胡典順，余曉娟，王學萌，于文字，王 靜

美國課堂高認知水平數(shù)學任務的設計與思考

胡典順1，余曉娟1，王學萌1，于文字1，王 靜2

（1．華中師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，湖北 武漢 430079；2．宜春外國語學校，江西 宜春 336000）

以數(shù)學課堂教學中高認知水平數(shù)學任務的設計為視角，選取典型案例，深入了解美國數(shù)學課堂中高認知水平數(shù)學任務的設計，提煉出高認知水平數(shù)學任務的六大特征．同時與中國課堂教學中高認知水平數(shù)學任務的設計進行對比，從情境創(chuàng)設、目標指向等方面說明兩國數(shù)學高認知水平數(shù)學任務在設計方面可能存在的共同點和差異，在此基礎上提出對中國數(shù)學課堂教學中高認知水平數(shù)學任務設計的思考．

數(shù)學任務；高認知水平；設計

1 引言

提起美國的數(shù)學課堂，一般的刻板印象是：美國學生學的數(shù)學比中國同年級學生學的內(nèi)容略淺顯；數(shù)學課程設置輕松；數(shù)學學習上的負擔很輕．然而，美國數(shù)學教育真的如此嗎？在這種情況下如何培養(yǎng)出思維活躍、喜歡提問、實踐能力強的學生呢？要回答這個問題，首先要從美國的數(shù)學教育改革簡要談起．

從1957年至今，美國基礎數(shù)學教育先后進行了4次大的改革，即“新數(shù)學運動”“回到基礎”“問題解決”“標準運動”．其中“新數(shù)學運動”是像培養(yǎng)數(shù)學家那樣培養(yǎng)中小學生，而“回到基礎”又走向了另一個極端，“對基本技能的強調(diào)，使學生的數(shù)學水平，特別是思考能力和解題能力又停留在低水平上”[1]．在前兩次改革失敗后，“問題解決”逐漸成為當時數(shù)學教育研究的核心課題．許多學者對此展開了研究，較有代表性的是蔡金法教授的研究視角，他曾將問題解決的最終目的解釋為達成教學目標及改進學生的數(shù)學學習[2]．20世紀80年代以后，隨著《學校數(shù)學教育的原則和標準》《州際核心數(shù)學課程標準》（簡稱CCSSM）等一系列標準的頒布，美國的數(shù)學教育改革進入了“標準運動”時代[3]．作為CCSSM有效實施的一個重要標志，2013年公布的《州際核心數(shù)學課程標準K-8年級數(shù)學教材出版指南》修訂版中，明確建議三~八年級至少65%~85%的課堂教學時間應用于主要任務教學單元[4]．因此，教師需要精心設計一些有利于數(shù)學理解的數(shù)學任務，使學生充滿信心、饒有興趣，以探究的精神和方式來促進問題解決和學生的學習．

以數(shù)學任務的設計為視角，借助案例分析美國課堂高認知水平數(shù)學任務的設計，以期更加深入地理解真實的美國數(shù)學教育和數(shù)學課堂．然后基于文獻和案例支持提出對高水平數(shù)學任務設計的思考，并對中國數(shù)學課堂任務的設計提出一些啟示．

2 數(shù)學任務研究概述

數(shù)學任務是將學生的注意力集中在某一與數(shù)學內(nèi)容相關的一系列問題或一個復雜問題上的數(shù)學活動[5]．美國的數(shù)學教育實踐研究顯示[6-8]，自主性、合作式、探究式的學習方式在數(shù)學課堂教學中很受重視，在這樣的課堂中大部分教學內(nèi)容是通過數(shù)學任務來展開的．

2.1 數(shù)學任務水平的分類

美國學者Stein和Smith根據(jù)認知需求水平，將數(shù)學任務分為低認知水平和高認知水平[7]．其中，低認知水平數(shù)學任務（以下簡稱“低水平任務”）可分為記憶和無聯(lián)系的程序，高認知水平數(shù)學任務（以下簡稱“高水平任務”）則分為有聯(lián)系的程序和做數(shù)學．

低水平任務要求學生只通過記憶重復信息；或通過無關聯(lián)的程序得到答案，不涉及用程序解決問題和形成數(shù)學理解．

例如：（1）確定通過點(1, 2)和(4, 6)的直線的斜率；（2）Mary一年能賺30?000美元，如果她的工資每年增加 2?000美元，寫出Mary在年內(nèi)能賺的錢數(shù)的方程，并求Mary在10年內(nèi)能賺的錢的總數(shù)．

以上兩例都是低水平任務．完成這類任務只要按部就班進行計算，它關注的重點是完成任務、獲得答案．用低水平任務來進行數(shù)學教學對于確保學生知道重要事實和程序是不可或缺的．然而，這并沒有讓學生對概念建立聯(lián)系，并形成深刻的數(shù)學理解．因此，教師必須找到幫助學生加深知識理解的方法，其中之一就是使用高水平任務．

高水平任務要求學生形成關于數(shù)學概念和思想的深層次理解或去做數(shù)學，需要一定程度的認知努力，合理運用相關知識和經(jīng)驗．

例如，維基百科上的報告說有8%的美國人每天吃麥當勞．數(shù)據(jù)顯示2012年大約有3.11億美國人吃麥當勞，在美國大約有1.28萬家麥當勞店面．請從以上數(shù)據(jù)中做出一個猜想，并對你的結論給出一個數(shù)學上的證明．

這是一個做數(shù)學的例子．學生可搜集相關數(shù)據(jù)，預測2020年美國人在麥當勞的餐飲消費．在高水平任務中，概念性的理解是重點，學生不能只簡單地記住事實或進行算法的演算．相反，他們必須經(jīng)過合理的、邏輯嚴密的解題推斷，最終實現(xiàn)問題的解決．

2.2 高水平任務對數(shù)學理解和學業(yè)成就的影響

數(shù)學任務可以通過把學生的注意力引向特定的內(nèi)容來影響學習者，任務不僅決定了學生學習什么，還決定了他們怎么思考、發(fā)展、理解和運用數(shù)學．Quasar Project[8]研究結果體現(xiàn)了作為問題解決核心的數(shù)學任務，特別是高水平任務，在課堂中長效地為學生提供了參與高認知需求數(shù)學活動和數(shù)學理解的機會．在另一項研究中[9]，通過對美國CMP（The Connected Mathematics Project）課堂和非CMP課堂（即傳統(tǒng)課堂）的觀察發(fā)現(xiàn)，CMP課堂上學生的學業(yè)成績更加優(yōu)異，且這種優(yōu)勢會在他們進入下一階段的學習中繼續(xù)發(fā)揮作用．究其原因，兩類課堂在不同認知需求的數(shù)學任務占比上有顯著差異，有超過45%的CMP課堂中實施了至少一個高水平任務．

教師選擇和使用任務是學生學習質(zhì)量的主要決定因素，研究者在一個名為“任務類型和數(shù)學學習”的項目中使用了一系列情境化高水平任務，這樣做有效地幫助了學生對數(shù)學知識的理解，從而提高了學業(yè)成績[10]．此外，高水平任務在促進課堂交流方面也起到了橋梁作用．通過完成數(shù)學任務，學生可以表達觀點、相互質(zhì)疑、辯解澄清等，從而促進了學生的數(shù)學理解[11]．那么，高水平任務有什么特征呢？

2.3 高水平任務的特征

高水平任務鼓勵學生尋找不同數(shù)學內(nèi)容之間或數(shù)學與非數(shù)學領域之間的聯(lián)系、進行非算法式的思考、要求概括、經(jīng)歷有挑戰(zhàn)性的思維過程[12]，這是高水平任務與一般任務的區(qū)別所在．有學者從情境創(chuàng)設、教學意義、活動開展等方面探討了高水平任務的特征[13-15]．總體說來，高水平任務具有以下特征．

（1）情境性．情境性是高水平任務的一個顯著特征．真實的、有趣的、與實際生活緊密聯(lián)系的情境能使學生把情境與數(shù)學知識聯(lián)系起來，促進數(shù)學任務完成．除生活情境外，高水平任務的情境也可以是純數(shù)學情境．情境是為數(shù)學任務服務的，“關鍵是數(shù)學任務本身是否為學生提供了推理、意義建構和問題解決的機會”[16]．

（2）探究性．高水平任務中，強調(diào)學生經(jīng)歷探索過程，理解數(shù)學概念與關系等．數(shù)學任務的探究性支持學生思考、讓學生監(jiān)督自己的學習以及促進推理和論證．

（3）表征性．高水平任務通常以多種形式呈現(xiàn)，如圖表、教具、符號、模型和實驗等．用不同的形式去表征同一個數(shù)學內(nèi)容，有利于學生更深刻地理解數(shù)學任務、更透徹地理解數(shù)學知識．

（4）展開性．在一節(jié)課中，高水平任務通常是圍繞一個主要的、復雜的數(shù)學任務或幾個相關的、有層次的小數(shù)學任務展開的．這種依層次逐漸展開的特性是數(shù)學任務的展開性．具有展開性的數(shù)學任務可以為學生創(chuàng)造深入探索并進行復雜思考的氛圍．

（5）概括性．通過完成數(shù)學任務獲得某一類問題的解決方法．這有助于學生發(fā)展抽象思維，也能促進數(shù)學知識、技能的遷移．

（6）開放性．不少高水平任務是開放式的．包括條件的開放性、思維形式的開放性、具有多種可行的答案等．學生在這種開放式的學習環(huán)境中能得到適合自己的學習機會，積極思考并完成數(shù)學任務．

在以上6個特征中，前3個特征屬于高水平任務的基本特征．后3個特征可能出現(xiàn)在不同難度的高水平任務中．下面通過兩個具體的案例進一步加以說明．

3 案例分析

通過觀看相關教學視頻、查閱相關文獻及教學設計，發(fā)現(xiàn)中美兩國數(shù)學課堂中的數(shù)學任務設計具有各自的特點．下面分別選取中美兩國的一堂八年級課堂錄像進行分析．授課內(nèi)容均為一次函數(shù)，分析內(nèi)容主要是課堂教學中的數(shù)學任務設計，不包含小結交流及課后作業(yè)中的數(shù)學任務．

3.1 兩個案例中的數(shù)學任務

兩節(jié)課中的數(shù)學任務見表1（表中內(nèi)容分別來自文[17-18]并結合授課視頻整理而成）．

表1 美國課堂數(shù)學任務設計

表2 中國課堂數(shù)學任務設計

3.2 兩個案例中數(shù)學任務的特征分析

依據(jù)完成數(shù)學任務所需的認知水平，中美課堂中兩個數(shù)學任務都是高水平任務．即二者都不是對以前知識的回憶或者根據(jù)提供的公式、步驟來解決問題；都具有情境性、探究性和表征性；要求概括；課堂目標明確；學生參與度高等特征．從問題解決層面分析，這兩個數(shù)學任務都需要學生經(jīng)過探究靈活應用已有數(shù)學知識，運用抽象思維、建模思維等高層次數(shù)學思維，主動建構知識解決問題．但兩者在情境創(chuàng)設、目標指向等方面又有所不同，具體如下．

（1）情境創(chuàng)設不同．美國這節(jié)課的高水平任務只有一個實際生活情境，一個復雜數(shù)學任務中的各個子任務都圍繞這個情境展開，情境是學生熟悉的校園活動．中國這節(jié)課的高水平任務設置有多個情境，這些情境內(nèi)容豐富，但有些情境與學生生活聯(lián)系不緊密．

（2）目標指向相異．美國這節(jié)課的目標是讓學生在一個復雜的情境中解決問題，突出過程目標；中國這節(jié)課則是讓學生在多個情境中學會知識，注重雙基目標．傾向于過程目標取向的教學具有兩個明顯的特點：一是相信高層次的認知過程技巧，尤其是遷移等技巧的掌握比知識本身更有助于學生學會學習；二是關注學生認知的連貫性[19]．目標指向的不同使得兩節(jié)課中數(shù)學任務的探究性程度也有所不同．

（3）呈現(xiàn)方式有別．呈現(xiàn)方式體現(xiàn)了數(shù)學任務的表征性和展開性特征．美國這節(jié)課上的數(shù)學任務是一個復雜的問題，由幾個有關聯(lián)的小問題組成，通過一個情境有層次遞進地呈現(xiàn)出來．而中國這節(jié)課上的數(shù)學任務由一系列沒有關聯(lián)的問題組成，且數(shù)學任務是在多個情境中呈現(xiàn)出來的．此外，前者數(shù)學任務中涉及了用公式、圖表等表征數(shù)學知識．后者較多從純數(shù)學角度表征數(shù)學任務．

（4）解決過程不同．解決過程反映了數(shù)學任務的概括性和開放性程度．兩個數(shù)學任務的問題解決均滲透了歸納概括的數(shù)學思想方法，以及在探究的過程中體驗特殊和一般的關系，具有一定的開放性．美國這節(jié)課的數(shù)學任務是從生活經(jīng)驗中提煉出數(shù)學知識，蘊含了縱截距、斜率及數(shù)列求和等數(shù)學概念和技能．中國這節(jié)課的數(shù)學任務注重問題解決的程序，聚焦在表示兩個變量的關系和判斷是否為一次函數(shù)為主，但告知了變量，降低了數(shù)學化的難度．

4 高水平任務設計的思考

從以上案例中可看出，美國在高水平任務的設計中，重視學生問題解決能力的培養(yǎng)，強調(diào)數(shù)學與實際生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的推理與概括能力．這樣的數(shù)學課堂能給中國高水平任務的設計帶來一定的借鑒與思考．例如，下面是中國某市級學校九年級數(shù)學課堂上出現(xiàn)的兩個問題．

例1 某音樂廳決定在暑假期間為學生舉辦專場音樂會．入場券分為團體票和零售票，其中團體票占總數(shù)的2/3．提前購票會有不同程度的優(yōu)惠．若在5月份內(nèi)，團體票每張12元，共售出團體票數(shù)的3/5．零售票每張16元，共售出零售票數(shù)的一半．若在6月份內(nèi)，團體票每張按14元出售，并計劃在6月份售出全部余票．設總票數(shù)為張，6月份零售票按每張元定價．問：（1）5月份和6月份票價的總收入分別是多少元？（2）當為多少時，兩個月的票款收入持平？

例2 為了加強公民的節(jié)水意識，某市采取價格調(diào)控手段達到節(jié)約用水的目的．該市自來水收費價格如下．水費按月結算．

每月用水量單價 不超出5 m3的部分2元/ m3 超出5 m3不超過10 m3的部分4元/ m3 超出10 m3的部分8元/ m3

問：（1）該戶居民2月份用水12.5 m3，則應收水費多少元？

（2）該戶居民3、4月份共用水15 m3（其中4月份用水量超過3月份），共交水費44元．則該用戶3、4月份各用水多少立方米？

上述兩個數(shù)學任務，設置有情境，需要探究，可使用表格、線段圖等方式進行表征，具有一定的展開性．無疑解決它們都需要調(diào)動學生的高水平認知．研究表明，學生在數(shù)學學習上成功與否很大程度上取決于教師[20]．蔡金法認為，教師在教學過程中應同時扮演好選擇合適的數(shù)學任務和組織課堂討論兩個角色[21]．因此，教師在課前認真思考以下問題（見表3[15]），將幫助自己設計出真正的高水平任務，也有助于學生找到解決問題的切入點，提高課堂效率．

表3 促進高水平任務設計的問題

教師對上述問題的回答體現(xiàn)出教師的教學信念以及對學科教學知識的理解．畢竟，教師關于數(shù)學教學的認識信念，決定著教師的教學決策和行為，也間接影響著學生的學業(yè)成績和學習態(tài)度[22]．因此，教師在設計高水平教學任務時可依據(jù)學生的學習目標、自身的教學信念和學科知識以及高水平任務的特征進行設計．流程如圖1．

圖1 高水平任務設計流程

以例1為例．確定學習目標，這是一節(jié)課的出發(fā)點，也是評估課程的落腳點．該數(shù)學任務的知識和技能目標就是理解一元一次方程并會求解．該數(shù)學任務的情境是購票，屬于與學生生活緊密聯(lián)系的生活情境．預設學生的探究過程時，要考慮到學生的已有認知水平，同時注意結合數(shù)學任務的過程性學習目標，即用方程思想挖掘條件中隱含的數(shù)量關系，結合已學模型建立方程．考慮到數(shù)學任務的復雜性，教師在設計數(shù)學任務時應盡量豐富任務的表征方式，可借助直觀圖表尋求已知量與未知量之間的等量關系．在預設數(shù)學任務的解決方法時可以考慮列表表示各類信息和關系．除此以外，還要預設數(shù)學任務探究的形式、報告討論的方式，以及在此過程中學生需要使用的工具或資源、可能產(chǎn)生的錯誤理解等，為課堂實施數(shù)學任務及準確地評估學生情況做好準備．

5 結語

以高水平任務的設計為視角進行分析，可以看出，不少人對美國數(shù)學教育的認識存在一定的偏差．應該客觀、正確地看待美國的數(shù)學教育，科學合理地借鑒、學習他們的優(yōu)點．教師可以通過設計高水平任務，引導學生進行高層次的思維和推理，為學生形成積極主動的學習習慣創(chuàng)造有利的條件．在設計高水平任務前需要做好相關準備，熟悉設計的流程及注意事項等．設計數(shù)學任務時注意要給學生留有思考的空間、交流合作的機會，體現(xiàn)以學生為中心的教育理念．當然，并不是教材中所有的內(nèi)容都適合設計成高水平任務，也不是所有的內(nèi)容都需要設計成為高水平任務，作為基礎的低水平任務也具有其用途所在．

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The Design of Mathematical Task of High Cognitive Level in the Class

HU Dian-shun1, YU Xiao-juan1, WANG Xue-meng1, YU Wen-zi1, WANG Jing2

(1. School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China;2. Foreign Language School in Yichun City, Jiangxi Yichun 336000, China)

This paper stem from the perspective of mathematical task with high cognitive demanding in classroom teaching. With the typical cases selected, this research explored the design of mathematical task in high cognitive level in high school education context in the US, and illustrated the six major characteristics of high cognitive level mathematics tasks. Meanwhile, by comparing the cases of designing high cognitive level mathematical task in America and in China, the potential similarities and differences were draw in the aspects of situation creating, target pointing and so on. On the basis of this, the paper put forward some ideas on Chinese education in terms of the design of mathematical task in high cognitive level.

mathematical task; high cognitive level; design

2019-10-16

教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金項目——中小學核心素養(yǎng)測評的模型建構與實證研究（19YJA880012）；湖北省教育科學規(guī)劃項目——“國培計劃”實施的有效性研究（2016GB194）

胡典順（1965—），男，湖北孝感人，教授，博士，博士生導師，主要從事數(shù)學課程和教學論研究．

G40-059.3

A

1004-9894（2019）06-0037-05

胡典順，余曉娟，王學萌，等．美國課堂高認知水平數(shù)學任務的設計與思考[J]．數(shù)學教育學報，2019，28（6）：37-41．

[責任編校：周學智、陳漢君]