朱新瑤， 劉曉俊

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

1 問題的提出

本文涉及的代數(shù)體函數(shù)值分布論的相關(guān)概念和記號參見文獻[1-2]。

對于具有公共值的亞純函數(shù)的唯一性問題國內(nèi)外眾多專家學(xué)者進行了廣泛研究，得到了許多結(jié)果[3-11]，其中一個有意義的方向是與其導(dǎo)數(shù)具有公共分擔(dān)值的亞純函數(shù)的唯一性問題。

1983 年，Gundersen[2]證明了定理A。

定理A設(shè) f(z)為 非常數(shù)的亞純函數(shù)， a,b為兩個互異的有限復(fù)數(shù)，若 f(z)和 f′(z)C M 分擔(dān) a,b，則f(z)= f′(z)。

1986 年，F(xiàn)rank 等[12]證明了定理B。

定理B設(shè) f(z)為 非常數(shù)亞純函數(shù)， a,b為兩個互異的有限復(fù)數(shù)，若 f(z)和 f(k)(z)C M 分擔(dān) a,b，則有f(z)= f(k)(z)。

自然地，我們會考慮如何將上述結(jié)果推廣到代數(shù)體函數(shù)。代數(shù)體函數(shù)是一種比亞純函數(shù)更為廣泛的多值函數(shù)，它由不可約方程

來確定，其中 Av(z),···,A0(z)是復(fù)平面上一組沒有公共零點的解析函數(shù)。特別地，當Av(z),···,A0(z)都為多項式時，W (z) 為 代數(shù)函數(shù)。本文假設(shè)Av(z),···,A0(z)中 至少有一個是超越整函數(shù)。當 v ≥2時，W(z) 為 多值函數(shù)；當 v=1時 ， W(z)就是亞純函數(shù)。顯然， v值代數(shù)體函數(shù)是亞純函數(shù)的自然推廣。在本文中代數(shù)體函數(shù) W(z) 的 一階導(dǎo)數(shù)記作 W′(z) ， k階導(dǎo)數(shù)記作 W(k)(z),它 們都為 v值代數(shù)體函數(shù)。

關(guān)于代數(shù)體函數(shù)的唯一性問題，劉慧芳[13]將定理A 推廣到代數(shù)體函數(shù)，得到了定理C。

定理C設(shè) W(z) 為 v(v≥2)值 代數(shù)體函數(shù)，a1,a2,···,a2v為 2v 個互 異 的有 限復(fù) 數(shù)，若 W(z) 與 W′(z)CM 分擔(dān) a1,a2,···,a2v且 IM 分擔(dān) ∞， 則 W(z)=W′(z)。

當 v=1時，定理C 即為定理A。

參照文獻[13]中的定義方法，現(xiàn)給出如下記號： W(z) 和 M(z)為 v 值 代數(shù)體函數(shù)， a為任意復(fù)數(shù)，且 W(z) 和 M(z)分 擔(dān) 值a。若 z0是 W(z)?a 的 u重零點時，也是 M(z)?a的 至少 u重零點，則記為：W(z)=a →M(z)=a。 特別地，W(z)=∞→M(z)=∞則 表 示 W(z) 的 u重 極 點 是 M(z)重 數(shù) 至 少 為 u的極點。

本文考慮將定理B 推廣到代數(shù)體函數(shù)，得到定理1。

定理1設(shè)W (z) 為 v (v ≥2)值 代數(shù)體函數(shù)，a1,a2,···,a2v為 2 v 個非零互異有限復(fù)數(shù)。若W(z)=ai→W(k)(z)=ai(i=1,2,···,2v)， 且IM 分擔(dān) ∞， 則 W (z)=W(k)(z)。

由此，可得推論。

推論設(shè) W(z) 為 v(v ≥2)值 代數(shù)體函數(shù)，a1,a2,···a2v為 2v 個 互異 的 有 限復(fù) 數(shù)，若 W(z) 與 W(k)(z) CM 分擔(dān)a1,a2,···,a2v且 IM 分擔(dān) ∞， 則 W (z)=W(k)(z)。

此外，通過對定理C 證明過程的分析可以看出，當v ≥3時 ，定理中分擔(dān)值的個數(shù)可以減為(2v?1)個，即得到定理2。

定 理2設(shè) W(z) 為 v(v ≥3)值 代 數(shù) 體 函 數(shù)，若W(z) 與 W′(z) C M 分擔(dān)包括0 在內(nèi)的 2v?1個有限復(fù)數(shù)且IM 分擔(dān) ∞， 則 W (z)=W′(z)。

2 相關(guān)引理及其證明

引理1設(shè) W(z)為 v 值 代數(shù)體函數(shù)，若 W(z)與W(k)(z) IM 分擔(dān) ∞，則有：

證明設(shè)

所以

若W(z)與W(k)(z)IM分擔(dān)∞，則有

所以

因此，結(jié)論a 成立。

因此，結(jié)論b 成立。

引理2[14]設(shè) W (z) 為 v 值代數(shù)體函數(shù)，則

引 理3[14]設(shè) W(z) 為 v 值 代 數(shù) 體 函 數(shù)，且a1,a2,···,aq為 擴充復(fù)平面上 q個互異復(fù)數(shù)，則

其中， N1(r,W)是 W (z) 重 值點的密指量， τ重值點計算 τ ?1重。

引理4[15]設(shè) W(z) 為 v 值 代數(shù)體函數(shù)，且a1,a2,···,aq為 q個互異復(fù)數(shù)，則

引 理5設(shè) W(z) 為 v 值 代 數(shù) 體 函 數(shù)，且a1,a2,···,a2v為復(fù)平面上 2v個互異非零有限復(fù)數(shù)。若W(z)=ai→W(k)(z)=ai,i=1,2,···,2v，則有

證 明) 設(shè) 2v 個 非(零 有 限 復(fù) 數(shù))為 a1,a2,···,a2v，

則

k次求導(dǎo)后有

設(shè)

由引理5 條件可得

由以上討論可得

因此有

所以

證畢。

3 定理證明

3.1 定理1 的證明

證明設(shè) 2v 個 非零有限復(fù)數(shù)為 a1,a2,···,a2v。反證法，倘若 W(z)≠W(k)(z) ， 令 q=2v+1,a2v+1=∞，則由引理3 可得

又由引理2 可得

所以，式 (1)可整理為

由定理1 條件可得

由式（2）可得S(r,W(k))=S(r,W)。

又

由引理1 的結(jié)論a，式（3）可整理為

又W(z)=ai→W(k)(z)=ai,i=1,2,···,2v，由引理5 可得

由引理4 可得

結(jié)合式（4）和式（5）可得

結(jié)合式（6）和式（7）可得

3.2 定理2 的證明

證 明倘 若 W(z)≠W′(z)， 設(shè) W(z) 與 W′(z) CM 分擔(dān)a1,a2,···,a2v?1， 且不妨設(shè) a2v?1=0,a2v=∞。因為W(z) 與 W′(z) CM 分 擔(dān)0，則0 為 W(z) 與 W′(z)的Picard 例外值，則有所以

由參考文獻[4]中的引理2.3 將式（9）整理為

與定理1 的證明類似，由 W(z) 與 W′(z) CM 分擔(dān)a1,a2,···,a2v?1，可得

又

結(jié)合式（10）和式（11）可得

由引理3 和分擔(dān)條件可得

結(jié)合式（12）和式（13）可得

整理式（14）可得(2v?5)T(r,W′)≤S(r,W),v ≥3，矛盾。證畢。