羅燦文

[摘? ?要]學(xué)生在學(xué)習(xí)天體運(yùn)動知識及應(yīng)用相關(guān)知識解決實(shí)際問題時，往往會感到比較困難，因?yàn)檫@部分知識的學(xué)習(xí)與運(yùn)用需要較強(qiáng)的空間想象能力和抽象思維能力，比如比較橢圓軌道上遠(yuǎn)地點(diǎn)與圓周軌道上速度、加速度問題，就有不少學(xué)生覺得較難。為提升學(xué)生解決相關(guān)問題的能力，文章從一道習(xí)題出發(fā)，通過理論分析推導(dǎo)衛(wèi)星變軌時速度加速度的變化，為學(xué)生準(zhǔn)確分析判別交點(diǎn)處速度、加速度的變化提供幫助。

[關(guān)鍵詞]衛(wèi)星變軌;速度;加速度;萬有引力

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2020）29-0053-02

衛(wèi)星變軌問題是高中物理的重難點(diǎn)問題，該類問題往往涉及周期、速度以及加速度。下面通過實(shí)例進(jìn)行分析探討。

【例題】（2019年福建泉州市第一次質(zhì)量檢查題）如圖1所示，虛線Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分別表示地球衛(wèi)星的三條軌道，其中軌道Ⅰ為與第一宇宙速度7.9 km/s對應(yīng)的近地環(huán)繞圓軌道，軌道Ⅱ?yàn)闄E圓軌道，軌道Ⅲ為與第二宇宙速度11.2 km/s對應(yīng)的脫離軌道。a、b、c三點(diǎn)分別位于三條軌道上，b點(diǎn)為軌道Ⅱ的遠(yuǎn)地點(diǎn)，b、c點(diǎn)與地心的距離均為軌道Ⅰ半徑的2倍，則（）。

A.衛(wèi)星在軌道Ⅱ上的運(yùn)行周期為軌道Ⅰ的2倍

B.衛(wèi)星經(jīng)過a點(diǎn)的速率為經(jīng)過b點(diǎn)的[2]倍

C.衛(wèi)星在a點(diǎn)的加速度大小為在c點(diǎn)的4倍

D.質(zhì)量相同的衛(wèi)星在b點(diǎn)的機(jī)械能小于在c點(diǎn)的機(jī)械能

解析：對B選項(xiàng)，由公式[v=GMr] 可知，如果衛(wèi)星在Ⅱ軌道做橢圓運(yùn)動，衛(wèi)星經(jīng)過兩個軌道交點(diǎn)處的速率為經(jīng)過b點(diǎn)的[2]倍。而衛(wèi)星在Ⅰ軌道上運(yùn)動時，需要經(jīng)過加速才能變軌到軌道Ⅱ上做橢圓運(yùn)動，所以衛(wèi)星經(jīng)過a點(diǎn)的速率不是經(jīng)過b點(diǎn)的[2]倍，故B錯誤。

這樣的解釋明顯不能讓學(xué)生掌握辨析兩點(diǎn)線速度大小的關(guān)鍵，反而可能誤導(dǎo)學(xué)生。那么如何求解此題呢？能不能定量計算推導(dǎo)求解呢？

一、衛(wèi)星變軌時速度加速度變化分析

要定量求解衛(wèi)星在各點(diǎn)的線速度和加速度的大小關(guān)系，對高中生而言，僅使用物理課本所學(xué)知識是不夠的，還要具備以下知識：

1.橢圓的曲率半徑

可將質(zhì)點(diǎn)的橢圓運(yùn)動看成兩個相互垂直的同步同頻率簡諧振動的疊加，這兩個簡諧振動的方程為：

2.衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度關(guān)系

高中階段，因?yàn)檫€沒有學(xué)習(xí)角動量守恒定律，我們姑且用開普勒第二定律倒推近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度關(guān)系。開普勒第二定律告訴我們：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積相等，如圖3所示。

取[Δt]很小，則掃過的兩部分都可以看成是直角三角形，圓弧相當(dāng)于底邊，根據(jù)面積相等有：

對本題，依據(jù)上述知識可得出以下推論。

推論1：在圓軌道與橢圓軌道交點(diǎn)處的圓軌道上的加速度跟橢圓軌道上的向心加速度是相等的。

在橢圓軌道上，設(shè)衛(wèi)星在近地點(diǎn)的速度為[v1]，遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度為[v2]，橢圓的半長軸為[a]，半短軸為[b]，焦距為[2c]。

由機(jī)械能守恒定律可得：

即在近地點(diǎn)處，圓軌道和橢圓軌道的交點(diǎn)處，衛(wèi)星在圓軌道上運(yùn)動的加速度和在橢圓軌道上運(yùn)動的向心加速度是相等的。

推論2：針對本題，可推出衛(wèi)星在圓軌道的a點(diǎn)和在橢圓軌道b點(diǎn)線速度大小關(guān)系。

由于圓軌道和橢圓軌道的交點(diǎn)處加速度和向心加速度是相等的，則有：

因此，要比較橢圓上遠(yuǎn)地點(diǎn)與圓軌道上的速度大小，則必須要用到開普勒第二定律的推論或者角動量守恒定律求解，當(dāng)然也要注意在橢圓軌道與圓軌道相交的那個位置，其實(shí)萬有引力是等于橢圓軌道上對應(yīng)的向心力的，也就是加速度與向心加速度相等。

二、拓展應(yīng)用

[例1]人造飛船首先進(jìn)入的是距地面近地點(diǎn)高度為200 km，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度為340 km的橢圓軌道，在飛行第五圈的時候，飛船從橢圓軌道運(yùn)行到以遠(yuǎn)地點(diǎn)為半徑的圓行軌道上，如圖5所示，試處理下面幾個問題（地球的半徑R=6370 km，g=9.8 m/s2）：

飛船在橢圓軌道1上運(yùn)行，Q為近地點(diǎn)，P為遠(yuǎn)地點(diǎn)，當(dāng)飛船運(yùn)動到P點(diǎn)時點(diǎn)火，使飛船沿圓軌道2運(yùn)行，以下說法正確的是（）。

A.飛船在Q點(diǎn)的萬有引力大于該點(diǎn)所需的向心力

B.飛船在軌道1上運(yùn)動時，P點(diǎn)的萬有引力大于該點(diǎn)所需的向心力

C.飛船在軌道1上P點(diǎn)的速度小于在軌道2上P點(diǎn)的速度

D.飛船在軌道1上P點(diǎn)的加速度大于在軌道2上P的加速度

解析：本題給出的參考答案是BC。

對于AB有，萬有引力大于該點(diǎn)所需的向心力，飛船會做近心運(yùn)動，萬有引力小于該點(diǎn)所需的向心力，飛船會做離心運(yùn)動。即飛船在Q點(diǎn)的萬有引力小于該點(diǎn)所需的向心力，故A錯;飛船在軌道1上運(yùn)動時，P點(diǎn)的萬有引力大于該點(diǎn)所需的向心力，故B正確;

對于C有，當(dāng)飛船運(yùn)動到P點(diǎn)時點(diǎn)火，使飛船沿圓軌道2運(yùn)行，萬有引力不夠提供向心力，飛船做圓周運(yùn)動，而飛船在軌道1上做橢圓運(yùn)動，且橢圓的半長軸與圓軌道2的半徑相等，所以飛船在軌道1上P點(diǎn)的速度小于在軌道2上P點(diǎn)的速度，故C正確;

對于D有，衛(wèi)星僅受萬有引力作用，所以加速度的大小由萬有引力的大小決定，所以飛船在軌道1上P點(diǎn)的加速度等于在軌道2上P點(diǎn)的加速度，故D錯誤。

注意向心加速度是指質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動時，指向圓心（曲率中心）的加速度，與曲線切線方向垂直，也叫作法向加速度。向心加速度是反映圓周運(yùn)動速度方向變化快慢的物理量。向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。在橢圓與圓相交的點(diǎn)上，因?yàn)樗俣确较騽偤门c萬有引力方向垂直，所以切向加速度為0，合加速度等于向心加速度，而合加速度都是由萬有引力提供的，所以不管衛(wèi)星在橢圓軌道上還是在圓軌道上，向心加速度應(yīng)該是相等的，但是由于它們在不同軌道上運(yùn)行，對應(yīng)的曲率半徑并不相等，導(dǎo)致它們對應(yīng)的速度不相等。

（責(zé)任編輯 易志毅）