■江蘇省口岸中學(xué) 楊 翠

運用命題間相互關(guān)系及命題的否定形式解題是常用邏輯用語這一部分的重點題型，它能涉及不等式、方程、函數(shù)等許多方面的知識。而在闡述充分與必要條件這些內(nèi)容的問題時，最容易出錯、最難把握與確定的是判斷兩個命題之間的相互關(guān)系，即充分與必要條件。在此，我們針對簡易邏輯問題總結(jié)、分析了經(jīng)常困擾同學(xué)們的七類典型錯誤，以幫助同學(xué)們認(rèn)識，并掌握解答它們的正確方法與過程。以期達到以悟治誤的目的。

一、不能正確認(rèn)識方程與根的關(guān)系導(dǎo)致命題錯誤

例1判斷命題“方程x2-3x+2=0的根是x=1”的真假。

錯解：真命題。

錯因分析：命題“x=1是方程x2-3x+2=0的根”與命題“方程x2-3x+2=0的根是x=1”是兩個不同的命題，前者為真命題，后者為假命題。

正解：假命題。因為方程x2-3x+2=0的根是x=1 或x=2，而不是只有一個根x=1。

二、不理解否命題及否命題與其他命題的關(guān)系導(dǎo)致錯誤

例2寫出命題“若x2+y2=0，則x=0且y=0”的否命題，并判斷真假。

錯解1：否命題：若x2+y2≠0，則x ≠0且y≠0。

錯因分析：且的否定為或，x=0且y=0的否定為x≠0或y≠0。

錯解2：原命題為真，所以否命題為假。

錯因分析：原命題與否命題的真假沒有關(guān)系。

正解：否命題：若x2+y2≠0，則x≠0或y≠0，所以否命題是真命題。

三、不能正確區(qū)分前提條件與命題條件導(dǎo)致表述命題錯誤

例3將下面的命題寫成“如果p，則q”的形式：當(dāng)a＞0時，函數(shù)y=ax+b 的值隨x 的增大而增大。

錯解：“如果p，則q”的形式為：如果a＞0，則函數(shù)y=ax+b的值隨x 的增加而增加。

錯因分析：原命題有兩個條件：a＞0 和x 增加，其中a＞0是大前提，x 增加是條件。

正解：“如果p，則q”的形式為：當(dāng)a＞0時，如果x 的值增大，則函數(shù)y=ax+b的值也增大。

四、對含有一個量詞的命題否定不完全致誤

例4已知命題p：存在一個實數(shù)x0，使得-2＜0，寫出?p。

錯解一：?p：存在一個實數(shù)x0，使得x0-2≥0。

錯解二：?p：對任意的實數(shù)x，都有x2-x-2＜0。

錯因分析：寫含有一個量詞的命題的否定，首先要明確這個命題是全稱命題還是特稱命題，并找出其量詞的位置及相應(yīng)結(jié)論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞，同時否定結(jié)論。

正解：?p：對任意的實數(shù)x，都有x2-x-2≥0。

五、對命題的否定形式認(rèn)識錯誤導(dǎo)致誤判命題間的相互關(guān)系

例5已知命題p：|5x-2|＞3，命題q：，那么?p 是?q 的什么條件?并寫出解答過程。

錯解：許多同學(xué)認(rèn)為?p 與?q 分別是

于是?p 既不是?q 的充分條件也不是?q 的必要條件。

錯因分析：錯誤的根源在于當(dāng)p 與q 是不等式時，對?p 與?q 的形式在認(rèn)識上存在錯誤。實際上?p 與?q 是對不等式|5x-2|＞3與解集的否定。正確的解答應(yīng)該是先把這兩個不等式的解求出，對其解集進行否定。

正解：由不等式|5x-2|＞3，可得

六、不能正確認(rèn)識參數(shù)范圍與命題間的真假關(guān)系導(dǎo)致求參數(shù)取值范圍出錯

例6已知p：方程x2+mx+1=0有兩個不等的負(fù)根；q：方程4x2+4(m-2)x+1=0無實根。若“p 或q 為真，p 且q 為假”，求m 的取值范圍。

錯解：若方程x2+mx+1=0 有兩個不等的負(fù)根，則有解得m ＞2，即p：m＞2。

若方程4x2+4(m-2)x+1=0無實根，則有Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3。

故m 的取值范圍是2＜m＜3。

錯因分析：以上所解得m 的范圍m ＞2與1＜m ＜3，是將實數(shù)集分成了四個部分。不少學(xué)生對每一部分的含義不清晰。誤把m＞2與1＜m＜3的公共部分2＜m＜3，當(dāng)成所求m 的取值范圍。

正解：若方程x2+mx+1=0 有兩個不等的負(fù)根，則有解得m ＞2，即p：m＞2。

若方程4x2+4(m-2)x+1=0無實根，則有Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3。

因為“p 或q 為真”，所以p，q 中至少 有一個是真命題。又“p 且q 為假”，所以p，q中至少有一個是假命題。

因此，p，q 兩個命題應(yīng)該是一真一假，即“p 為真，q 為 假”或“p 為 假，q 為 真”。當(dāng)m∈(-∞，1]時，p 假，q 假；當(dāng)m∈(1，2]時，p假，q 真；當(dāng)m∈(2，3)時，p 真，q 真；當(dāng)m∈[3，+∞)時，p 真，q 假。

七、沒有正確理解“或”與“且”導(dǎo)致判斷兩個命題之間的關(guān)系出錯

例7若非空集合M ?N，則a∈M 或a∈N 是a∈(M ∩N)的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

錯解：a∈(M ∩N)的意思是a∈M 且a∈N，所以a∈M 或a∈N 不能推出a∈(M∩N)，同樣a∈(M ∩N)也不能推出a∈M或a∈N，所以a∈M 或a∈N 是a∈(M ∩N)的既不充分也不必要條件。故選D。

錯因分析：“或”與“且”理解錯誤，邏輯中的“或”與生活中的“或”有區(qū)別，a∈M 或a∈N 包括三種：a∈M 但a?N；a∈N 但a?M；a∈M 且a∈N。所以a∈(M ∩N)可以推得a∈M 或a∈N。

正解：a∈(M ∩N)的意思是a∈M 且a∈N，而a∈M 或a∈N 包括三種：a∈M 但a?N；a∈N 但a?M；a∈M 且a∈N。所以a∈M 或a∈N 不能推出a∈(M ∩N)；a∈(M∩N)可以推得a∈M 或a∈N。故選B。