于 洋，職保平，2，秦凈凈

(1.黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南開封475000；2.西藏自治區(qū)水利電力規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，西藏拉薩850000)

工程中存在物理不確定性、統(tǒng)計(jì)不確定性和模型不確定性三大類，其中物理不確定性主要包含材料常數(shù)、幾何尺寸、荷載及邊界條件等；統(tǒng)計(jì)不確定性主要指工程中的誤差、擾動(dòng)常采用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析，但噪聲等因素的存在，必然使統(tǒng)計(jì)結(jié)果存在誤差；而模型不確定性是指簡(jiǎn)化所得的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)之間差異所以引起的模型計(jì)算響應(yīng)和實(shí)際結(jié)構(gòu)響應(yīng)的偏差[1]。

在水利工程中，特別是西藏水利工程中，由于環(huán)境特性導(dǎo)致多個(gè)各參數(shù)的誤差進(jìn)一步放大。這些誤差是客觀存在的，已有研究表明，結(jié)構(gòu)參數(shù)的擾動(dòng)性可能引起結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性和動(dòng)力響應(yīng)的大幅度變化，使力學(xué)參數(shù)的擾動(dòng)性在一定條件下成為主導(dǎo)因素[2]。文獻(xiàn)[3]表明，結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)的變異系數(shù)通常是結(jié)構(gòu)參數(shù)變異系數(shù)的2～4倍，即擾動(dòng)性引起誤差的幅值為確定參數(shù)解的2～4倍，還有文獻(xiàn)給出的算例高達(dá)7倍；與此同時(shí)，結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的貢獻(xiàn)量一般大于外激勵(lì)貢獻(xiàn)量[4]。顯而易見，按照確定參數(shù)分析得到的結(jié)果，并不能完全精確地描述結(jié)構(gòu)的真實(shí)動(dòng)態(tài)行為。目前針對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)擾動(dòng)性問題，在計(jì)算時(shí)一般使用概率模型、模糊模型、區(qū)間模型[5- 6]三類模型進(jìn)行處理，但參數(shù)擾動(dòng)的研究在水利工程行業(yè)中并不深入，成果較少，多是單參數(shù)的計(jì)算分析，而采用隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)方法的研究十分匱乏。

本文團(tuán)隊(duì)分別將概率攝動(dòng)法[7]、二階攝動(dòng)法、LR模糊數(shù)[8]以及區(qū)間參數(shù)[9-10]方法引入水電機(jī)組振動(dòng)傳導(dǎo)問題中，推導(dǎo)了相關(guān)的計(jì)算過程，但最終各方法的計(jì)算特性未開展橫向?qū)Ρ妊芯?，本文以水電機(jī)組振動(dòng)傳導(dǎo)為例，分別采用概率模型中的攝動(dòng)法、LR模糊數(shù)法、區(qū)間參數(shù)法進(jìn)行橫向計(jì)算對(duì)比研究，分析在考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)存在擾動(dòng)時(shí)，各方法的計(jì)算性能，最終為水利工程計(jì)算參數(shù)擾動(dòng)問題提供方法選擇依據(jù)。

1 隨機(jī)攝動(dòng)法

應(yīng)用概率模型中攝動(dòng)法時(shí)，要求各參數(shù)擾動(dòng)量小范圍變化，一般小于15%，同時(shí)需要已知參數(shù)的概率特性，一般假定為正態(tài)分布，利用其線性變換也服從正態(tài)分布這一特性進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)用隨機(jī)攝動(dòng)理論，隨機(jī)變量分解為確定部分和擾動(dòng)部分

(1)

式中，ε為小參數(shù)；上標(biāo)d表示確定部分，在實(shí)際應(yīng)用中表示多次采樣后的均值；上標(biāo)p表示擾動(dòng)部分，實(shí)際應(yīng)用中具有零均值性質(zhì)，同時(shí)要求隨機(jī)部分比確定部分小得多。

對(duì)式(1)求數(shù)學(xué)期望

(2)

式中，Ea為21×1階，EFt為1×1階。同樣，求方差，根據(jù)Kronecker代數(shù)及其相應(yīng)的隨機(jī)分析理論得[11-12]

(3)

根據(jù)Taylor展式，將Ft在Ftd處一階展開得

(4)

將式(4)帶入式(1)得

(5)

從而得到傳遞力的擾動(dòng)范圍。

2 LR模糊數(shù)法

(6)

圖1 LR型模糊數(shù)

(7)

(8)

圖2 LR三角型模糊數(shù)

(9)

(10)

根據(jù)模糊數(shù)運(yùn)算法則得

(11)

(12)

3 算例分析

以混流式水電機(jī)組振動(dòng)傳導(dǎo)分析為例，其振動(dòng)簡(jiǎn)化模型見圖3，各方法采用統(tǒng)一模型計(jì)算。由于本文是探討各方法是計(jì)算性能，模型簡(jiǎn)化過程不作為主要問題進(jìn)行闡述，詳細(xì)簡(jiǎn)化過程見文獻(xiàn)[7]，不考慮蝸殼及其下部結(jié)構(gòu)影響，假設(shè)激勵(lì)為單頻簡(jiǎn)諧激勵(lì)，各參數(shù)均值由水電站施工設(shè)計(jì)圖及生產(chǎn)廠商提供資料計(jì)算及折算得到，其中采用比例阻尼進(jìn)行分析，各參數(shù)均值如下m1=8.28×104，m2=1.042×106，m3=3.29×105，m4=9×105，m5=1.2×105，m6=1.39×105，m7=8.92×105，m8=1.15×105質(zhì)量m的單位為kg；k1=7.26×1010，k3=5.72×1010，k4=2.32×1010，k51=2.20×1012，k52=9.41×109，k6=7.70×109，k7=4.26×108，k81=1.73×108，k82=1.73×1010，剛度k單位N/m；c1=5.48×106，c3=4.11×106，c4=1.02×107，c51=2.56×107，c52=7.51×104，c6=1.64×106，c7=9.74×105，c81=2.23×105，c82=9.99×104，阻尼c的單位為N·s/m。

圖3 傘式機(jī)組豎向振動(dòng)簡(jiǎn)化模型

這些參數(shù)中，油膜、水封的剛度參數(shù)非線性強(qiáng)，且難以測(cè)量，參數(shù)具有很強(qiáng)的不確定性，由此取k51，k81，c51，c81區(qū)間半徑為0.1倍的均值；頂蓋上承載的控制部件等附加部件較多且重量、剛度、阻尼的計(jì)算采用折減系數(shù)得到，因此存在不少不確定，取k82，c82區(qū)間半徑為均值的0.05，取機(jī)墩等質(zhì)量單元的區(qū)間半徑為均值的0.001。

采用各方法計(jì)算傳遞率的結(jié)果如圖4～圖7所示，傳遞率為傳遞力與激振力的比值，能夠更為明確的表述各方法計(jì)算的特性。在計(jì)算中，采用攝動(dòng)

圖4 攝動(dòng)法計(jì)算傳遞率及傳遞率方差特性曲線

圖5 LR模糊數(shù)法計(jì)算不同截集水平下的傳遞率分布圖及局部放大示意

法計(jì)算時(shí)，由方差轉(zhuǎn)化為均值倍數(shù)關(guān)系為均值的1.7841%～12.2%；采用LR模糊數(shù)計(jì)算方法，采用三角形模糊函數(shù)時(shí)，最大邊界范圍為均值的-26.2%～26%；采用區(qū)間參數(shù)計(jì)算時(shí)，最大邊界范圍為均值的1.06%～14.11%。

圖6 各截集下不同固有頻率處的路徑傳遞率模糊度

圖7 區(qū)間參數(shù)計(jì)算各路徑傳遞率及取值上下限

4 結(jié) 論

本文參數(shù)擾動(dòng)分析中，分別采用隨機(jī)攝動(dòng)法、LR模糊數(shù)法、區(qū)間參數(shù)方法來描述分析中所遇到參數(shù)不確定問題，結(jié)果顯示：

(1)三類方法在計(jì)算過程中均表現(xiàn)出相同的變化趨勢(shì)，頂蓋路徑與軸系統(tǒng)路徑的比例分配大致相同，均在固有頻率處出現(xiàn)極值，三類方法在計(jì)算水電機(jī)組振動(dòng)傳導(dǎo)問題時(shí)均可以得到有效解。

(2)從各方法的計(jì)算結(jié)果來看，區(qū)間參數(shù)方法計(jì)算得到的擾動(dòng)范圍下限最小，上限較攝動(dòng)法略有增加，其結(jié)果質(zhì)量與隨機(jī)攝動(dòng)法不相上下，而LR模糊數(shù)法則擾動(dòng)范圍發(fā)生擴(kuò)張，當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)一步增加，參數(shù)擾動(dòng)區(qū)間擴(kuò)大時(shí)，其結(jié)果將產(chǎn)生更為不利擾動(dòng)區(qū)間擴(kuò)張。

(3)三類方法中，隨機(jī)攝動(dòng)法、LR模糊數(shù)法需要一定的已知或假設(shè)條件，因此在計(jì)算水電機(jī)組振動(dòng)傳導(dǎo)問題時(shí)，建議采用區(qū)間參數(shù)方法。

本文針對(duì)水電機(jī)組振動(dòng)傳導(dǎo)問題展開參數(shù)擾動(dòng)性的方法計(jì)算分析，但所采用的三種方法并不限定于水電機(jī)組，其方法同樣適用于水利、土木等土建結(jié)構(gòu)，方法性能的選擇為分析確定結(jié)構(gòu)隨機(jī)問題提供了思路以及理論支撐。