江西省鷹潭市第一中學(xué) (335000) 黃鶴飛

化歸法就是將待解決的問題和未解決的問題，采取某種策略，轉(zhuǎn)化歸結(jié)為一個已經(jīng)解決的問題；或歸結(jié)為一個熟知的具有確定解決方法和程序的問題；或歸結(jié)為一個比較容易解決的問題，最終求得原問題的解.本文例舉其在解決函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題中的運用.

例1 已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2(a∈R).

(1)討論y=f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個不同零點x1，x2，證明：x1x2>e．

評注:本題(2)主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究零點及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，求解中采用了換元法、等價變換法進行化歸轉(zhuǎn)換法.

例2 已知函數(shù)f(x)=x2(6lnx-4x+6a-3)有兩個極值點.

(1)求a的取值范圍；

解：(1)由f(x)=x2(6lnx-4x+6a-3)，得f′(x)=12x(lnx-x+a).函數(shù)f(x)有兩個極值點等價于f′(x)=0在(0,+∞)上有兩個零點，等價于lnx-x+a=0在(0,+∞)上有兩個零點.

當a≤1時，g(x)max≤0恒成立，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，不可能有兩個極值點，舍去；

當a>1時，e-a∈(0,1),ea∈(1,+∞),g(e-a)=-e-a<0,g(ea)=2a-ea<0，而g(1)>0，由零點存在性定理得g(x)在(0,1)和(1,+∞)內(nèi)分別存在一個零點，此時f(x)有兩個極值點.綜上，所求a的取值范圍為(1,+∞).

評注:本題為導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用問題,主要考查到利用函數(shù)極值求參數(shù)范圍及利用極值點證明不等式問題，其求解中重點考查到化歸方法的應(yīng)用.

(1)若函數(shù)f(x)有零點，求實數(shù)a的取值范圍；

評注:本題除考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的恒成立問題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題，并考查了利用函數(shù)的極值求參數(shù)范圍，采用換元構(gòu)造法構(gòu)造新函數(shù)研究恒成立等問題，其求解過程中重點是運用了化歸法,將問題不斷朝求解方向轉(zhuǎn)化.