基于Markov鏈的稅延型養(yǎng)老保險跨期效用

2020-01-10 05:47劉華關(guān)雪飄

應(yīng)用數(shù)學(xué) 2020年1期

劉華,關(guān)雪飄

( 五邑大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,廣東江門529020)

1.引言

2018年5月財政部稅務(wù)總局下發(fā)了財稅[2018]22號文的通知,將上海、福建和蘇州作為稅延養(yǎng)老保險的試點以緩解社會養(yǎng)老保險收不抵支的問題.稅收優(yōu)惠型養(yǎng)老保險有多種模式,大部分在國外已經(jīng)成熟,而在我國正處于探索階段,這是因為各國國情和國民消費理念不同.

此前,國內(nèi)許多學(xué)者從各種角度對稅收優(yōu)惠型商業(yè)養(yǎng)老保險進行研究.吳祥佑等[1]從社會福利效應(yīng)的角度證明了免稅-免稅-征稅(Exempting- Exempting-Taxing,EET)模式優(yōu)于其它稅收優(yōu)惠模式.財稅[2018]22號文推出的正是這種EET政策,即商業(yè)養(yǎng)老保險的部分保費可以在個稅前抵扣而在領(lǐng)取期對部分保額收取稅費.馬寧[2]分析了前后端稅率對消費者效用的影響,并給出了消費者對前端稅率更敏感的結(jié)論.STANLEY等[3]討論了保費與消費的投資組合關(guān)系對消費和遺產(chǎn)的期望效用的影響.何立新等[4]在終身收入約束下,根據(jù)消費最大化效用函數(shù)求解家庭的最優(yōu)儲蓄率.白仲林等[5]采用新古典經(jīng)濟學(xué)生命周期推導(dǎo)出最優(yōu)消費路徑.喬偉等[6]基于“二元心理系統(tǒng)假設(shè)”構(gòu)建準雙曲線貼現(xiàn)模型討論消費者在跨時期時間偏好動態(tài)不一致下對商業(yè)養(yǎng)老保險的需求,來評價稅延型養(yǎng)老保險政策的可行性.人們是否購買養(yǎng)老保險,主要取決于購買和不購買情況下其一生的效用.而用來衡量效用的可支配收入由繳費額度和領(lǐng)取期數(shù)來決定,即取決于個體的健康狀態(tài)和壽命.個體在任意時點會轉(zhuǎn)到的健康狀態(tài)是不確定的,這里將引入Markov鏈轉(zhuǎn)移概率.李曉林[7]在復(fù)合生命狀態(tài)模型中運用Markov 鏈給出轉(zhuǎn)移概率和轉(zhuǎn)移強度之間的關(guān)系,表明了Markov鏈可以很好的模擬個體健康狀態(tài)隨機變化的特性.張連增等[8]運用Markov鏈來模擬計算多種健康狀態(tài)下的保費和準備金.因此我們在跨期效用模型基礎(chǔ)上考慮個體的健康狀態(tài)和時間,構(gòu)建基于Markov鏈健康狀態(tài)的跨期效用模型,進一步分析稅延養(yǎng)老保險對個人效用的動態(tài)影響.

2.基礎(chǔ)模型

喬偉等[6]采用準雙曲線模型下的跨期效用函數(shù)來研究個體不同時期的效用偏好.跨期雙曲線效用模型如下：

個體的效用可以用可支配收入來衡量,C0為當前時期個人的可支配收入(Disposable Personal Income,DPI),Ct表示未來時期的DPI,u(C)=lnC.計算個體一生的效用需要把各個時期的效用折現(xiàn)到當前時期,β為短期貼現(xiàn)因子,δ為長時間偏好貼現(xiàn)因子.當個體在工作前,其一生效用可以表達為：

其中X為經(jīng)濟資源,(1+b)(θ+φ)為社會養(yǎng)老保險的領(lǐng)取額,為社會養(yǎng)老保險繳費基數(shù),b為社會養(yǎng)老保險基金的投資收益率,θ為社會養(yǎng)老保險的個人繳費比率,φ為社會養(yǎng)老保險的企業(yè)繳費比率,S表示儲蓄率,r為無風(fēng)險收益率,T2為投資收益稅率.

當個體進入工作期后,偏好會隨著時間的變動而變動,其一生效用變化為：

3.Markov鏈跨期效用模型

本文主要對個體處于工作期和退休期的效用進行分析,將跨期效用模型考慮時間以及健康、失能、死亡概率等影響因素.把個體每一期的DPI折現(xiàn)到當期的0時刻來計算其當期的效用,從而比較兩種情況下的效用.那么個體一生的效用可表示為：

C1t表示工作期t時刻的可支配效用,C2t表示由工作期t時刻健康狀態(tài)決定的退休期的DPI.在基礎(chǔ)模型中,假定了DPI為常數(shù).但實際上個體的身體狀況會影響個體在工作期的薪資及儲蓄偏好從而影響其效用.在新的模型中,我們區(qū)分了個體在不同健康狀態(tài)下的DPI,來分析健康狀態(tài)對各期效用的影響.另外生存時間由個體健康狀態(tài)決定,因而也會影響DPI.

Ⅰ不購買稅延養(yǎng)老保險情形下的效用模型

為簡便,本文假設(shè)個體的儲蓄不進行投資,即r=0.在工作期的任意時點,若個體處于健康狀態(tài),則其在該時點的DPI有Wd(1?S)=()(1?T1)(1?S),W為個體健康時的工資.若個體到達失能狀態(tài),其薪資和社保繳費基數(shù)都降低為原來的α倍,此時DPI 變?yōu)棣罻d(1?S)=α()(1?T1)(1?S).若個體在工作期某時刻死亡,則其不會進行儲蓄,DPI上升為Wd=()(1?T1).那么,個體在工作期某個時點的期望DPI可表示為：

h+為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率,表示個體在x歲時處于i狀態(tài),在x+t+h歲轉(zhuǎn)到j(luò)狀態(tài)的概率.1為健康狀態(tài),2為失能狀態(tài),3為死亡狀態(tài),個體的健康與失能狀態(tài)是常返狀態(tài),而死亡狀態(tài)是吸收狀態(tài).

一般而言,個體退休時的DPI主要依賴于社會養(yǎng)老保險金和工作期的儲蓄,因此個體在工作期的DPI直接影響退休后的DPI.[9]根據(jù)個人養(yǎng)老金計算方法,退休后仍然生存的個體,每個月可領(lǐng)到的基礎(chǔ)養(yǎng)老金為可消費的工作期儲蓄總和為那么個體在退休后的期望DPI可表示為：

B=12,k為養(yǎng)老金領(lǐng)取比例.從而個體一生的效用為：

對效用U求關(guān)于儲蓄率S的導(dǎo)數(shù),計算得

此時個體的一生效用U取得最大值.從上式可以看出,儲蓄率S隨退休后的生存時間s的變化而變化,各期的可支配收入也隨生存時間s的變化而變化.將式(3.5)代入式(3.4)得：

Ⅱ購買稅延養(yǎng)老保險情形下的效用模型

據(jù)財稅[2018]22號文指示,商業(yè)養(yǎng)老保險的保費可在稅前抵扣,最高可抵扣1000元與6%月工資收入的最小者,即min(1000,6%W).采用平均工資來對比,有min(1000,6%W)=6%W.那么工作期處于健康狀態(tài)的個體其DPI為[(6%W)T1](1?S?),S?為購買稅延情形下個體的儲蓄率.而處于失能狀態(tài)的個體,工資下降為αW,此時應(yīng)繳稅費α(6%W)T1.另一方面,個體會因收入減少而降低商業(yè)養(yǎng)老保險的保額,對應(yīng)保費降低為α·P,此時其DPI變?yōu)閇α()?α(6%W)T1](1?S?).在工作期到達死亡狀態(tài)的個體不會進行儲蓄和購買商業(yè)養(yǎng)老保險,其DPI仍然為()(1?T1).這時,個體在工作期任意時點的期望DPI為：

同樣地,個體領(lǐng)取的養(yǎng)老金與繳費基數(shù)有關(guān).個體退休后的社會養(yǎng)老金不變,工作期的儲蓄變?yōu)槎愌羽B(yǎng)老保險金按領(lǐng)取額的75%扣稅,所以個體每月可領(lǐng)到的商業(yè)養(yǎng)老金為這里D=(1+b1)(1?75%T2)P,b1為商業(yè)養(yǎng)老保險基金的投資收益率,T2為稅延型商業(yè)養(yǎng)老保險領(lǐng)取時的稅率.

綜上,個體退休時的期望可支配收入為：

結(jié)合式(3.7)和(3.8),購買稅延型商業(yè)養(yǎng)老保險的個體的一生效用為：

對U?求關(guān)于儲蓄率S?的導(dǎo)數(shù),得：

把儲蓄率代入(3.9)式,得：

綜上,與不購買商業(yè)養(yǎng)老保險對比,購買稅延養(yǎng)老保險后,工作期每時刻的健康狀態(tài)對每個階段的可支配收入的差額影響為：

這個結(jié)果隨著每時刻健康狀態(tài)的變化而變化,且受生存時長的影響.當差額大于0時,說明此時個體購買稅延型商業(yè)養(yǎng)老保險后的跨期效用會大于不購買的情形,從而促進國民對商業(yè)養(yǎng)老保險的消費,以緩解社會養(yǎng)老保險收不抵支的壓力.

4.數(shù)值實驗

為了使基于Markov鏈的跨期效用模型能夠直觀地判斷稅延型商業(yè)養(yǎng)老保險對個體效用的影響,下文將采用具體的數(shù)值進行模擬實驗.對于基礎(chǔ)模型中原有的參數(shù),我們參照文[6]的假設(shè)：

1)個體參工年齡為25歲,退休年齡為55歲.我們以30歲的個體為研究對象,即x=30;

2)長期時間偏好因子δ=0.958,短期時間偏好因子β=0.703;

3)社會養(yǎng)老保險的投資收益率b=2.48%,商業(yè)養(yǎng)老保險的投資收益率b1=4.515%,貼現(xiàn)率V=1/(1+r)=1/(1+2.837%);

4)社會養(yǎng)老保險個人繳費率θ=8%;

5)商業(yè)養(yǎng)老保險的繳費率γ=11.66%,P=γ();

6)個人所得稅率為T1=3%.

其它新模型中新增加的和更新的參數(shù)如下：

1)2016年城鎮(zhèn)單位人員年平均工資為67569元.①數(shù)據(jù)來源：《中國統(tǒng)計年鑒2017》2012-2016年年平均工資增長率在10%左右,根據(jù)這個增長率推算出2018年城鎮(zhèn)單位人員年平均工資為81758元,相應(yīng)的月平均工資為W=81758/12≈6813元;

2)基礎(chǔ)養(yǎng)老金領(lǐng)取比例k=1%;

3)失能后個體的薪資會下降,若是永久失能則其下降幅度是最大的,若是短暫性失能則其下降幅度較小,這里假定下降幅度為30%,即α=0.7;

4)社會養(yǎng)老保險的繳費基數(shù)取值范圍為6%-300%的月工資收入,這里取=W;

5)財稅[2018]22號文指定,個人領(lǐng)取商業(yè)養(yǎng)老保險金時需要對養(yǎng)老金的75%納稅,稅率為T2=10%.

Ⅰ不購買稅延養(yǎng)老保險時的效用

把上述參數(shù)代入(3.6)式,得到效用：

由上式可看出,只要求出每個時期每種狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率就可以求出效用U.在前面我們已經(jīng)介紹過是Markov鏈轉(zhuǎn)移概率,由于模型中出現(xiàn)的收入與支出是每月出現(xiàn)一次的,因此我們?nèi)〔介Lh=1/12.借助Kolmogorov向前方程和Euler方法,我們可以求得各個狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率:[10]

這里,概率轉(zhuǎn)移強度滿足如下條件：

1)=4×10?4+3.4674×10?6e0.138155x;

2)=5×10?4+7.5858×10?5e0.087498x;

3)=0.1;

4)=.

當t=0時,=1、=0、=0,應(yīng)用Matlab軟件計算出每個時刻各個狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率如表4.1所示:

表4.1 個體在工作期各時刻對應(yīng)的健康狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

由表4.1可以看到,工作期隨著時間的增加,個體向失能狀態(tài)和死亡狀態(tài)轉(zhuǎn)移的可能性增加,從而使得工資下降或不進行儲蓄的可能性增加.

在退休期,只要生存就可以領(lǐng)取養(yǎng)老金和花費工作期的儲蓄,因此在退休期我們只需要考慮生存和死亡兩狀態(tài)的Markov鏈,即模型中只需要計算出55歲的人在55+s歲時仍然生存的概率：

前面已證明個體的效用隨著退休后的生存時間s的變化而變化,為簡便我們只計算到80周歲,也即領(lǐng)取期為25年.求出各時刻的sp55,在表4.2中給出：

表4.2 個體在退休期每個時刻對應(yīng)的生存概率

通過簡單的計算,不購買稅延型養(yǎng)老保險情況下個體一生效用總和最大為22.89997.

Ⅱ購買稅延養(yǎng)老保險時的效用

將參數(shù)代入(3.11)式得到30歲個體購買稅延養(yǎng)老保險時的最大效用：

Ⅲ兩種情形下的效用對比

個體的當期效用主要由當期的可支配收入來衡量,根據(jù)式(3.12)求得工作期每時刻的健康狀態(tài)對兩個時期的可支配收入的影響差額為使用Matlab畫出生存時長和健康狀態(tài)對兩種情形下的可支配收入差額影響的函數(shù)圖像如下：

圖4.1 生存時長和健康狀態(tài)變化對兩種情形的DPI差額的影響

首先,從圖4.1中可以看到,兩種情形下每時期的可支配收入差額對退休后的生存時長s較敏感,退休后的生存時間越長可支配收入差額越大.這是因為個體生存時間越長,領(lǐng)取期數(shù)就越多,購買稅延型養(yǎng)老保險的個體可以得到更多的商業(yè)養(yǎng)老金；其次,對于工作期任意時刻t來說,個體越接近退休時刻,購買與不購買稅延養(yǎng)老保險的可支配收入差額越小.從表4.1可以看到個體在工作期越接近退休時刻,其健康狀態(tài)越惡劣,由健康狀態(tài)轉(zhuǎn)到失能狀態(tài)的概率會變大,薪資下降從而降低各類繳費基數(shù),同時也降低了稅延養(yǎng)老保險的繳費和享領(lǐng)金,因此個體接近退休時刻會減小兩種情形的可支配收入差額; 最后,從上圖中可以看到只要個體在退休后至少存活1個月,即s ≥1/12,都有而《2015年世界衛(wèi)生統(tǒng)計報告》指出,中國人口平均壽命為75歲,可證明購買稅延型養(yǎng)老保險的個體無論在工作期還是退休期都有更多的可支配收入,他們終身效用更高.

5.總結(jié)

本文在跨期效用模型的基礎(chǔ)上,加入健康狀態(tài)和時間因素,通過構(gòu)造基于Markov鏈跨期效用模型來更加準確地評價稅延養(yǎng)老保險施行的效果.從工作期與退休期總的效用來看,個體購買稅延型養(yǎng)老保險要比不購買時得到更多的效用.從各期的可支配收入來看,一方面,個體的生存時間越長,購買稅延型養(yǎng)老保險會使個體獲得更多的可支配收入,且隨著時間的增加,可支配收入的差額會加大.另一方面,個體健康狀態(tài)惡化會減少個體總體的可支配收入,從而降低稅延養(yǎng)老保險帶來的效用.