張 瑜，張國芳

1983年，MASHHOUR［1]去掉了拓?fù)淇臻g定義中的有限交條件，給出了超拓?fù)淇臻g的定義，即X上的τ的冪集2X的一個(gè)子集族τ，如果滿足：①φ,X在τ中.②τ中元素的任意并仍然在τ中，則稱(X,τ)為超拓?fù)淇臻g.τ中的任意一個(gè)元素都稱為超拓?fù)淇臻g(X,τ)的超開集.若A是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集，點(diǎn)x∈A，如果存在超開集U，使得x∈U?A，則稱A是x的一個(gè)超鄰域.2008年，JASSIM［2]提出了超緊空間的定義，討論了超緊空間的相應(yīng)性質(zhì)并且指出了超緊空間與拓?fù)淇臻g的區(qū)別與聯(lián)系，探究了超緊空間的子空間的性質(zhì)，證明了超緊空間在S?連續(xù)映射下的像是超緊的，兩個(gè)超緊空間的乘積仍然為超緊空間.2016年，AL-SHAMI［3]中給出了超極限點(diǎn)定義，即若(X,τ)是一個(gè)超拓?fù)淇臻g并研究了超極限點(diǎn)和超邊界點(diǎn)的性質(zhì)，介紹了超閉包算子，超lindel?f，幾乎超緊（幾乎超lindel?f）和弱超緊（弱超lindel?f）性質(zhì)等相關(guān)概念，指出了它們 之 間 的關(guān)系.2016年，ABO-ELHAMAYEL 和AL-SHAMI［4]給出了超開集中特殊的一類——超α開集，并且詳盡地闡明了超R-開集和超α開集的關(guān)系，探究了超α開集在超連續(xù)映射、超開映射、超同胚映射下的性質(zhì)，討論了超R-開集在超R-分離公理上的應(yīng)用.

本文所有空間均為超拓?fù)淇臻g，其他未給出的定義見文獻(xiàn)［3].

1 預(yù)備知識

定義1［3]如果一個(gè)集族{Gi：i∈I}的任意有限子集族{Gi1,Gi2,…,Gin} 有一個(gè)非空的交集，則稱這個(gè)集族具有有限交條件.

定義2［5]一個(gè)超拓?fù)淇臻g(X,τ)，對于X的任意超開覆蓋均有一個(gè)可數(shù)的超子覆蓋稱為超lindel?f空間，也稱X具有l(wèi)indel?f性質(zhì).

定義3［6]如果對于X中的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)x和y，存在兩個(gè)不相交的超開集U和V，使得x∈U,y∈V.如果X是一個(gè)超T2空間，且X的任意可數(shù)超開覆蓋均有一個(gè)有限超子覆蓋，則稱X為超可數(shù)緊空間.

定義4［7]一個(gè)超拓?fù)淇臻g( )X,μ，若對于X的任意超開覆蓋均有一個(gè)有限的超子覆蓋，則稱它為超緊空間.

定義5［7]超 拓 撲 空 間X的 一 個(gè) 子 集 族如果對于任意點(diǎn)x∈X，存在X的一個(gè)超開鄰域U，使得集合{s∈S：U?As≠φ}是有限的，則稱它為超局部有限族.

2 主要結(jié)果

定理1 超可數(shù)緊的超閉子空間為超可數(shù)緊空間.

證明 令X為超可數(shù)緊空間，F(xiàn)為X的超閉子集，任取一個(gè)F的超可數(shù)開覆蓋τ=由超子空間的定義可知任意 的Vi∈τ，存 在X中 超 開 集Ui使 得Ui=Vi?F，則就構(gòu)成了覆蓋F的X的超開集族，故就構(gòu)成了X的超可數(shù)子覆蓋，由于X為超可數(shù)緊的，所以存在的一個(gè)有限子族覆蓋了X中的超閉集F，令其中j=1,2,…,n，則就構(gòu)成了τ的一個(gè)有限子覆蓋.

定理2 設(shè)X是超T2空間，以下條件等價(jià)：

（1）X是一個(gè)超可數(shù)緊空間；

（2）X的具有有限交條件的任意可數(shù)超閉子集族有非空的交；

（3）對于X的任意非空超閉子集的遞減序列有

定理3 若X為超T2空間，則以下條件等價(jià)：

（1）X為超可數(shù)緊空間；

（2）由X的非空子集構(gòu)成的超局部有限族是有限的；

（3）由X的單點(diǎn)子集構(gòu)成的任意超局部有限族是有限的；

（4）X的任意無限子集有一個(gè)超極限點(diǎn)；

（5）X的任意可數(shù)無限子集有一個(gè)超極限點(diǎn).

證明（1）?（2）：假設(shè)（2）不成立.因此存在一個(gè)由X的非空子集構(gòu)成的超局部有限族其中令由定理2 可得非空超閉集F1,F2,F3,…，形成一個(gè)遞減序列并且因此空間X不是超可數(shù)緊空間.

（2）?（3）：證明是顯然的.因?yàn)閱吸c(diǎn)子集一定是非空子集.

（3）?（4）和（4）?（5）也是顯然的.

下證（5）?（1）：假設(shè)（1）不成立，由定理2，存在X的非空閉子集的一個(gè)遞減序列F1?F2?…，使 得對于i=1,2,3,…，選 擇 一 個(gè) 點(diǎn)xi∈Fi，則 集 合A=是無限的，否則A中某點(diǎn)屬于無限多下面證明Ad=φ，即（5）不成立.實(shí)際上，對于任意的x∈X，存在一個(gè)i使 得x?Fi. 因 此 集 合U=( )

XFi個(gè)Fi將會有是x的一個(gè)超開鄰域且滿足U?A?{ }x.

例1 存在一個(gè)非超緊的超可數(shù)緊空間.

定理4 一個(gè)超T2空間X為超緊空間當(dāng)且僅當(dāng)X具有超lindel?f性質(zhì)的超可數(shù)緊空間.

證明 必要性是顯然的.

定理5 兩個(gè)超可數(shù)緊空間的并是超可數(shù)緊的.

推論1 超可數(shù)空間的有限并仍為超可數(shù)空間.

定理6 設(shè)X為超可數(shù)緊空間，Y是超T2空間.f為X到Y(jié)上的S?連續(xù)滿射，則Y亦為超可數(shù)緊空間.

3 結(jié)論

本文利用拓?fù)淇臻g上可數(shù)緊空間的相關(guān)性質(zhì)和超空間上超緊空間的若干性質(zhì)，定義了超可數(shù)緊空間的基本概念，研究了超拓?fù)淇臻g上超可數(shù)緊的覆蓋性質(zhì)和映射性質(zhì).豐富了超拓?fù)淇臻g的內(nèi)容，對其它特殊的超拓?fù)淇臻g產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響.