高蓓蕾，何 萍，王改霞

(安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽馬鞍山243032)

環(huán)的自反性是由群的正交子群推廣來(lái)的，Thierrin[1]將環(huán)中具有“ xy ∈H ?yx ∈H ”性質(zhì)的子集定義為正交。Mason[2]定義了環(huán)的自反性概念，將具有自反性的環(huán)稱為自反環(huán)。若對(duì)任意a,b ∈R，由ab=0 可推出ba=0，則被稱為完全自反環(huán)（可逆環(huán)）。Kwak等[3]論述了自反環(huán)的一些定理和結(jié)論，定義了冪等自反環(huán)并研究了其性質(zhì)。Zhao等[4]將自反環(huán)作進(jìn)一步的推廣，給出α-自反環(huán)的定義及相關(guān)結(jié)論。Kwak等[5]將滿足性質(zhì)aRb=0 ?bRα(a)=0 的環(huán)稱為右α-斜自反環(huán)，類似地也定義左α-斜自反環(huán)，并將同時(shí)滿足左、右α-斜自反的環(huán)稱為α-斜自反環(huán)。Chakraborty[6]給出了中心自反環(huán)的定義及相關(guān)結(jié)論。由此表明，自反環(huán)已被大量學(xué)者關(guān)注和研究。本文在已有研究基礎(chǔ)上研究具有卷積的自反環(huán)，推廣經(jīng)典環(huán)擴(kuò)張的結(jié)論。

1 預(yù)備知識(shí)

若對(duì)任意的a,b ∈R，由aRb=0 可推出bRa=0，稱R 為自反環(huán)[8]。顯然，每個(gè)可逆環(huán)都是自反環(huán)。弱自反環(huán)是自反環(huán)的推廣，稱環(huán)R 是弱自反環(huán)，如果對(duì)所有的a,b ∈R，由aRb=0 可推出bRa ?N(R)[8]。更一般地，環(huán)R 被稱為*-自反的，如果對(duì)任意a,b ∈R，由aRb=0，可推出aRb*=0。受上述研究啟發(fā)，定義并引入具有卷積的弱自反環(huán)即弱*-自反環(huán)，研究具有卷積的弱自反環(huán)的性質(zhì)。顯然，弱*-自反環(huán)是*-自反環(huán)和弱自反環(huán)的推廣。本文證明每一個(gè)弱*-可逆環(huán)是弱*-自反環(huán)。

2 弱*-自反環(huán)的性質(zhì)

定義1若對(duì)于任意a,b ∈R，由aRb=0 可推出bRa*?N(R)，則稱環(huán)R 為弱*-自反環(huán)。顯然，每一個(gè)*-自反環(huán)都是弱*-自反環(huán)，且條件bRa*?N(R)和aRb*?N(R)是等價(jià)的。

命題1若R 是約化的弱*-自反環(huán)，則R 是*-自反環(huán)。

命題2設(shè)R 和S 是兩個(gè)環(huán)，且τ:R →S 是個(gè)同構(gòu)，那么

1) *是R 的一個(gè)卷積當(dāng)且僅當(dāng)τ(*):=τ°*°τ-1是S 的一個(gè)卷積；

2) R是*-自反的當(dāng)且僅當(dāng)S 是τ(*)-自反的；

3) R是弱*-自反的當(dāng)且僅當(dāng)S 是弱τ(*)-自反的。

證明1)顯然，τ(*):=τ°*°τ-1是S 的一個(gè)2階反自同構(gòu)，且τ-1°τ(*)°τ=*是R 的一個(gè)2階反自同構(gòu)。易知，若*是R 的一個(gè)卷積，則τ(*)是S 的一個(gè)卷積。類似地，若τ(*)是S 的一個(gè)卷積，則*是R 的一個(gè)卷積。2)若R 是*-自反的，則對(duì)于任意的a,b ∈S,滿足aSb=0,那么

因此

從而

由此，S 是τ(*)-自反的。反之亦然。

3)的證明與2)的證明類似。

命題3設(shè)R 是環(huán)，則以下條件等價(jià)：

1) R 是弱*-自反的；

2)對(duì)于R 的任意兩個(gè)非空集合A，B，若ARB=0，則BRA*?N(R)；

3)對(duì)于R 的所有右（左）理想I，J，若IJ=0，則IJ*?N(R)；

4)對(duì)于R 的所有理想I，J，若IJ=0，則JI*?N(R)。

2)?3)任取R 的兩個(gè)右理想I，J，令I(lǐng)J=0，有IR=I，IRJ=0，由2)可知，JI*=JRI*?N(R)。對(duì)R 的左理想，可類似證明。

3)?4)證明是直接的。

4)?1)對(duì)任意的a,b ∈R，令aRb=0，那么RaRRbR=0，由4)知

因此，R 是弱*-自反的。

命題4每個(gè)*-可逆環(huán)是弱*-自反的。

證明如果R 是*-可逆環(huán)，那么R 是對(duì)稱環(huán)[6]。對(duì)任意a,b ∈R，令aRb=0，可推出ab=0，因此ba*=0。又每個(gè)對(duì)稱環(huán)都是半交換的，因此bRa*=0。

定義2若對(duì)任意的a,b ∈R，由ab=0 可得ba*∈N(R)，環(huán)R 為右弱*-可逆的。左弱*-可逆環(huán)可類似定義。如果R 既是右弱*-可逆環(huán)又是左弱*-可逆環(huán)，那么R 被稱為弱*-可逆環(huán)。

命題5設(shè)R 是環(huán)，則以下結(jié)論成立：

1)如果R 是弱*-可逆環(huán)，那么它是弱*-自反的；

2)如果環(huán)R 是弱*-自反和半交換的，那么它是弱*-可逆的。

證明1)設(shè)R 是弱*-可逆環(huán)，若對(duì)任意a,b ∈R，有aRb=0，那么ab=0，且對(duì)任意r ∈R，有abr=0。由弱*-可逆環(huán)的定義可知bra*?N(R)，即bRa*?N(R)。因此R 是弱*-自反的。

2) 設(shè)R 是弱*-自反和半交換的環(huán)，若對(duì)任意a,b ∈R，有ab=0，由R 是半交換環(huán)，可得aRb=0，那么bRa*?N(R)，又1 ∈R，所以ab*∈N(R)。

3 弱*-自反環(huán)的一些擴(kuò)張

命題6對(duì)于*-環(huán)R，如果卷積*是半剛性的，那么R 是弱*-自反的。

證明若環(huán)R 的卷積*滿足題設(shè)條件，那么對(duì)任意a,b,r ∈R，若aRb=0，則有0=(ar*b*Rb)ra*=(bra*)*Rbra*。又卷積*是半剛性的，因此bra*=0，故bRa*=0 且bRa*?N(R)。

定義3對(duì)任意的a ∈R，如果a=a*，那么稱a 是自共軛的。特別地，對(duì)于*-環(huán)R 的冪等元e，如果e*=e=e2，那么稱e 是R 的一個(gè)投射。

命題7對(duì)于*-環(huán)R，以下條件等價(jià)：

1) R 是弱*-自反的；

2)對(duì)任意的e ∈R，eRe 是弱*-自反的；

3)對(duì)任意的中心冪等元e ∈R，eR 是弱*-自反的。

證明2)?1)是顯然的。

若1)?2)R 是弱*-自反環(huán)，e2=e=e*∈R，那么對(duì)任意的eae,ebe ∈eRe，滿足

有

因此，

即eRe 是弱*-自反的。

1)?3)由于每個(gè)中心冪等元都是投射，證明是顯然的。

設(shè)R 是環(huán)且RMR是雙模，則環(huán)R 關(guān)于M 的平凡擴(kuò)張T(R,M)=R⊕M 是一個(gè)環(huán)，其加法運(yùn)算是矩陣的普通加法，乘法運(yùn)算定義如下：

說(shuō)明：如果R 是*-環(huán)，T(R,R)是R 關(guān)于R 的平凡擴(kuò)張，那么-*：T(R,R)→T(R,R)，即是T(R,R)上的一個(gè)卷積。

引理1[9]如果對(duì)任意a,b ∈R,aRbRb=0（或aRaRb=0)當(dāng)且僅當(dāng)aRb=0，稱R 是半素環(huán)。

命題81) 如果平凡擴(kuò)張T(R,R)是弱*-自反的，那么R 是弱*-自反的。

2)如果*是環(huán)R 的半剛性卷積，那么T(R,R)是弱-*-自反的。

證明1)若平凡擴(kuò)張T(R,R)是弱-*-自反的，那么對(duì)任意的a,b ∈R 且滿足aRb=0，有

又T(R,R)是弱-*-自反的，

因此bRa*?N(R)，即R 是弱*-自反的。

2)如果環(huán)R 的卷積*是半剛性的，那么R 是半素環(huán)和弱*-自反環(huán)。令

故有a1Ra2=0,

式(1)兩邊右乘sa2，可得

根據(jù)引理1，有

得

那么a1Rb2=0。又R 是弱*-自反的，有

推論1若R 是約化的弱*-自反環(huán)，那么T(R,R)是弱-*-自反環(huán)。

命題9若{Ri∶i ∈I}是一類弱*-自反環(huán)，那么⊕i∈IRi是弱*-自反環(huán)。

如果對(duì)任意r ∈R，ur=0，有r=0，環(huán)R 的一個(gè)元素u 被稱為右正則的。左正則可類似定義。一個(gè)既是左正則又是右正則的元素叫做正則元。對(duì)于一個(gè)*-環(huán)R，若Δ 是由R 的中心正則元組成的乘法幺半群，那么Δ-1R={u-1a|u ∈Δ,a ∈R}是個(gè)環(huán)。若I=I*，那么-*：Δ-1R →Δ-1R(滿足(u-1a)*=(u*)-1a*)是Δ-1R 的一個(gè)卷積。

命題10對(duì)于一個(gè)*-環(huán)R，R 是弱*-自反的當(dāng)且僅當(dāng)Δ-1R 是弱-*-自反的。證明若R 是弱*-自反環(huán)，對(duì)任意的u,v ∈Δ，a,b ∈R，u-1a,v-1b ∈Δ-1R，有

那么aRb=0，根據(jù)條件又有bRa*?N(R)。則

因此Δ-1R 是弱-*-自反的。

反之，若Δ-1R 是弱-*-自反的，且對(duì)任意的a,b ∈R 有aRb=0，那么a(Δ-1R)b=0。又Δ-1R 是弱-*-自反的，

所以有bRa*?N(R)，即R 是弱*-自反的。

若R 是交換環(huán)S 上的一個(gè)代數(shù)，R 關(guān)于S 的Dorroh擴(kuò)張是R 的擴(kuò)環(huán)D=(R,S)，其中ri∈R 和si∈R,D 上的乘法運(yùn)算為：(r1,s1)(r2,s2)=(r1r2+s1r2+s2r1,s1s2)。如果R 關(guān)于卷積*是一個(gè)代數(shù)，那么有卷積-*：D →D（滿足(r+s)-*=(r*,s))。

命題11若R 是交換環(huán)S 上的一個(gè)代數(shù)，那么R 是弱*-自反的當(dāng)且僅當(dāng)R 關(guān)于S 的Dorroh擴(kuò)張是弱*-自反的。

證明由于每個(gè)s ∈S 可以寫作s=s·1R，R={r+s ∶(r,s)∈D}。若R 是弱*-自反的，

則對(duì)任意的(r,s)∈D，

有

因此

等價(jià)，得

若R 是弱*-自反的且S 是交換環(huán)，則

得

因此，(r2,s2)D(r1,s1)-*?N(D), 即D 是弱*-自反的。

反之，若D 是弱*-自反的，對(duì)任意的a,b ∈R，使得aRb=0,那么

由條件可得，

那么

因此，bRa*?N(R)，即R 是弱*-自反的。

命題12若R 是弱*-自反的擬Armendariz環(huán)，則R[x]是弱-*-自反的。

對(duì)于一個(gè)*-環(huán)R，如果理想滿足I=I*，那么I 是一個(gè)*-環(huán)（可能沒(méi)有單位元）。顯然，-*：R/I →R/I（滿足(a+I)-*=a*+I)是R/I 的一個(gè)卷積。

命題13R 是*-環(huán)，理想滿足I=I*。如果R/I 是-*-自反的且*是I 的半剛性卷積，則稱R 為弱*-自反環(huán)。

證明對(duì)任意a,b ∈R,aRb=0，由R/I 是-*-自反得bRa*?I。且對(duì)任意的r ∈R,aRb=0 得

當(dāng)bra*∈I 且*是I 的半剛性卷積，可得