(浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，浙江 杭州 310023)

隨著燃油汽車使用成本的提高和尾氣排放造成的環(huán)境污染問題愈發(fā)嚴(yán)重，綠色環(huán)保節(jié)能的電動汽車受到了廣泛關(guān)注[1-2]，其中，輪轂電機四輪驅(qū)動電動汽車是未來新能源汽車的重要發(fā)展方向。在四輪驅(qū)動電動汽車中，電機直接驅(qū)動車輪實現(xiàn)四個輪子的獨立控制，這將大大提高車輛的駕駛性能和經(jīng)濟性能[3-4]。由于四輪驅(qū)動電動汽車的每個車輪有獨立的驅(qū)動源，面臨的一個關(guān)鍵問題是如何在保持車輛直線行駛的同時實現(xiàn)四輪之間驅(qū)動力的協(xié)調(diào)分配，使車輛能夠安全穩(wěn)定行駛[4-5]。目前，相關(guān)學(xué)者針對這一問題開展了研究并已取得了一些有效的成果。例如，Johansent等[5]對驅(qū)動力分配控制問題及其研究現(xiàn)狀進(jìn)行了詳細(xì)的分析和總結(jié)；Xu等[6-7]基于前后輪的輪胎負(fù)荷比，將前輪與后輪按固定比例分配驅(qū)動力控制；Mokhiamar等[8]研究車輛穩(wěn)定性，通過加權(quán)系數(shù)自適應(yīng)的方法實現(xiàn)四輪驅(qū)動電動汽車驅(qū)動力的協(xié)調(diào)分配。上述幾種方法可保證車輛的行駛穩(wěn)定性，但沒有考慮車輛駕駛的經(jīng)濟性。Jeongmin等[9-12]采用先進(jìn)控制技術(shù)處理驅(qū)動力分配問題，基于不同的控制方法提出了多種有效的控制策略，如基于滑模控制的驅(qū)動力分配、基于模糊邏輯控制的驅(qū)動力分配和基于魯棒控制的驅(qū)動力分配等。為處理四輪驅(qū)動力分配中的約束控制問題，Zhao等[13]提出了基于模型預(yù)測控制的四輪驅(qū)動電動汽車的前輪轉(zhuǎn)向角和牽引力分配的分層控制方法；而Lin等[14]基于模糊策略提出了驅(qū)動防滑與橫擺穩(wěn)定集成控制設(shè)計；續(xù)丹等[15]提出以經(jīng)濟性為目標(biāo)的轉(zhuǎn)矩分配策略，在滿足穩(wěn)定行駛的前提下，盡可能降低車輛燃油消耗；Siampis等[16]通過上層利用滑?？刂朴嬎銠M擺力矩，下層利用數(shù)學(xué)規(guī)劃的罰函數(shù)組成的偏航力矩控制偏移，將驅(qū)動系統(tǒng)的能量損失和滑移率作為約束，用于車輪轉(zhuǎn)矩控制分配。現(xiàn)有大多數(shù)控制方法采用分層控制方法求解驅(qū)動力分配問題，筆者考慮直接求解驅(qū)動力分配問題。

在現(xiàn)有電動汽車四輪驅(qū)動力分配控制中，模型預(yù)測控制由于具有顯式處理被控系統(tǒng)約束和性能優(yōu)化的優(yōu)勢[17-18]，已成為求解當(dāng)前電動汽車四輪驅(qū)動力分配問題的一種主流控制方法，但現(xiàn)有電動汽車四輪驅(qū)動力分配模型預(yù)測控制方法沒有充分考慮預(yù)測控制量在線非線性優(yōu)化的復(fù)雜計算量問題，壓縮優(yōu)化問題的決策變量維數(shù)是降低非線性預(yù)測控制在線計算量的有效方法之一[19]，筆者采用參數(shù)化方法設(shè)計四輪驅(qū)動電動汽車驅(qū)動力分配階梯式模型預(yù)測控制算法，將非線性預(yù)測控制優(yōu)化問題的決策變量維數(shù)降低到控制變量的個數(shù)，而與預(yù)測(控制)時域無關(guān)[20]，從而可以延長預(yù)測時域，提高系統(tǒng)控制性能。在算法中，考慮車輛傳動機構(gòu)約束，以車輛直線行駛和零橫擺角速度為目標(biāo)設(shè)計四輪驅(qū)動力分配控制器，并將預(yù)測時域內(nèi)的控制增量參數(shù)化成以階梯形式變化，進(jìn)而大大降低驅(qū)動力分配預(yù)測控制量的計算量[19]。通過與非參數(shù)化驅(qū)動力分配預(yù)測控制算法進(jìn)行仿真比較，驗證筆者算法的有效性和快速性。

1 驅(qū)動力分配模型與問題描述

考慮四輪輪轂電機驅(qū)動電動汽車整車模型(圖1)，其中，車身主要由輪轂電機、輪胎和整車控制器組成。通常，方向盤輸入轉(zhuǎn)向角，通過整車控制器發(fā)送控制命令，由四個輪轂電機直接驅(qū)動四個輪子轉(zhuǎn)動，此時如果沒有處理好行駛約束，則當(dāng)車輪左右兩側(cè)受力不均勻時，車輛很容易出現(xiàn)跑偏現(xiàn)象。筆者考慮四輪獨立驅(qū)動電動汽車行駛時的直線保持控制問題，通過對傳動機構(gòu)動力學(xué)模型和約束實現(xiàn)車輪驅(qū)動力分配，保證車輛直線行駛。

圖1 整車模型Fig.1 Full-vehicle model

假設(shè)車輛在單行道行駛時各車輪靜止剛度相等，在車輛坐標(biāo)系下建立整車七自由度動力學(xué)模型[21]，即縱向、側(cè)向、橫擺三個運動自由度和四個車輪的旋轉(zhuǎn)自由度，整車模型的受力分析如圖1所示。由受力分析和牛頓第二定理可得車輛縱向動力學(xué)方程為

(1)

式中：M為車重；Fw是空氣阻力；CD為空氣阻力系數(shù)；Av為迎面面積；vx為縱向速度；ax為縱向加速度，滿足ax=dvx-vyγ，其中dvx為縱向速度偏導(dǎo)，vy為橫向速度，γ為橫擺角速度；Ff是車體滾動阻力；δ是方向盤輸入角；Fxi(i=1,2,3,4)分別是右前輪、左前輪、左后輪、右后輪的縱向力；Fyi(i=1,2,3,4)分別是右前輪、左前輪、左后輪、右后輪的側(cè)向力。同理，車輛橫向動力學(xué)方程為

May=(Fy1+Fy2)cosδ+Fy3+
Fy4+(Fx1+Fx2)sinδ

(2)

式中ay是車輛橫向加速度，滿足ay=dvy+vxγ。進(jìn)一步，得車輛橫擺動力學(xué)方程為

(3)

式中：Iz為橫擺轉(zhuǎn)動慣量；La和Lb分別為車輛重心到前后軸距離；d是車輪間距。

由于車輛輪胎側(cè)向力與回正力矩、車輪載荷等存在非線性關(guān)系[3]，各車輪的側(cè)向力很難作為直接控制量進(jìn)行控制，因此筆者將車輛的輪胎側(cè)向力Fyi(i=1,2,3,4)用輪胎模型計算。為了簡化公式，選用輪胎線性模型，即

Fyi=Ciαi

(4)

式中：αi(i=1,2,3,4)分別是右前輪、左前輪、左后輪、右后輪的車輪轉(zhuǎn)向角；Ci(i=1,2,3,4)分別是右前輪、左前輪、左后輪、右后輪的側(cè)偏剛度。根據(jù)受力分析，前輪和后輪的輪胎側(cè)滑角αi可通過公式計算，即

(5)

式中定義質(zhì)心側(cè)偏角β=arctan(vy/vx)≈vy/vx。

由于汽車自身物理結(jié)構(gòu)的限制，車輛自身運動狀態(tài)和車輪驅(qū)動力都具有約束條件。令汽車輪轂電機的最大轉(zhuǎn)矩為Te max，車輪的有效半徑為r。由于Fxr=Te，汽車各車輪的縱向力滿足

(6)

進(jìn)一步考慮汽車駕駛安全性和穩(wěn)定性，要求車輛運動參量滿足

-vmax≤vx≤vmax
-βmax≤β≤βmax
-γmax≤γ≤γmax

(7)

式中：vmax為最大容許縱向速度；γmax是最大偏航角速度；βmax為最大質(zhì)心側(cè)偏角。

筆者考慮四輪驅(qū)動電動汽車直線行駛保持問題，基于模型預(yù)測控制設(shè)計四輪驅(qū)動力分配控制器，考慮約束條件式(6，7)，盡可能減少各車輪驅(qū)動力之間的差值以降低車輛行駛能耗和減小車輛的側(cè)向位移，保證車輛行駛穩(wěn)定性。

2 驅(qū)動力分配預(yù)測控制

考慮四輪獨立驅(qū)動電動汽車直線行駛保持問題。由于車輛直線行駛，方向盤輸入角δ很小，所以令cosδ≈1和sinδ≈0?？紤]整車七自由度動力學(xué)模型式(1～5)，定義狀態(tài)變量為x1=vx，x2=β和x3=γ?？刂戚斎胱兞繛閡1=δ，u2=Fx1，u3=Fx2，u4=Fx3和u5=Fx4，代入動力學(xué)模型式(1～5)，經(jīng)整理，四輪驅(qū)動電動汽車驅(qū)動力分配狀態(tài)空間模型可描述為

(8)

注意，為了方便控制，筆者將上式中各狀態(tài)變量和控制變量作歸一化處理，即各變量的取值范圍縮小在0～1之間。式(8)中：系數(shù)Cr為前輪的側(cè)偏剛度，即C1,2；Cf為后輪的側(cè)偏剛度，即C3,4；Fmax為最大驅(qū)動力。為書寫方便，將式(8)簡化為

(9)

式中：x=[x1x2x3]T；u=[u1u2u3u4u5]T；

f(x)=

由于模型預(yù)測控制算法是一種基于在線優(yōu)化的計算機控制算法，所以令Ts為采樣周期，對四輪輪轂電機驅(qū)動力分配狀態(tài)空間模型作離散化，得離散時間狀態(tài)空間模型為

(10)

考慮車輛行駛時的目標(biāo)車速vd，目標(biāo)橫擺角速度γd和目標(biāo)質(zhì)心側(cè)偏角βd，并令xd=[vdγdβd]T，定義當(dāng)前采樣時刻k的有限步長跟蹤性能指標(biāo)，即

(11)

式中：整數(shù)p>0為優(yōu)化時域；正定矩陣Q為加權(quán)因子，用來調(diào)節(jié)控制器的跟蹤性能。進(jìn)一步，考慮相鄰時刻控制輸入變化盡可能小，定義驅(qū)動力增量性能指標(biāo)為

(12)

式中：Δu(k+i)=u(k+i)-u(k+i-1)；正定矩陣S為加權(quán)因子，可以調(diào)節(jié)四個輪子驅(qū)動力之間的差距。

為保證車輛直線行駛的穩(wěn)定性，在行駛過程中需要盡可能減小車輛的側(cè)向位移，因此定義直線行駛性能指標(biāo)為

(13)

式中正定矩陣R為加權(quán)因子，可以調(diào)整側(cè)向位移。

同時為保證模型預(yù)測控制的穩(wěn)定性，定義充分大的終端罰函數(shù)為

通過選取的樣本，使用以北海、南寧、欽州、防城港四市的6種商品(糧食、油脂類、肉類、煙酒類、服裝鞋帽類、醫(yī)療用品類以及日用品類)在2008年—2011年期間的價格數(shù)據(jù)并對其進(jìn)行相應(yīng)的差分處理，南寧、欽州以及防城港三市數(shù)據(jù)求平均，從而得到相對價格指標(biāo)最后經(jīng)過計算到如下表：

J4(k)=(x(k+p)-xd)T
W(x(k+p)-xd)

(14)

式中正定矩陣W為充分大的加權(quán)因子，以保證優(yōu)化時域終端狀態(tài)趨近于目標(biāo)點xd。因此，電動汽車四輪驅(qū)動力分配的總控制目標(biāo)應(yīng)該包括上述四個性能指標(biāo)，即

J(k)=J1(k)+J2(k)+J3(k)+J4(k)

(15)

同時各個性能指標(biāo)的相對重要性可以通過加權(quán)矩陣Q，S，R和W調(diào)整設(shè)定。

在模型預(yù)測控制算法中，每個采樣時刻求解一個開環(huán)有限時域優(yōu)化問題，其中，決策變量的維數(shù)等于優(yōu)化時域和控制變量個數(shù)的乘積。在驅(qū)動力分配預(yù)測控制中，決策變量的維數(shù)為5p。顯然，為提高預(yù)測控制的效果，當(dāng)優(yōu)化時域較大時，驅(qū)動力分配預(yù)測控制的計算量大大增加，不滿足車輛行駛系統(tǒng)的快速性要求。通常，模型預(yù)測控制在每個采樣時刻僅將最優(yōu)控制序列的第一個元素應(yīng)用到汽車驅(qū)動力分配控制中，其他剩余的元素將被丟棄[13]，這對于直線行駛車輛驅(qū)動力分配控制來說，有利于克服不斷變化的車輛狀態(tài)和其他未知的干擾。但由于驅(qū)動力分配模型是一個復(fù)雜非線性系統(tǒng)，對應(yīng)的預(yù)測控制優(yōu)化問題為非凸的非線性規(guī)劃問題，在每個采樣周期內(nèi)求解非線性規(guī)劃問題需要非常大的計算量[20]，計算時間難以確定，從而不能保證直線行駛車輛驅(qū)動力分配控制品質(zhì)。由此引入階梯式控制策略，通過預(yù)先規(guī)劃未來控制輸入變化趨勢，參數(shù)化優(yōu)化時域內(nèi)的預(yù)測控制輸入量，降低優(yōu)化問題的計算量。

考慮當(dāng)前采樣時刻k，對優(yōu)化時域p步內(nèi)的控制輸入增量作階梯式參數(shù)化[22]，即

Δu(k+i|k)=αiΔu(k|k)
i=1,2,…,p-1

(16)

式中：Δu(k+i|k)表示在k時刻對未來第i步的預(yù)測控制輸入增量；α為梯度因子，通常0<α<1；Δu(k|k)表示當(dāng)前采樣時刻控制增量。由此可得優(yōu)化時域內(nèi)的預(yù)測控制量為

u(k+i+1|k)=u(k+i|k)+αΔu(k+
i|k)=u(k+i|k)+αiΔu(k|k)

(17)

對預(yù)測控制輸入階梯式參數(shù)化后，控制器預(yù)先規(guī)劃了當(dāng)前采樣時刻的未來控制輸入趨勢，則未來控制增量僅依賴于當(dāng)前時刻的控制增量，從而驅(qū)動力分配預(yù)測控制優(yōu)化問題的決策變量僅由控制輸入個數(shù)決定，需要優(yōu)化計算的決策變量維數(shù)從5p降低為5，大大降低了預(yù)測控制的在線計算量。

考慮當(dāng)前采樣時刻k的測量狀態(tài)x(k)，將式(16)代入性能指標(biāo)J2(k)得

(18)

定義汽車四輪驅(qū)動力分配有限時域最優(yōu)控制問題，即

x(k|k)=x(k),?i=0,1,…,p-1

(19)

應(yīng)用SQP、粒子群等數(shù)值優(yōu)化算法求解得最優(yōu)解Δu*(k|k)，則定義當(dāng)前采樣時刻k的汽車四輪驅(qū)動力分配預(yù)測控制量，即

umpc(k)=umpc(k-1)+
Δu*(k|k)k≥1

(20)

式中控制量初始時刻值通?？扇榉€(wěn)態(tài)控制量。

下面給出電動汽車四輪驅(qū)動力分配預(yù)測控制器設(shè)計步驟。

Step1設(shè)置驅(qū)動力分配控制器參數(shù)Ts，p，α，Q，S，R和W；設(shè)置控制量初始時刻值u(0)。

Step2在采樣時刻k，測量汽車四輪驅(qū)動力分配運行狀態(tài)x(k)，在線求解最優(yōu)控制問題式(19)，得最優(yōu)解Δu*(k|k)。

Step3應(yīng)用式(20)計算汽車四輪驅(qū)動力分配預(yù)測控制量，作用于汽車四輪驅(qū)動力分配過程。

Step4令k=k+1，返回第2步。

3 仿真與分析

為了驗證筆者提出的電動汽車四輪驅(qū)動力分配階梯式模型預(yù)測控制算法的控制效果和計算優(yōu)勢，在MatLab 2013a平臺上進(jìn)行仿真驗證，并將筆者算法與驅(qū)動力分配非參數(shù)化傳統(tǒng)模型預(yù)測控制算法進(jìn)行比較，分析兩種控制方法對應(yīng)的控制效果和計算時間。

在仿真實驗中，設(shè)置仿真時間為Tsim=60 s，采樣周期Ts=0.1 s，優(yōu)化時域p=5，同時取加權(quán)矩陣Q=500I3，R=50，S=I5和W=106I3，梯度因子α=0.5。仿真中車輛相關(guān)參數(shù)如表1所示[13]。進(jìn)一步，設(shè)車輛初始速度6 m/s，質(zhì)心側(cè)偏角和偏航角速度都為0，車輛保持直線行駛，即初始狀態(tài)x(0)=[0.2 0 0]T?？紤]歸一化后的速度約束-1≤vx≤1，質(zhì)心側(cè)偏角約束-1≤β≤1和偏航角速度約束-1≤γ≤1。設(shè)質(zhì)心側(cè)偏角和理想偏航角速度目標(biāo)值βd=γd=0，期望車速變化曲線為車輛先加速0.6后再減速到0.2，即車輛先加速到18 m/s，之后再減速到6 m/s。兩種方法仿真對比結(jié)果如圖2～6所示，其中，虛線對應(yīng)的是電動汽車四輪驅(qū)動力分配過程在階梯式模型預(yù)測控制作用下的分配效果，實線對應(yīng)的是非參數(shù)化傳統(tǒng)模型預(yù)測控制作用下的分配效果。由圖2～4可知：在兩種模型預(yù)測控制作用下，汽車都能夠按照預(yù)期驅(qū)動力分配目標(biāo)實現(xiàn)加速和減速，同時車輛的質(zhì)心側(cè)偏角和偏航角速度波動范圍很小，保證車輛在加速和減速過程能夠穩(wěn)定地直線行駛。盡管兩種模型預(yù)測控制作用下的車輛狀態(tài)變化相似，但分析圖3，4可知：階梯式模型預(yù)測控制驅(qū)動力分配所得的狀態(tài)波動更小，控制效果更平穩(wěn)，有利于增加車輛的駕駛舒適度。

表1 車輛參數(shù)Table 1 The parameters of vehicle

圖2 車速對比圖Fig.2 Comparison of velocity

圖3 質(zhì)心側(cè)偏角對比圖Fig.3 Comparison of side-slip angle β

圖4 偏航角速度對比圖Fig.4 Comparison of the yaw rate

圖5 前輪轉(zhuǎn)向角對比圖Fig.5 Comparison of front wheel steering angle

圖6 四輪驅(qū)動力對比圖Fig.6 Comparison of driving force of four wheel

圖5，6為汽車驅(qū)動力分配系統(tǒng)的控制輸入曲線：圖5為方向盤輸入角變化曲線，可以看出非參數(shù)化傳統(tǒng)模型預(yù)測控制算法的控制量有明顯的波動，汽車直線行駛穩(wěn)定時存在偏差；圖6為四輪的驅(qū)動力變化對比圖，顯然，階梯式模型預(yù)測控制器的驅(qū)動力變化更平緩，從而更有利于汽車的平穩(wěn)行駛。

最后，對比兩種模型預(yù)測控制作用下汽車四輪驅(qū)動力分配控制的單步優(yōu)化平均計算時間，統(tǒng)計結(jié)果如表2所示，其中程序運行計算機平臺為便攜式計算機及處理器Inter? Core(TM) i5-2450M CPU 2.50 GHz，安裝內(nèi)存為4 GB，操作系統(tǒng)為Windows 7。從表2中可以看出：階梯式模型預(yù)測控制的平均計算時間比非參數(shù)傳統(tǒng)模型預(yù)測控制方法降低了約60%，從而大大降低了電動汽車四輪驅(qū)動力分配模型預(yù)測控制的計算時間，并且平均計算時間遠(yuǎn)小于采樣時間，滿足汽車驅(qū)動力分配快速實時控制要求。

表2 兩種方法單步優(yōu)化平均計算時間Table 2 The average computation time of two methods for single step optimization 單位：ms

4 結(jié) 論

考慮四輪輪轂電機驅(qū)動的電動汽車每個車輪獨立可控特點，設(shè)計了一種驅(qū)動力分配階梯式模型預(yù)測控制方法，實現(xiàn)了四輪驅(qū)動汽車的直線行駛穩(wěn)定控制。該算法充分考慮了汽車四輪驅(qū)動力分配過程中各種性能指標(biāo)和約束條件，預(yù)先規(guī)劃未來時刻的驅(qū)動力控制輸入，降低了模型預(yù)測控制決策變量的維數(shù)，表2驗證了該策略可以有效減少MPC在線優(yōu)化計算量，在滿足汽車驅(qū)動力分配快速控制要求的同時提高算法的快速性，與非參數(shù)化傳統(tǒng)模型預(yù)測控制算法比較結(jié)果表明筆者算法的有效性和優(yōu)點。另外，筆者的研究結(jié)果是基于理論的研究，可為接下來進(jìn)行實車研究提供理論基礎(chǔ)。