王大為，王召巴，李 鵬，陳友興，李海洋

(1.中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，山西 太原 030051; 2.山西師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院，山西 臨汾 041000;3.西安近代化學(xué)研究所，陜西 西安 710065)

0 引 言

變分模態(tài)分解[1]（variational mode decomposition，VMD）是Dragomiretskiy于2014年提出的一種信號(hào)處理理論，該方法認(rèn)為任意信號(hào)都可分解為一系列帶寬有限的模態(tài)函數(shù)的線性組合，將信號(hào)處理問題轉(zhuǎn)化為變分模型求解問題，通過迭代搜索變分模型的極值確定每個(gè)模態(tài)的中心頻率和帶寬，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)原信號(hào)的分解。變分模態(tài)分解因其有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)，克服了經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解[2]（empirical mode decomposition，EMD）缺乏理論支撐、出現(xiàn)模態(tài)混疊和端點(diǎn)效應(yīng)等不足，一經(jīng)提出就引起了國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注，已在生物組織健康診斷[3-4]、信號(hào)增強(qiáng)和辨識(shí)[5-6]、軸承故障診斷[7-8]等領(lǐng)域進(jìn)行了試驗(yàn)性研究和成功的應(yīng)用。超聲檢測(cè)是目前國內(nèi)外使用頻率最高且發(fā)展較快的一種無損檢測(cè)技術(shù)，在工業(yè)生產(chǎn)等實(shí)踐中得到了廣泛應(yīng)用[9-10]。信號(hào)降噪與特征提取是超聲檢測(cè)數(shù)據(jù)處理的關(guān)鍵技術(shù)，同時(shí)也是超聲無損檢測(cè)的核心環(huán)節(jié)，其性能優(yōu)劣直接影響著無損檢測(cè)結(jié)果的表征，因此對(duì)其進(jìn)行研究有重要的學(xué)術(shù)意義和實(shí)用價(jià)值[11]。

本文將變分模態(tài)分解方法引入到超聲檢測(cè)信號(hào)處理中，針對(duì)變分模態(tài)分解可以將待處理信號(hào)分解為一系列有限帶寬的模態(tài)函數(shù)這一特征，利用變分模態(tài)分解原理對(duì)超聲檢測(cè)信號(hào)和噪聲分解得到的各模態(tài)頻域特性的差異，即超聲信號(hào)被分解為信號(hào)頻帶內(nèi)一系列窄帶信號(hào)，而高斯噪聲被分解到[-π,π]整個(gè)頻帶內(nèi)的一系列寬帶信號(hào)，以此為依據(jù)提出了基于變分模態(tài)分解的超聲信號(hào)降噪方法。該方法通過變分模態(tài)分解，計(jì)算各模態(tài)帶寬和中心頻率，選擇信號(hào)模態(tài)，由信號(hào)模態(tài)重構(gòu)無噪信號(hào)4步實(shí)現(xiàn)對(duì)超聲信號(hào)的降噪。此外，為提高超聲仿真信號(hào)和實(shí)測(cè)超聲信號(hào)的匹配度，本文提出了一種改進(jìn)的高斯超聲信號(hào)模型。

1 變分模態(tài)分解原理

變分模態(tài)分解以每個(gè)本征模態(tài)函數(shù)是其中心頻率附近的窄帶信號(hào)為準(zhǔn)則構(gòu)造變分模型，通過交替方向乘子算法（alternate direction method of multipliers,ADMM）[12]在其頻域進(jìn)行迭代求解，進(jìn)而將輸入信號(hào)分解為一組本征模態(tài)函數(shù)的線性組合。

1.1 變分模型構(gòu)造

在變分模型中本征模態(tài)函數(shù)（intrinsic mode functions，IMF）定義為調(diào)幅-調(diào)頻信號(hào)，其表達(dá)式為：

其中瞬時(shí)幅值A(chǔ)k(t)為非負(fù)函數(shù)，相位?k(t)為單調(diào)非減函數(shù)。

瞬時(shí)頻率為：

瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值相對(duì)于相位應(yīng)是緩慢變化的，即在足夠長(zhǎng)的時(shí)間間隔[t-δ,t+δ]（δ≈2π/ωk(t)）上，本征模態(tài)函數(shù)可以看作幅值為Ak(t)，頻率為ωk(t)的余弦波。

變分模態(tài)分解的目標(biāo)是將輸入的實(shí)信號(hào)f分解為一組本征模態(tài)函數(shù)uk(t)的線性組合。分解過程中要求本征模態(tài)函數(shù)能表征原信號(hào)的同時(shí)應(yīng)具備足夠的稀疏性。通過以下3步來構(gòu)造變分模型：

1）為得到信號(hào)的單邊頻譜，對(duì)每個(gè)模式uk(t)進(jìn)行希爾伯特變換并求其對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)：

2）估計(jì)每個(gè)模式的中心頻率ωk(t)，然后通過混頻將其解調(diào)到基帶：

3）利用H1高斯平滑度估計(jì)解調(diào)信號(hào)的帶寬[1]。

因此，基于以上3點(diǎn)可得IMF的變分約束模型為：

1.2 變分模型求解

為求解上述約束變分模型，通過引入二次懲罰項(xiàng)和拉格朗日乘子使構(gòu)造的約束變分模型變?yōu)闊o約束變分模型。

通過交替方向乘子算法在頻域求解該方程[1]，其主要步驟如下：

輸出：分解得到的K個(gè)模式。

2） 令n=n+1，并根據(jù)下式分別更新每個(gè)模式及其中心頻率，其中k=1，2，???，K。

4）根據(jù)下式判斷是否滿足收斂條件，如果收斂則輸出分解得到的K個(gè)模式，否則返回步驟2）繼續(xù)迭代分解：

以上就是變分模態(tài)分解的基本過程。需要特別說明的是上述過程是在頻域進(jìn)行求解，其中=FT(x(t))表示對(duì)x(t)做傅里葉變換。

2 VMD在超聲信號(hào)降噪中的應(yīng)用

2.1 超聲信號(hào)模型

在超聲脈沖回波檢測(cè)中超聲回波信號(hào)通常是一個(gè)被超聲探頭中心頻率調(diào)制的寬帶信號(hào)[13]，其表達(dá)式為

其中A為反射回波幅度；T為帶寬因子；τ為回波到達(dá)時(shí)間；fc為發(fā)射超聲脈沖的中心頻率；φ為初相位。

該模型一經(jīng)提出就得到廣泛應(yīng)用，其在超聲信號(hào)數(shù)值分析和仿真方面有著重要作用[14-15]。但是該模型存在兩點(diǎn)不足之處：1）根據(jù)參數(shù)的物理意義，在t＞τ的范圍內(nèi)該模型才有波形，而在t＜τ范圍內(nèi)該模型無波形或波形無意義；2）該模型僅能模擬時(shí)域半邊帶的高斯包絡(luò)，這與實(shí)測(cè)中的超聲信號(hào)有很大差別。為提高在信號(hào)起始時(shí)刻仿真超聲信號(hào)和實(shí)測(cè)超聲信號(hào)的相似度，本文提出一種改進(jìn)的超聲信號(hào)模型，其表達(dá)式為：

其中，a為包絡(luò)函數(shù)B(t)的起點(diǎn)，U(t)為單位階躍函數(shù)，δ(t)為Dirac函數(shù)，*表示卷積運(yùn)算，其他參數(shù)物理意義同式（11）。

2.2 VMD降噪原理

由于超聲信號(hào)具有特定的結(jié)構(gòu)，而高斯噪聲沒有固定的結(jié)構(gòu)；表現(xiàn)在頻域超聲信號(hào)是一有限帶寬信號(hào)，而高斯噪聲對(duì)應(yīng)的頻譜分布在數(shù)字頻率ω∈[-π,π]整個(gè)頻帶內(nèi)。如圖1和圖2所示分別為采用VMD對(duì)超聲信號(hào)和高斯噪聲進(jìn)行6層分解得到的頻譜圖。

圖1 無噪信號(hào)VMD分解譜

圖2 噪聲VMD分解譜圖

圖1中s為無噪超聲信號(hào)的頻譜圖，u1~u6分別為VMD分解后的6個(gè)模態(tài)的頻譜圖，從圖中可以看出VMD將原信號(hào)s的頻譜在頻域內(nèi)分解為6個(gè)中心頻率不同的窄帶信號(hào)，每個(gè)模態(tài)對(duì)應(yīng)于原始信號(hào)s頻譜的一部分。

圖2中n為噪聲的頻譜圖，u1~u6為對(duì)噪聲進(jìn)行VMD分解后得到的各模態(tài)的頻譜圖。從圖中可以看出VMD將噪聲分解為頻帶內(nèi)不同中心頻率的寬帶信號(hào)。對(duì)比圖1和圖2可得出結(jié)論：對(duì)于K層VMD，信號(hào)和噪聲都被等間隔地分解為各自頻帶內(nèi)K個(gè)模式。由于超聲信號(hào)帶寬相比于高斯噪聲帶寬較窄，對(duì)于相同的分解層數(shù)K，VMD分解后噪聲模態(tài)對(duì)應(yīng)的帶寬遠(yuǎn)大于信號(hào)模態(tài)的帶寬。根據(jù)這一原則可在頻域分辨超聲信號(hào)模式和噪聲模式，基于VMD的超聲信號(hào)降噪方法具體步驟如下：

1）初始化，設(shè)定待分解層數(shù)K。

2）對(duì)給定的含噪超聲信號(hào)s(t)，求其傅里葉變換，并令=FT(s(t))，根據(jù)1.2中變分模態(tài)分解過程對(duì)其進(jìn)行VMD分解。

3） 計(jì)算每個(gè)模式的帶寬和中心頻率，依據(jù)信號(hào)對(duì)應(yīng)窄帶模式，噪聲對(duì)應(yīng)寬帶模式原則，對(duì)分解后的模式進(jìn)行分類，選擇具有窄帶特性的模式。

4） 根據(jù)選擇的窄帶模式重構(gòu)超聲信號(hào)。

3 實(shí)驗(yàn)與仿真分析

當(dāng)前廣泛用于信號(hào)降噪結(jié)果評(píng)價(jià)的指標(biāo)有均方誤差MSE、波形相似系數(shù)NCC和重構(gòu)信噪比ESNR[16]。均方誤差越小，重構(gòu)信噪比越大，波形相似系數(shù)越接近于1表明降噪效果越好。

3.1 超聲信號(hào)模型

當(dāng)本文提出的超聲信號(hào)模型參數(shù)[A,T,fc,φ]=[0.8, 100, 0.1, 0]時(shí)，參數(shù)a取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的超聲仿真信號(hào)如圖3所示。

圖3 超聲仿真信號(hào)

當(dāng)a=0時(shí)，本文提出的超聲信號(hào)模型退化為高斯超聲信號(hào)模型。對(duì)比圖3中各波形可以看出，改進(jìn)的超聲信號(hào)模型相比高斯模型包含的超聲信號(hào)包絡(luò)信息更豐富，隨參數(shù)a變化可以模擬起始時(shí)刻不同包絡(luò)的超聲信號(hào)；而高斯模型起始時(shí)刻包絡(luò)是固定不變的。因此，改進(jìn)的超聲信號(hào)模型是高斯模型的拓展，比高斯模型包含的包絡(luò)信息更豐富。

3.2 不同模型比較

為驗(yàn)證本文提出的超聲信號(hào)模型性能，將本文模型、指數(shù)模型[15]分別和在實(shí)驗(yàn)室中用RITEC RAM-5000-SNAP超聲檢測(cè)系統(tǒng)采集的超聲回波信號(hào)[16]進(jìn)行匹配，其結(jié)果如圖4所示。經(jīng)計(jì)算，指數(shù)模型和實(shí)測(cè)超聲信號(hào)的均方誤差為0.022 3，波形相似度為0.916 0；本文改進(jìn)的高斯模型和實(shí)測(cè)超聲信號(hào)的均方誤差為0.008 3，波形相似度為0.973 3。因此，無論直觀對(duì)比效果還是客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)，本文提出的超聲信號(hào)模型都優(yōu)于指數(shù)信號(hào)模型。

圖4 不同模型效果對(duì)比

3.3 降噪性能分析

當(dāng)K=5時(shí)，對(duì)含噪超聲信號(hào)（SNR=10 dB）進(jìn)行VMD分解后得到的各模態(tài)頻譜圖，如圖5所示。

圖5 含噪信號(hào)分解頻譜

從圖中可以看出，u1~u3模式的頻譜帶寬窄且幅值大，由前述分析知這是信號(hào)模式的典型特征；而u4、u5中頻譜帶寬較寬且幅值相對(duì)小，為噪聲模式的特征；由u1~u3模式對(duì)應(yīng)的信號(hào)在時(shí)域相加后得到的重構(gòu)超聲信號(hào)如圖6所示。

經(jīng)計(jì)算，相比原始無噪超聲信號(hào)，降噪后信號(hào)的均方誤差MSE=0.000 7，波形相似系數(shù)NCC=0.994 0，重構(gòu)信噪比ESNR=19.237 4 dB。

圖6 降噪效果對(duì)比

3.4 不同方法性能比較

為驗(yàn)證本文方法的降噪性能，分別采用本文提出的VMD降噪方法、小波降噪方法及EMD降噪方法對(duì)圖7（a）中無噪超聲信號(hào)加入噪聲后進(jìn)行降噪處理，當(dāng)信噪比為0 dB時(shí)降噪結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同方法比較

不同方法對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)如表1所示。

表1 降噪效果評(píng)價(jià)指標(biāo)

由圖7和表1知，在對(duì)如圖7(a)中所示的超聲檢測(cè)信號(hào)進(jìn)行降噪處理時(shí)，本文提出的方法效果要好于小波方法和EMD方法。

4 結(jié)束語

本文將變分模態(tài)分解理論應(yīng)用到超聲信號(hào)處理中，提出了一種基于變分模態(tài)分解的超聲信號(hào)降噪方法。通過變分模態(tài)分解，計(jì)算各模態(tài)帶寬和中心頻率，選擇信號(hào)模態(tài)，根據(jù)信號(hào)模態(tài)重構(gòu)無噪信號(hào)4步實(shí)現(xiàn)對(duì)超聲檢測(cè)信號(hào)的降噪。此外，為提高超聲仿真信號(hào)和實(shí)測(cè)超聲信號(hào)的匹配度還提出了一種改進(jìn)的超聲信號(hào)仿真模型，相比指數(shù)模型和高斯模型，本文提出的仿真模型與實(shí)測(cè)超聲信號(hào)更匹配。