矢量場(chǎng)構(gòu)型[79] (a) 豪豬型 skyrmion; (b) 螺旋型 skyrmionFig.5.Two common vector field configurations of two-dimensional skyrmions: (a) The hedgehog type skyrmion;(b) the spiral type skyrmion.

這樣的點(diǎn)缺陷在鐵磁BEC中三個(gè)自旋態(tài)的分布分別為: 在y1分量表現(xiàn)為雙量子數(shù)渦旋線, 在y0分量表現(xiàn)為單量子數(shù)渦旋線, 在y–1分量表現(xiàn)為孤子態(tài), 沒有渦旋線.

自1931年狄拉克磁單極子被首次提出以來,便受到了廣泛關(guān)注, 盡管到目前為止仍然沒有探測(cè)到真實(shí)的磁單極子, 科研工作者在不同領(lǐng)域也取得了較大的進(jìn)展, 例如固態(tài)物理中的自旋冰材料, 便提供了一種人造磁單極子環(huán)境.最具有突破性進(jìn)展的是研究者在鐵磁BEC中實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了人造磁單極子[80,81].

3.4 三維skyrimion

三維skyrimion可由三階同倫群 π3(R) 表征,這是一個(gè)擴(kuò)展到整個(gè)三維實(shí)空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu), 類似于粒子的拓?fù)涔伦? 所有自旋有序排列, 在有限空間下自旋會(huì)發(fā)生反轉(zhuǎn).考慮一個(gè)鐵磁系統(tǒng), 對(duì)應(yīng)的序參量具有SO(3) 對(duì)稱性.它是在位置r處序參量通過一個(gè)向量?表示, 向量的方向和梯度描述了自旋的方向和旋轉(zhuǎn)的角度.給定條件f(∞) = 0, 保證序參量均勻且在無限遠(yuǎn)處等于 zFM= (1, 0, 0)T.給定另一條件f(0) = 2πn保證skyrmion屬于同倫分類.通過酋變換得到序參量表示:

Skyrmion在凝聚態(tài)的許多體系中發(fā)揮了作用,例如液氦、量子霍爾體系、液晶以及螺旋鐵磁系統(tǒng),目前在旋量BEC中的skyrimon已經(jīng)成為研究熱點(diǎn).圖6是研究者在兩分量BEC中通過非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)誘導(dǎo)觀察到的三維skyrmions[82,83].

3.5 扭 結(jié)

扭結(jié)也可由三階同倫群 π3(R) 表征, 表現(xiàn)為一個(gè)閉合回路互相嵌套的結(jié)構(gòu), 描述從三維球空間S3到S2的映射.不同于其他拓?fù)淙毕? 如渦旋、磁單極子和三維skyrmion通過纏繞數(shù)來描述, 扭結(jié)是通過連接數(shù)或Hopf不變量來描述.Hopf映射是從S3到S2, 在S2中一個(gè)點(diǎn)的原像會(huì)形成一個(gè)無結(jié)的回路.假設(shè)在BEC系統(tǒng)中給定一個(gè)閉合路徑C1, 自旋矢量固定在一個(gè)給定的方向, 另一個(gè)回路C2沿著自旋不同的方向.如果兩個(gè)回路C1和C2連接一次, 那么連接數(shù)就為1.連接數(shù)可正可負(fù),決定于兩個(gè)回路的相對(duì)取向.扭結(jié)自Faddeev和Niemi提出在三維經(jīng)典場(chǎng)論中可以穩(wěn)定孤子的形式存在以來, 引起了物理學(xué)家極大的研究興趣.與三維skyrmion的情況一樣,S3域是通過設(shè)置一個(gè)邊界條件來給定的, 即在空間無窮大的各個(gè)方向上, 序參量的值是相同的(.考慮自旋)1的極性相,序參量流形為這里U(1)和 Z2對(duì)一維空間以上的同倫群無對(duì)稱貢獻(xiàn), 因此, 得到對(duì)應(yīng)的拓?fù)浜? 也即 Hopf荷Q∈Z[84].

通過操縱外部磁場(chǎng), 可以在自旋1BEC中形成扭結(jié).在外部磁場(chǎng)存在時(shí), 線性塞曼效應(yīng)引起的拉莫爾進(jìn)動(dòng), 而二次塞曼效應(yīng)往往平行與磁場(chǎng).假設(shè)一個(gè)處于光勢(shì)阱的 BEC, 其在z方向施加均勻磁場(chǎng), 然后突然關(guān)閉均勻磁場(chǎng), 打開四極場(chǎng), 由于線性塞曼效應(yīng),開始圍繞磁場(chǎng)旋轉(zhuǎn).此時(shí)作為時(shí)間的函數(shù)運(yùn)動(dòng), 從而導(dǎo)致扭結(jié)的形成.圖7顯示了四極場(chǎng)作用下球形光勢(shì)阱中扭結(jié)產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)過程.

圖7 四極場(chǎng)作用下球形光勢(shì)阱中扭結(jié)產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)過程 [85].上一行表示=(0,0,?1)T 和 = (1, 0, 0)T 的圖像快照, 下一行表示x-y平面上m = –1分量的密度截面Fig.7.Dynamics of the creation of knots in a spherical optical trap under a quadrupole magnetic field.Snapshots of the preimages of = (0, 0, –1)T and = (1, 0, 0)T(top), and the cross sections of the density for the m = –1 components on the x–y plane (bottom).

4 旋量玻色-愛因斯坦凝聚體中的拓?fù)淙毕菅芯?/h2>

4.1 兩分量旋量玻色-愛因斯坦凝聚體中的拓?fù)淙毕菅芯?/h3>

對(duì)于兩分量BEC[86], 由于組分內(nèi)相互作用與組分間相互作用兩者的競(jìng)爭(zhēng)導(dǎo)致體系出現(xiàn)豐富而有趣的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu), 如上文介紹的渦旋、skyrmion、磁單極子和量子扭結(jié)等, 現(xiàn)已成為實(shí)驗(yàn)研究的理想平臺(tái).實(shí)驗(yàn)方面, 1999年Matthews等[87]在兩分量BEC中產(chǎn)生了量子渦旋.2001年Anderson等[88]采用兩束正交的探測(cè)光觀察到雙組分的BEC中暗孤子受動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定的影響衰變?yōu)闇u旋環(huán).2016年Hall等[89]演示了在旋量BEC中扭結(jié)孤子的實(shí)驗(yàn)創(chuàng)建和檢測(cè), 所觀察到的扭結(jié)紋理對(duì)應(yīng)于三階同倫群, 如圖8.

理論方面, 1999年Williams和 Holland[90]展示了在BEC中選擇性地產(chǎn)生具有不同角動(dòng)量超流渦旋的方法, 包括求解具有強(qiáng)耦合原子態(tài)的雙組分凝聚體的時(shí)間相關(guān)運(yùn)動(dòng)方程.2002年Battye等[91]證實(shí)了在兩分量BEC中存在穩(wěn)定的skyrmion結(jié)構(gòu).同年Martikainen等[92]理論研究了在兩分量BEC中產(chǎn)生磁單極子的方法, 并證明磁單極子的產(chǎn)生并不局限于反鐵磁自旋凝聚, 同時(shí)研究了這種磁單極子的膨脹探測(cè), 以及勢(shì)阱中位移磁單極子的動(dòng)力學(xué).2004年Kasamatsu和 Tsubota[93]通過數(shù)值積分耦合的Gross-Pitaevskii方程, 研究了雙組分BEC在軸對(duì)稱勢(shì)阱中由調(diào)制不穩(wěn)定性引起的多疇壁形成動(dòng)力學(xué).2010年Wang等[94]在無外勢(shì)的自旋-軌道耦合兩分量BEC中發(fā)現(xiàn)了平面波相和條紋相, 在考慮外勢(shì)的情況下, 體系將出現(xiàn)新的量子態(tài), 如分?jǐn)?shù)渦旋和渦旋格子[95]以及skyrmion格子[96].

接著, 人們研究了旋轉(zhuǎn)勢(shì)下自旋-軌道耦合兩分量BEC的基態(tài)性質(zhì).2011年Xu和Han[97]在旋轉(zhuǎn)勢(shì)下自旋-軌道耦合兩分量BEC體系中發(fā)現(xiàn)了對(duì)稱排列的渦旋列和中心伴有巨skyrmion的三角渦旋格子.2011年Zhou等[98]探討了具有旋轉(zhuǎn)和自旋-軌道耦合兩分量BEC的基態(tài)性質(zhì), 發(fā)現(xiàn)了半量子數(shù)渦旋格子結(jié)構(gòu).2012年Liu等[99]總結(jié)了skyrmions的類型, 并通過研究自旋-軌道耦合的兩分量BEC的隨機(jī)投影Gross-Pitaevskii方程, 發(fā)現(xiàn)自旋-軌道耦合能夠誘導(dǎo)系統(tǒng)產(chǎn)生具有兩個(gè)Sz極值的環(huán)形-雙曲狀的 skyrmions.圖9為總結(jié)的skyrmions類型.

圖8 扭結(jié)孤子的結(jié)構(gòu)及其產(chǎn)生方法[89] (a)和(b)為扭結(jié)形成之前和形成過程中磁感應(yīng)線的示意圖, 綠色橢圓為對(duì)應(yīng)的凝聚體;(c)和(d)顯示扭結(jié)形成時(shí), 最初的z方向的向列相矢量(黑色箭頭)沿著局部磁場(chǎng)(青色線)的方向進(jìn)動(dòng), 以實(shí)現(xiàn)最終的結(jié)構(gòu)(彩色箭頭).灰色虛線表示 dz = 0, 白線表示孤子核 (dz = –1), 深灰色線表示體積 V (dz = 1) 的邊界; (e)表示實(shí)空間中扭結(jié)孤子的構(gòu)型及其與S2中向列矢量的關(guān)系Fig.8.Structure of the knot soliton and the method of its creation: Schematic magnetic field lines before (a) and during (b) the knot formation, with respect to the condensate (green ellipse); (c), (d) as the knot is tied, the initially z-pointing nematic vector(black arrows) precesses about the direction of the local magnetic field (cyan lines) to achieve the final configuration (coloured arrows); the dashed grey line shows where dz = 0, the white line indicates the soliton core (dz = –1), and the dark grey line defines the boundary of the volume V (dz= 1); (e) the knot soliton configuration in real space and its relation to the nematic vector in S2(inset).

2014年Wang等[100]研究了準(zhǔn)二維旋轉(zhuǎn)雙分量BEC在改變自旋-軌道耦合和旋轉(zhuǎn)頻率強(qiáng)度的情況下呈現(xiàn)出的各種豐富的基態(tài)結(jié)構(gòu), 表明各向異性自旋-軌道耦合引起的不同基態(tài)相之間的轉(zhuǎn)變明顯不同于各向同性的情況.Fetter[101]用時(shí)間相關(guān)的拉格朗日形式和變分函數(shù)研究了自旋-軌道耦合的BEC中雙組分渦旋的動(dòng)力學(xué).2016年Sakaguchi和Umeda[102]通過數(shù)值模擬和變分方法, 研究了Rashba型自旋-軌道耦合的雙組分BEC的Gross-Pitaevskii方程.發(fā)現(xiàn)當(dāng)不存在相互作用時(shí), 多量子渦旋態(tài)成為諧波勢(shì)中的基態(tài).當(dāng)引力相互作用較強(qiáng)時(shí), 多量子渦旋態(tài)在方位角方向呈現(xiàn)調(diào)制不穩(wěn)定性, 出現(xiàn)孤子態(tài).當(dāng)排斥相互作用較強(qiáng)時(shí), 形成中心為多量子渦旋的渦旋晶格態(tài), 且渦旋晶格態(tài)近似于多量子渦旋態(tài)的線性組合.

2017年Sakaguchi[103]通過數(shù)值分析研究了雙組分BEC中自旋-軌道耦合條紋和半渦旋物質(zhì)波孤子在組分間線性混合(Rabi耦合)作用下, 以耦合結(jié)構(gòu)振蕩和穿梭運(yùn)動(dòng)形式產(chǎn)生宏觀量子效應(yīng)的可能性.研究得到在一維系統(tǒng)中, 本征振蕩表現(xiàn)為條紋孤子在空間上的偶數(shù)分量和奇數(shù)分量之間的翻轉(zhuǎn), 而在二維系統(tǒng)中則表現(xiàn)為半渦旋孤子的零渦旋和渦旋分量之間的周期性躍遷.同年, Wang等[104]研究了環(huán)形勢(shì)阱中自旋-軌道耦合兩分量BEC的旋渦態(tài)和自旋紋理, 系統(tǒng)地討論了旋轉(zhuǎn)、自旋-軌道耦合和原子間相互作用對(duì)系統(tǒng)基態(tài)渦旋結(jié)構(gòu)和自旋紋理的影響.特別是當(dāng)旋轉(zhuǎn)頻率固定在臨界值以上時(shí), 各向同性自旋-軌道耦合的增強(qiáng)使每個(gè)分量中有一個(gè)可見的渦旋鏈, 在中心區(qū)域伴隨著一個(gè)隱藏的巨渦旋和一個(gè)(或幾個(gè))隱藏的渦旋鏈.Kato等[105]研究了具有Rashba自旋-軌道耦合雙組分BEC中渦旋-反渦旋對(duì)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì), 并且發(fā)現(xiàn)旋渦-反渦旋對(duì)的速度遠(yuǎn)小于無自旋-軌道耦合的速度且存在穩(wěn)態(tài), 而兩個(gè)具有相同環(huán)流的渦旋相互移動(dòng)或聯(lián)合會(huì)形成一個(gè)靜止?fàn)顟B(tài).

2018年Shi等[106]研究了旋轉(zhuǎn)非對(duì)稱勢(shì)阱中具有Dreselhaus自旋-軌道耦合(DSOC)的兩分量BEC中的拓?fù)淙毕莺妥孕y理.結(jié)果表明, 對(duì)于不含自旋-軌道耦合的初始混合凝聚體, 旋轉(zhuǎn)頻率的增強(qiáng)可導(dǎo)致系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)相變.在各向同性DSOC存在的情況下, 該系統(tǒng)維持渦流對(duì)、Anderson-Toulouse無核渦流、圓形渦旋片和組合渦旋結(jié)構(gòu).特別地, 當(dāng)旋轉(zhuǎn)頻率固定在徑向勢(shì)阱頻率之上時(shí),強(qiáng)DSOC導(dǎo)致了由多層可見渦旋鏈、隱藏渦旋鏈和隱藏巨渦旋流組成的特殊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).Li和Liu[107]利用Gross-Pitaevskii方程研究了自旋-軌道耦合作用和梯度磁場(chǎng)對(duì)旋轉(zhuǎn)兩分量BEC基態(tài)的影響.研究結(jié)果表明, 在梯度磁場(chǎng)中, 隨著自旋-軌道耦合強(qiáng)度增大, 基態(tài)結(jié)構(gòu)由skyrmion格子逐漸過渡為沿著對(duì)角線方向排列的skyrmion列.當(dāng)自旋-軌道耦合強(qiáng)度和旋轉(zhuǎn)頻率都小的情況, 磁場(chǎng)梯度的增強(qiáng)可導(dǎo)致基態(tài)由平面波相轉(zhuǎn)變?yōu)閔alfskyrmion; 當(dāng)自旋-軌道耦合強(qiáng)度和旋轉(zhuǎn)頻率都大的情況, 梯度磁場(chǎng)可誘導(dǎo)hidden渦旋的產(chǎn)生.圖10為不同自旋-軌道耦合強(qiáng)度下梯度磁場(chǎng)中兩分量87RbBEC基態(tài)粒子數(shù)密度分布和相位分布.

圖9 Skyrmions 的類型 (l = 0.5)[99] (a)?(h)表示自旋矢量的模式: (a)徑向-向外 skyrmion, (b)徑向-向內(nèi) skyrmion, (c)環(huán)形skyrmion, (d) 雙曲 skyrmion, (e)雙曲-徑向向外 skyrmion, (f)雙曲-徑向向內(nèi) skyrmion, (g) 環(huán)形-雙曲 skyrmion-I, (h)環(huán)形-雙曲skyrmion-IIFig.9.Configuration of the skyrmion where l = 0.5: The (a)?(h) figures indicate the mode of the spin vectors: (a) radial-out skyrmion, (b) radial-in skyrmion, (c) circular skyrmion, (d) hyperbolic skyrmion, (e) hyperbolic-radial(out) skyrmion, (f) hyperbolicradial (in) skyrmion, (g) circular-hyperbolic skyrmion-I, and (h) circular-hyperbolic skyrmion-II[99].

4.2 三分量旋量玻色-愛因斯坦凝聚體中的拓?fù)淙毕菅芯?/h3>

對(duì)于自旋F= 1的旋量三分量 BEC, 原子可能占據(jù)的塞曼態(tài)有三種, 體系內(nèi)會(huì)出現(xiàn)兩種類型基態(tài)相——磁相和晶列相, 依賴于自旋無關(guān)相互作用和自旋相關(guān)相互作用.

實(shí)驗(yàn)上2001年Raghavan等[108]通過靜態(tài)直流磁場(chǎng)在三分量旋量BEC中產(chǎn)生了暗孤子和渦旋結(jié)構(gòu).2002年Ogawa等[109]采用四極磁場(chǎng)將自旋1BEC限制在Ioffe-Pritchard勢(shì)阱中, 發(fā)現(xiàn)在凝聚體中產(chǎn)生了渦旋.2006年Itin等[110]研究了自旋1BEC在一對(duì)載流線和偏置磁場(chǎng)控制的雙磁阱中產(chǎn)生渦旋的幾種機(jī)制, 圖11為凝聚體快速分裂過程中渦旋的動(dòng)力學(xué)形成, 顯示動(dòng)態(tài)渦旋存在于凝聚體的所有分量中, 在y–1分量中占 99%以上, 在y0分量中動(dòng)態(tài)渦旋和拓?fù)錅u旋共存.2014年,Ray等[80,81]在自旋1BEC中借助梯度磁場(chǎng), 觀察到了狄拉克磁單極子, 圖12為狄拉克磁單極子的實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生過程, 顯示了凝聚體中不同自旋組分中的粒子密度隨BZ, f的減小而減小.

理論上2002年Isoshima和Machida[111]在旋轉(zhuǎn)外勢(shì)下, 采用推廣的Bogoliubov理論研究了自旋1BEC中各種軸對(duì)稱渦旋的穩(wěn)定結(jié)構(gòu).同年Mizushima等[112]通過求解廣義Gross-Pitaevskii方程研究了旋轉(zhuǎn)條件下鐵磁自旋1BEC中的Mermin-Ho 和 Anderson-Toulouse無核渦旋, 得到在鐵磁情況下, Mermin-Ho渦旋是穩(wěn)定的.2006年Saito等[113,114], 以及 2009年Turner[115]研究了鐵磁自旋1BEC中的極核渦旋, 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)核心由mF= 0 原子填充, 圍繞渦旋有mF= 1 分量的質(zhì)量流, 以及mF= –1分量的相等但自旋相反的質(zhì)量流, 這就產(chǎn)生了凈自旋流, 但沒有凈質(zhì)量流.2007年Mottonen等[116]研究了非旋轉(zhuǎn)條件下在三維拋物勢(shì)與Ioffe-Pritchard場(chǎng)中的自旋1鐵磁態(tài)旋量BEC中無核渦旋的能量和動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性.

圖10 不同自旋-軌道耦合強(qiáng)度下梯度磁場(chǎng)中兩分量87RbBEC基態(tài)粒子數(shù)密度分布(第1、2列)和相位分布(第3、4列)[107](a)?(d) 的值分別為 0, 0.2, 0.8, 2Fig.10.Particle number densities (the first and second columns) and phase distributions (the third and fourth columns) of ground state of the two-component BEC of 87Rb for the different spin-orbit coupling strengths: the parameters of in (a)?(d) are 0, 0.2,0.8, 2, respectively[107].

圖11 渦旋的動(dòng)力學(xué)形成[110].渦旋形成于凝聚體的所有分量中, 在y–1分量中占99%以上, 在y0分量中動(dòng)態(tài)渦旋和拓?fù)錅u旋共存Fig.11.Dynamical formation of vortices: vortices are formed in all components, more than 99% of total population is in y–1 component.In the y0 component, dynamical and topological vortices coexist[110].

2008年Ji等[117]研究了自旋1鈉原子BEC中半量子渦旋的動(dòng)態(tài)生成.模擬結(jié)果表明, 在外加脈沖磁捕獲勢(shì)的情況下, 旋轉(zhuǎn)光勢(shì)阱中可以同時(shí)產(chǎn)生獨(dú)立的半量子渦旋和渦旋晶格, 同時(shí)還發(fā)現(xiàn), 一個(gè)明顯的周期調(diào)制的自旋密度波空間結(jié)構(gòu)總是嵌入在方形半量子渦旋晶格中.2012年Liu和Liu[118]研究了旋轉(zhuǎn)和快速淬火的自旋1BEC中由自旋-軌道耦合引起的半skyrmion激發(fā), 給出了描述半skyrmion自旋矢量的三個(gè)表達(dá)式.結(jié)果表明,半skyrmion激發(fā)依賴于自旋-軌道耦合和旋轉(zhuǎn)的結(jié)合, 當(dāng)自旋-軌道耦合強(qiáng)度和旋轉(zhuǎn)頻率均大于某些臨界值時(shí), 半skyrmion由一個(gè)或幾個(gè)圓包圍中心, 形成徑向晶格, 即使在強(qiáng)鐵磁(或反鐵磁)凝聚體中也會(huì)發(fā)生.圖13為旋轉(zhuǎn)頻率對(duì)23Na旋量BEC自旋紋理的影響.

圖13 旋轉(zhuǎn)頻率對(duì) 23Na 旋量 BEC 的影響 [118], 其中 μ j,0(j=0,±1)=3.6 ?ω , μ =25?ω , kx = ky = kz = 1, a0=50aB , and a2 = 55 aB (a) W = 0; (b) W = 0.2 w; (c) W = 0.5 w.第四列顯示了相應(yīng)的自旋紋理和渦旋的位置Fig.13.The effect of rotation frequency for spinor BEC of 23Na with μ j,0(j=0,±1)=3.6 ?ω , μ =25?ω , kx = ky = kz = 1,a0=50aB, and a2 = 55 aB: (a) W = 0; (b) W = 0.2 w; (c) W = 0.5 w.The fourth column shows the corresponding spin textures and the positions of the vortices[118].

2013年Liu等[119]利用 阻尼映射 Gross-Pitaevkii方程, 研究了二維體系中自旋-軌道耦合的23Na自旋1BEC中的渦旋斑圖, 研究發(fā)現(xiàn)較弱的自旋-軌道耦合可以完全破壞不考慮自旋-軌道耦合情況下出現(xiàn)的周期性渦旋晶格; 在自旋-軌道耦合較強(qiáng)的情況下, 各自旋態(tài)的渦旋易形成渦旋組,并繞凝聚體中心形成花瓣?duì)顪u旋斑圖.2014年Song等[120]利用精確對(duì)角化和平均場(chǎng)理論研究了弱相互作用的自旋-軌道耦合自旋1玻色氣體在外諧波勢(shì)阱中的碎裂問題, 研究發(fā)現(xiàn)這種碎裂傾向源于總角動(dòng)量守恒, 且受自旋-軌道耦合強(qiáng)度和自旋相關(guān)相互作用的影響.Lovegrove等[121]將鐵磁態(tài)無核渦旋通過相位植入法, 在極化態(tài)凝聚體中得到了混合態(tài)下穩(wěn)定的無核渦旋.2015年Zhao等[122]在自旋1BEC中解析得到了兩種不均勻的自旋疇構(gòu)型, 它們分別由正二次塞曼效應(yīng)和負(fù)二次塞曼效應(yīng)所致.分析表明, 二次塞曼效應(yīng)可以誘導(dǎo)自旋疇的動(dòng)態(tài)相變, 其符號(hào)可以影響自旋模式的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).2016年, Gautam 和 Adhikari[123]對(duì)零磁化強(qiáng)度的自旋1和自旋2旋量BEC中的分?jǐn)?shù)渦旋進(jìn)行分類, 并利用精確的數(shù)值解和拉格朗日變分近似研究了準(zhǔn)二維旋量BEC中渦旋的靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

2017年Liu等[124]通過虛實(shí)演化方法研究了具有面內(nèi)四極磁場(chǎng)自旋1的旋量BEC的基態(tài)結(jié)構(gòu).研究發(fā)現(xiàn), 面內(nèi)四極磁場(chǎng)和旋轉(zhuǎn)雙重作用可導(dǎo)致中央Mermin-Ho渦旋的產(chǎn)生; 隨著磁場(chǎng)梯度增強(qiáng), Mermin-Ho渦旋周圍環(huán)繞的渦旋趨向?qū)ΨQ化排布; 在四極磁場(chǎng)下, 密度相互作用和自旋交換相互作用作為體系的調(diào)控參數(shù), 可以控制Mermin-Ho渦旋周圍的渦旋數(shù)目.Li等[125]研究了鐵磁自旋1BEC中由自旋-軌道耦合引起具有極核旋渦的狄拉克磁單極子, 隨著自旋-軌道耦合強(qiáng)度的增加,具有極核渦旋的狄拉克磁單極子可以轉(zhuǎn)化為正方形晶格.在自旋-軌道耦合確定的情況下, 增大相互作用強(qiáng)度可引起從具有極核渦旋的狄拉克磁單極子向具有Mermin-Ho渦旋的循環(huán)相變.圖14顯示了具有Mermin-Ho渦旋的磁單極子的形成.

5 總結(jié)與展望

圖14 具有 Mermin-Ho 渦旋的磁單極子[125] (a)等值面的粒子數(shù)密度; (b)粒子數(shù)密度等深線段 (y ≤ 0), 節(jié)點(diǎn)線 (Dirac 線)的位置用紅色箭頭突出顯示; (c) z=0 平面上的位相分布.單渦旋 (mF = 0)和雙渦旋 (mF = –1)具有相同的環(huán)流, 由紅圈突出顯示Fig.14.The monopoles with the Mermin-Ho vortex: (a) Isosurface of particle densities; (b) segments of isosurface of particle densities (y ≤ 0).the position of the nodal line (Dirac string) is highlighted by the red arrow; (c) phase distributions in the z = 0 planes.the single vortex (mF = 0) and double vortex (mF = –1) have the same circulations, as highlighted by the red circles[125].

1998年Ketterle研究組首次在自旋為 1的23Na原子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了BEC, 為冷原子物理開辟了旋量BEC的研究領(lǐng)域.尤其是在超冷原子氣體中人造自旋-軌道耦合的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn), 為研究拓?fù)淞孔討B(tài)提供了一個(gè)理想的實(shí)驗(yàn)平臺(tái).本文綜述了旋量BEC的實(shí)驗(yàn)和理論研究, 旋量BEC中產(chǎn)生的拓?fù)淙毕莸姆N類, 如自旋疇壁、渦旋、磁單極子、skymion、扭結(jié), 著重介紹了兩分量和三分量旋量BEC中拓?fù)淙毕莸难芯窟M(jìn)展.今后的工作可以推廣到具有高自旋BEC體系, 以及不同自旋-軌道耦合形式的玻色氣體等, 如Rashba自旋-軌道耦合和旋轉(zhuǎn)勢(shì)作用下的鐵磁自旋2BEC中新奇的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)研究.此外, 在冷原子平臺(tái)上研究具有長程相互作用的拓?fù)淙毕菀彩俏磥淼囊粋€(gè)方向, 以及通過研究自旋-軌道耦合旋量BEC的動(dòng)力學(xué)行為, 并從非平衡過程中來觀察一些拓?fù)浣Y(jié)構(gòu), 如馮卡門渦街和量子扭結(jié), 也是非常有意義的工作.