王艷艷，汪忠志

(安徽工業(yè)大學數(shù)理科學與工程學院，安徽馬鞍山243032)

基因調(diào)控網(wǎng)絡是一種復雜多變的非線性動態(tài)網(wǎng)絡系統(tǒng)，通常能呈現(xiàn)出復雜的動力學行為，Jacob 等[1]和Monod等[2]提出的調(diào)控模型一般被視為最早的基因調(diào)控網(wǎng)絡模型。迄今為止，關于基因調(diào)控網(wǎng)絡的動力學研究取得了許多成果[3-10]。Li等[3]考慮生物現(xiàn)象中的時滯問題，給出了時滯基因調(diào)控網(wǎng)絡模型，并給出判定此模型漸近穩(wěn)定性的判據(jù)。此外，在基因調(diào)控網(wǎng)絡的處理過程中，有一些不能人為控制的不確定性因素，如系統(tǒng)參數(shù)的波動、外部因素的干擾等，這些均會導致網(wǎng)絡的不穩(wěn)定性。一個穩(wěn)定的網(wǎng)絡應具有魯棒性，魯棒穩(wěn)定性的研究更貼合實際網(wǎng)絡，Wang等[4]研究了帶有噪音擾動項的基因調(diào)控網(wǎng)絡的冪律魯棒穩(wěn)定性；賴強等[5]對于一類簡單基因調(diào)控網(wǎng)絡的動力學行為進行了理論和數(shù)值分析，給出了保證該網(wǎng)絡的雙穩(wěn)定性和分叉存在的條件；Ren等[6]給出判別不確定基因調(diào)控網(wǎng)絡模型的魯棒穩(wěn)定性的充分條件。本文首先以矩陣方程的形式建立基因調(diào)控網(wǎng)絡，在網(wǎng)絡系數(shù)不確定但范數(shù)有界的條件下，分析其魯棒指數(shù)穩(wěn)定性。

1 基因調(diào)控網(wǎng)絡模型的建立

文獻[11]提出了如下基因網(wǎng)絡：

其中：Mi(t)和Pj(t)分別為信使RNA(ribonucleic acid)和蛋白質濃度隨時間變化的函數(shù)；ai和ci分別為信使RNA和蛋白質的降解率；di是轉錄速度；ε(t)和τ(t)分別為翻譯時滯和反饋調(diào)節(jié)時滯；Gij為第i 個基因在轉錄過程中受到第j 個蛋白質的反饋調(diào)節(jié)作用的函數(shù)，是一種單調(diào)的s 型函數(shù)，當轉錄因子j 是激活因子時，該函數(shù)是遞增的，當為抑制因子時，該函數(shù)遞減。而Hill函數(shù)恰有這種性質。

其中：Hj為Hill系數(shù)；βj是正常數(shù)；bij也是常數(shù)，并且是有界的，表示轉錄因子j 對目標基因i 轉錄過程中的最大轉錄速率。這樣網(wǎng)絡(1)就可以寫成：

其中：

考慮到參數(shù)不確定性的實際存在，本文研究網(wǎng)絡(5)。

在式(5)中τ(t)是有界的時間延遲，滿足0 ≤τ(t)≤τ，并且有：

初始條件如下：

其中：φi(s)，ψi(s)，是[-τ,0]有界且連續(xù)的函數(shù)；i=1,2,…,n。矩陣ΔA(t)，ΔC(t)，ΔD(t)，ΔW(t)有如下形式：

引理2[13]給定合適維數(shù)的矩陣Q=QT，H，E 對于所有滿足FTF ≤I 的矩陣F，有Q+HFE+ETFTHT＜0成立等價于存在一個常數(shù)ε ＞0 使得Q+εHHT+ε-1ETE ＜0 成立。

其中

2 魯棒指數(shù)穩(wěn)定性分析

上節(jié)已將網(wǎng)絡通過矩陣方程的形式構建起來，本節(jié)將構造合適的Lyapunov-Krasovskii 泛函，對延時基因調(diào)控網(wǎng)絡(5)，應用矩陣不等式方法，得出保證其魯棒指數(shù)穩(wěn)定性的條件。

其中k=max{k1,k2,…,kn}，網(wǎng)絡(5)是全局魯棒指數(shù)穩(wěn)定的。

證明當線性矩陣不等式(9)與(10)成立時，對充分小的常數(shù)α ＞0 有如下的矩陣不等式成立：

當t ≥0 考慮式(13)的Lyapunov函數(shù)

由式(6)，有不等式(15)成立。

同理可得

從而可以得到

借助V((t-τ(t)),m(t-τ(t)),p(t-τ(t)))≤β(t)=V(t,m(t),p(t)，考慮到τ 與α 都是常數(shù)，得

借助引理2和Schur補引理(引理3)及不等式(11)～(12)，得

同理

繼續(xù)使用Schur補引理(引理3)，以上兩個不等式變形為：

得到DV(t,m(t),p(t))≤0，與假設矛盾，因此β(t)是非增的。

故?t ≥0，有β(t)=β(0)由β(t)的定義，得到：

根據(jù)式(13)又得

綜上可得

式(25)即表明了所考慮的基因調(diào)控網(wǎng)絡時指數(shù)穩(wěn)定的。

注1：定理所給的條件保證了所考慮網(wǎng)絡是按照指數(shù)速度收斂到平衡點的，收斂速度是由α 決定的，而α的取值范圍可由證明過程中的式(11)～(12)估計出。

3 算例仿真

在網(wǎng)絡中按照文獻[3]取值如下：

使式(9)～(10)成立。

信使RNA和蛋白質濃度即Mi(t)和Pi(t)軌跡圖如圖1。

圖1 Mi(t)和Pi(t)的軌跡圖Fig.1 Trajector of Mi(t)and Pi(t)

由圖1知所考慮網(wǎng)絡狀態(tài)與平衡點的差皆趨向于零，即網(wǎng)絡是全局魯棒指數(shù)穩(wěn)定的，而要找的兩個正定矩陣S1，S2也通過仿真給出了具體的數(shù)值，說明兩個正定矩陣真實存在。

3 結 論

對有范數(shù)有界的不確定性因素的延時基因調(diào)控網(wǎng)絡的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性問題進行了理論研究和數(shù)值分析。在理論研究中，用矩陣方程表示研究的網(wǎng)絡，在此基礎上借助李雅普諾夫(Lyapunvo)函數(shù)、Schur 補引理、矩陣的相關結論和線性矩陣不等式方法,得出只要兩個分塊正定矩陣存在，網(wǎng)絡的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性就可以得到保證。在數(shù)值分析式時，利用MATLAB LINERA MATRIX INEQUALITY工具箱，找到了具體的理論分析中需要的正定矩陣。現(xiàn)階段基因調(diào)控網(wǎng)絡的各種動力學行為引起了許多學者的關注，探索如何在白噪聲干擾下保證基因調(diào)控網(wǎng)絡的穩(wěn)定性是后續(xù)工作的方向。