康 有，夏傳清，馬順剛

(中國(guó)電建集團(tuán)成都勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，四川成都610072)

1 研究背景

洪水頻率分析(Flood Frequency Analysis，F(xiàn)FA)是把洪水作為隨機(jī)事件，采用頻率分析途徑預(yù)測(cè)洪水極值事件發(fā)生的量級(jí)和頻率，以確定水利水電工程在設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)下工程規(guī)模的核心技術(shù)[1]。常根據(jù)實(shí)測(cè)洪水、歷史洪水或古洪水等資料估計(jì)洪水理論總體分布參數(shù)，為水利水電工程提供給定重現(xiàn)期下合理的洪水設(shè)計(jì)值，其實(shí)質(zhì)是根據(jù)設(shè)計(jì)流域內(nèi)某水文站的洪水資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，利用實(shí)測(cè)或調(diào)查洪水?dāng)?shù)據(jù)擬合理論總體分布曲線，并作大幅度外延[2-3]。

洪水頻率分析計(jì)算過(guò)程主要包括樣本抽樣、線型選擇、參數(shù)估計(jì)、抽樣誤差和區(qū)域分析等。參數(shù)估計(jì)是其最關(guān)鍵的技術(shù)環(huán)節(jié)，其計(jì)算精度直接影響洪水設(shè)計(jì)值的可靠性[4]。國(guó)內(nèi)外水文學(xué)者對(duì)參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行了大量研究，并取得了系列重要成果。我國(guó)設(shè)計(jì)洪水計(jì)算規(guī)范推薦采用適線法(Curve Fit，CF)估計(jì)參數(shù)值，以P-Ⅲ型分布作為理論總體分布，適線準(zhǔn)則(即目標(biāo)函數(shù))采用離差平方和準(zhǔn)則或離差絕對(duì)值準(zhǔn)則，繪點(diǎn)位置采用頻率期望值公式[5]。研究表明，適線法中目標(biāo)函數(shù)的選擇對(duì)確定洪水設(shè)計(jì)值至關(guān)重要，不同的目標(biāo)函數(shù)會(huì)得到完全不同的頻率設(shè)計(jì)值。

由于實(shí)測(cè)樣本點(diǎn)據(jù)在洪水頻率曲線擬合過(guò)程中的重要程度不同，水文工作者又提出了加權(quán)適線法，采用權(quán)重函數(shù)確定各個(gè)實(shí)測(cè)洪水樣本點(diǎn)據(jù)在目標(biāo)函數(shù)中權(quán)重，盡量照顧頻率曲線的中上部點(diǎn)據(jù)[6]。影響各樣本點(diǎn)據(jù)的權(quán)重級(jí)別的因素主要包括資料精度、誤差分布、適線目的等。一般假定各樣本點(diǎn)據(jù)偏離最優(yōu)頻率曲線的離散程度服從正態(tài)分布，權(quán)重函數(shù)采用模糊隸屬度函數(shù)、高斯函數(shù)等[7]。而各種權(quán)重函如何選取及其參數(shù)取值往往取決于水文工作者的經(jīng)驗(yàn)，難以進(jìn)行定量分析，存在較大的不確定性。

文獻(xiàn)[8]對(duì)比分析了基于數(shù)值次序統(tǒng)計(jì)量的期望值、中值、眾值和頻率次序統(tǒng)計(jì)量的期望值等共計(jì)4種繪點(diǎn)位置的優(yōu)化適線法的統(tǒng)計(jì)特性，結(jié)果表明基于數(shù)值次序統(tǒng)計(jì)量期望值的洪水頻率分析方法(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“NOES”)具有優(yōu)良的統(tǒng)計(jì)特性，并構(gòu)造一種加權(quán)離差絕對(duì)值和作為目標(biāo)函數(shù)，其權(quán)重函數(shù)采用給定頻率P設(shè)計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差倒數(shù)。NOES方法沒(méi)有綜合對(duì)比分析基于各種目標(biāo)函數(shù)的洪水頻率分析方法的優(yōu)劣，其目標(biāo)函數(shù)的選取缺乏一定的依據(jù)。

本文采用P-Ⅲ型分布作為洪水理論概率分布，系統(tǒng)闡述了洪水頻率分析中各類(lèi)目標(biāo)函數(shù)和權(quán)重函數(shù)，采用統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)途徑研究基于各種目標(biāo)函數(shù)和權(quán)重函數(shù)的NOES方法的優(yōu)劣，優(yōu)選出精度高且穩(wěn)健性?xún)?yōu)良的目標(biāo)函數(shù)。以雅礱江流域甘孜水文站設(shè)計(jì)洪水為例，計(jì)算不同目標(biāo)函數(shù)和權(quán)重函數(shù)組合下的洪水設(shè)計(jì)值，以期為雅礱江流域水利水電工程規(guī)劃設(shè)計(jì)提供更加合理可靠的設(shè)計(jì)洪水依據(jù)。

2 目標(biāo)函數(shù)計(jì)算方法

2.1 基本原理

NOES方法假定所研究的洪水隨機(jī)變量X服從P-Ⅲ型分布，記作X～Γ(x;a，α，β)，其統(tǒng)計(jì)參數(shù)為Ex、Cv、Cs。假設(shè)洪水隨機(jī)變量X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本為(X1，X2，…，Xn)，則第m項(xiàng)數(shù)值次序統(tǒng)計(jì)量X(m)為(x1，x2，…，xn)中從大到小進(jìn)行排列后(x(1)≥x(2)≥…≥x(n))的第m項(xiàng)。即，X(m)=x(m)；其概率密度函數(shù)f(m)(x)、期望值E(X(m)) 、標(biāo)準(zhǔn)差Std(X(m))、信息熵Ent(X(m))計(jì)算公式分別為

[1-F(x)]m-1f(x)

(1)

(2)

Std(X(m))=E[(X(m))2]-[E(X(m))]2

(3)

(4)

統(tǒng)計(jì)參數(shù)為目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的優(yōu)化變量值。洪水頻率分析中目標(biāo)函數(shù)為

(5)

式中，θ為統(tǒng)計(jì)參數(shù)(即Ex，Cv及Cs)；x(m)為經(jīng)從大到小排序后第m個(gè)洪水樣本(m=1，2，…，n)；E(X(m)，θ)為第m項(xiàng)數(shù)值次序統(tǒng)計(jì)量X(m)的期望值，即理論頻率曲線上繪點(diǎn)位置的縱坐標(biāo)值；Wm為權(quán)重函數(shù)；m為經(jīng)從大到小排列后的樣本次序；n為洪水樣本序列容量。

2.2 無(wú)權(quán)目標(biāo)函數(shù)

洪水頻率分析本質(zhì)上屬于回歸分析，其目標(biāo)函數(shù)(Objective Function)即為統(tǒng)計(jì)學(xué)中回歸分析的損失函數(shù)(Loss Function)，是一種衡量系統(tǒng)在不同參數(shù)組合下的損失和錯(cuò)誤程度的函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)是用來(lái)衡量模型的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的不一致程度，它是一個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù)，其值越小，表示該方法的精度越高。本文結(jié)合回歸分析中各類(lèi)損失函數(shù)，構(gòu)建了以下8種無(wú)權(quán)目標(biāo)函數(shù)(見(jiàn)表1)：

(1)平均絕對(duì)誤差(Mean Absolute Error，MAE)是預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間誤差絕對(duì)值的平均值。

(2)平均絕對(duì)根誤差(Root Mean Absolute Error，RMAE)是預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間誤差絕對(duì)值的平均值的平方根。

(3)平滑平均絕對(duì)誤差(Smooth Mean Absolute Error，SMAE)為了增強(qiáng)平方誤差，提高對(duì)離群點(diǎn)的魯棒性而提出的；當(dāng)誤差很小時(shí)，SMAE是平方形式的；當(dāng)誤差很大時(shí)，SMAE是絕對(duì)值形式的；SAME計(jì)算公式中含有一參數(shù)δ。當(dāng)δ→0時(shí)，SAME接近MAE，當(dāng)δ→∞時(shí)，SAME接近MSE。

(4)兩權(quán)平均絕對(duì)誤差(Two Weight Mean Square Error，TWMAE)是分配預(yù)測(cè)值小于真實(shí)值的點(diǎn)據(jù)和預(yù)測(cè)值大于真實(shí)值的點(diǎn)據(jù)這兩部分點(diǎn)據(jù)不同的權(quán)重，再計(jì)算誤差絕對(duì)值的平均值。

(5)四權(quán)平均絕對(duì)誤差(Four Weight Mean Square Error，F(xiàn)WMAE)是分配預(yù)測(cè)值小于真實(shí)值且頻率小于90%的點(diǎn)據(jù)、預(yù)測(cè)值小于真實(shí)值且頻率大于90%的點(diǎn)據(jù)、預(yù)測(cè)值大于真實(shí)值且頻率小于90%的點(diǎn)據(jù)、預(yù)測(cè)值大于真實(shí)值且頻率大于90%的點(diǎn)據(jù)這四部分點(diǎn)據(jù)不同的權(quán)重，再計(jì)算誤差絕對(duì)值的平均值。

(6)均方誤差(Mean Square Error，MSE)是預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間誤差平方的平均值。

表1 洪水頻率分析中目標(biāo)函數(shù)計(jì)算公式

(7)均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間誤差平方的平均值的平方根。

(8)對(duì)數(shù)雙曲余弦誤差(Log Cosh Error，LCE)是預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間誤差的雙曲余弦的對(duì)數(shù)。

當(dāng)預(yù)測(cè)值等于實(shí)測(cè)值時(shí)，損失函數(shù)達(dá)到其最小值0，取值范圍為0至∞。圖1給出了7種目標(biāo)函數(shù)的變化情況(除FWMAE之外)，其中實(shí)測(cè)值為100，預(yù)測(cè)值在-80～120之間。

圖1 各目標(biāo)函數(shù)變化規(guī)律示意

2.3 加權(quán)目標(biāo)函數(shù)

洪水頻率分析的目的是計(jì)算稀遇頻率洪水設(shè)計(jì)值。在實(shí)際工作中，經(jīng)驗(yàn)適線法往往照顧頻率曲線上端部分的點(diǎn)據(jù)，相當(dāng)于增加大洪水點(diǎn)據(jù)在目標(biāo)函數(shù)中的權(quán)重；也就是次序越小，其點(diǎn)據(jù)的權(quán)重越大[9]。另一方面，大洪水點(diǎn)據(jù)的離散程度也會(huì)增大，帶來(lái)了更多的不確定性；也就是次序越小，其點(diǎn)據(jù)的權(quán)重越小。本文構(gòu)建了四類(lèi)加權(quán)目標(biāo)函數(shù)(見(jiàn)表2)。

表2 洪水頻率分析中加權(quán)目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)計(jì)

設(shè)P-Ⅲ型分布的參數(shù)Ex=100、Cv=0.5、Cs=1.5，洪水隨機(jī)變量X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本為(X1，X2，…，Xn)，計(jì)算第m項(xiàng)數(shù)值次序統(tǒng)計(jì)量X(m)的期望值E(X(m))、標(biāo)準(zhǔn)差Std(X(m))、信息熵Ent(X(m))，并繪制樣本系列的經(jīng)驗(yàn)概率密度函數(shù)和理論概率密度函數(shù)，以及次序統(tǒng)計(jì)量X(m)的概率密度函數(shù)f(m)(x)，見(jiàn)圖2。

圖2 數(shù)值次序統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)差和信息熵變化規(guī)律示意

由圖2可知，隨著次序m的增大，標(biāo)準(zhǔn)差和信息熵均減小；且在次序m較小時(shí)，減小趨勢(shì)的梯度更大。圖3給出了在給定總體分布參數(shù)的情況下前5個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的X(m)的概率密度函數(shù)，隨著次序m的增大，期望值E(X(m))和實(shí)測(cè)值x(m)的絕對(duì)誤差越來(lái)越大。

圖3 數(shù)值次序統(tǒng)計(jì)量概率密度函數(shù)示意

表3 參數(shù)估計(jì)方法優(yōu)劣評(píng)價(jià)指標(biāo)及其含義

注：Ns表示統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的次數(shù)；x表示理論值；yi表示第i次的預(yù)測(cè)值。

3 目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)

3.1 統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法

構(gòu)造一種基于拉丁超立方抽樣、隨機(jī)抽樣的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法(即Latin Hypercube Sampling & Monte Carlo Statistical Test，簡(jiǎn)稱(chēng)“LM”)，在一定頻率范圍內(nèi)生成服從指定分布(如P-Ⅲ型分布)的在有限頻率區(qū)間內(nèi)的洪水模擬序列，計(jì)算各種統(tǒng)計(jì)參數(shù)值和頻率設(shè)計(jì)值，以檢驗(yàn)不同參數(shù)估計(jì)方法的優(yōu)劣[10～11]。LM統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法計(jì)算步驟如下：

(1)將區(qū)間[Pmin，Pmax]等間隔分成10×n等份，并假設(shè)頻率P在每一個(gè)小區(qū)間上服從均勻分布，其中Pmin=1/(n×1.5+1)，Pmax=1-Pmin。

(2)在每一個(gè)小區(qū)間上利用“乘同余法”產(chǎn)生10個(gè)服從均勻分布[Pmin，Pmax]的隨機(jī)數(shù)Mt。

(3)從生成的10×10×n個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)Mt中隨機(jī)選取n個(gè)隨機(jī)數(shù)ut，并將其順序隨機(jī)打亂。

(4)利用“反函數(shù)插值法”轉(zhuǎn)換為指定洪水頻率分布函數(shù)F(x)的隨機(jī)數(shù)xt=F-1(ut)；即根據(jù)洪水頻率理論分布的總體參數(shù)Cs和均勻隨機(jī)數(shù)ut(相當(dāng)于頻率P)計(jì)算P-Ⅲ型分布對(duì)應(yīng)的ΦtΦt值。

(5)經(jīng)算式xt=Ex×(1+Φt×Cv)，即可生成給定統(tǒng)計(jì)參數(shù)的P-Ⅲ型分布的連序洪水隨機(jī)模擬系列(長(zhǎng)度為n)，作為實(shí)測(cè)洪水樣本系列。

(6)參數(shù)估計(jì)首先采用線性矩法初估參數(shù)值，然后采用NOES方法計(jì)算其最終值。其中，優(yōu)化變量選取Ex、Cv與Cs/Cv，適線準(zhǔn)則采用相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化算法采用SCE-UA優(yōu)化算法。

3.2 優(yōu)劣評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

以參數(shù)值和設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性及有效性為依據(jù)綜合評(píng)價(jià)各種參數(shù)估計(jì)方法的優(yōu)劣[12]。無(wú)偏性指標(biāo)采用標(biāo)準(zhǔn)平均絕對(duì)誤差(NMAE)，NMAE為正值表示設(shè)計(jì)值偏大；反之則偏??；其絕對(duì)值越小，則表示該方法的無(wú)偏性越好。有效性指標(biāo)采用標(biāo)準(zhǔn)均方根誤差(NRME)，NRME值越小，則表示該方法的有效性越好，具體見(jiàn)表3。

3.3 統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方案

根據(jù)大量流域水文站的實(shí)測(cè)洪水序列的統(tǒng)計(jì)參數(shù)規(guī)律和統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的實(shí)際需求，設(shè)定P-Ⅲ型分布統(tǒng)計(jì)參數(shù)方案編號(hào)依次為A、B、C、D、E，總體分布參數(shù)的取值分別為Ex=100，Cv=0.3、0.4、0.5，Cs=2.5×Cv、3.0×Cv、3.75×Cv、4×Cv、5×Cv，具體見(jiàn)表4。各組方案的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)次數(shù)Ns取500次，樣本容量n取50，設(shè)計(jì)頻率P取1%，0.5%，0.2%，0.1%。

表4 統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)選用的洪水頻率分布統(tǒng)計(jì)參數(shù)

3.4 無(wú)權(quán)目標(biāo)函數(shù)試驗(yàn)結(jié)果分析

采用基于MAE、RMAE、SMAE、TWMAE、FWMAE、MSE、RMSE、LCE共8種目標(biāo)函數(shù)的NOES方法，分別計(jì)算基于5種統(tǒng)計(jì)參數(shù)方案共計(jì)30種統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方案的統(tǒng)計(jì)參數(shù)值(包括Ex、Cv與Cs)和洪水設(shè)計(jì)值XP(P取1%，0.5%，0.2%，0.1%)，以檢驗(yàn)基于不同目標(biāo)函數(shù)的NOES方法的無(wú)偏性和有效性。

(1)參數(shù)值統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果。采用LM統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法計(jì)算基于8種目標(biāo)函數(shù)的NOES方法的參數(shù)值統(tǒng)計(jì)特性，見(jiàn)圖4。從統(tǒng)計(jì)參數(shù)值的無(wú)偏性來(lái)講，RMAE目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)；且偏態(tài)系數(shù)Cs的NRMSE的絕對(duì)值最大，其無(wú)偏性最差。從統(tǒng)計(jì)參數(shù)值的有效性來(lái)講，TWMAE目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)；且偏態(tài)系數(shù)Cs的NRMSE的絕對(duì)值最大，其有效性最差。

圖4 NOES方法的統(tǒng)計(jì)參數(shù)值無(wú)偏性和有效性

(2)設(shè)計(jì)值統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果。采用LM統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法計(jì)算基于8種目標(biāo)函數(shù)的NOES方法的設(shè)計(jì)值統(tǒng)計(jì)特性，見(jiàn)圖5。

圖5 NOES方法的頻率設(shè)計(jì)值無(wú)偏性和有效性

從頻率設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性來(lái)講，RMAE目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)；且隨著頻率P的減小，NMAE的絕對(duì)值增大，頻率設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性逐漸變差。從頻率設(shè)計(jì)值的有效性來(lái)講，TWMAE目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)；且隨著頻率P的減小，NRMSE的絕對(duì)值增大，頻率設(shè)計(jì)值的有效性逐漸變差。

3.5 加權(quán)目標(biāo)函數(shù)試驗(yàn)結(jié)果分析

采用基于MAE、MAEDS、MAEDE、MAEMS、MAEME共5種目標(biāo)函數(shù)的NOES方法，分別計(jì)算基于5種統(tǒng)計(jì)參數(shù)方案共計(jì)30種統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方案的統(tǒng)計(jì)參數(shù)值(包括Ex、Cv與Cs)和洪水設(shè)計(jì)值XP(P取1%，0.5%，0.2%，0.1%)，以檢驗(yàn)基于不同加權(quán)目標(biāo)函數(shù)的NOES方法的無(wú)偏性和有效性。

(1)參數(shù)值統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果。采用LM統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法計(jì)算基于4種加權(quán)目標(biāo)函數(shù)的NOES方法的參數(shù)值統(tǒng)計(jì)特性，見(jiàn)圖6。從統(tǒng)計(jì)參數(shù)值的無(wú)偏性來(lái)講，MAEDS目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)；且偏態(tài)系數(shù)Cs的NMAE的絕對(duì)值最大，其無(wú)偏性最差。從統(tǒng)計(jì)參數(shù)值的有效性來(lái)講，MAEDE目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)；且偏態(tài)系數(shù)Cs的NRMSE的絕對(duì)值最大，其有效性最差。

圖6 基于不同加權(quán)目標(biāo)函數(shù)的NOES方法的統(tǒng)計(jì)參數(shù)值無(wú)偏性和有效性

(2)設(shè)計(jì)值統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果。采用LM統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法計(jì)算基于5種加權(quán)目標(biāo)函數(shù)的NOES方法的設(shè)計(jì)值統(tǒng)計(jì)特性，見(jiàn)圖7。從頻率設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性來(lái)講，MAEDS目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)；且隨著頻率P的減小，NMAE的絕對(duì)值增大，頻率設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性逐漸變差。從頻率設(shè)計(jì)值的有效性來(lái)講，MAEDS目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)；且隨著頻率P的減小，NRMSE的絕對(duì)值增大，頻率設(shè)計(jì)值的有效性逐漸變差。

圖7 基于不同加權(quán)目標(biāo)函數(shù)的NOES方法的頻率設(shè)計(jì)值無(wú)偏性和有效性

3.6 對(duì)比分析

從圖4、5可知，從統(tǒng)計(jì)參數(shù)值和頻率設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性和有效性來(lái)講，采用平均絕對(duì)根誤差RMAE作為洪水頻率分析的目標(biāo)函數(shù)，可以有效減少洪水設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性。從圖6、7可知，從統(tǒng)計(jì)參數(shù)值和頻率設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性和有效性來(lái)講，采用平均絕對(duì)誤差除以標(biāo)準(zhǔn)差MAEDS作為洪水頻率分析的目標(biāo)函數(shù)，可以有效提高洪水設(shè)計(jì)值的有效性。在洪水頻率分析目標(biāo)函數(shù)的合理選取中，目標(biāo)函數(shù)的選擇取決于許多因素，包括是否有離群點(diǎn)、參數(shù)估計(jì)方法、誤差分布規(guī)律等，沒(méi)有一個(gè)通用的目標(biāo)函數(shù)可以適用于所有統(tǒng)計(jì)參數(shù)的求解。綜合分析，從統(tǒng)計(jì)參數(shù)值、頻率設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性和有效性整體上來(lái)講，采用平均絕對(duì)根誤RMAE為目標(biāo)函數(shù)的NOES方法整體上精度高且穩(wěn)健性?xún)?yōu)良，尤其在設(shè)計(jì)值無(wú)偏性上的優(yōu)勢(shì)更為明顯。

4 實(shí)例分析

4.1 基本資料

雅礱江流域位于青藏高原東部，為金沙江第一大支流，干流河道全長(zhǎng)1 535 km，流域面積12.8萬(wàn)km2。雅礱江流域甘孜水文站控制流面積為3.3萬(wàn)km2，自1952年4月設(shè)站至今。經(jīng)插補(bǔ)延長(zhǎng)后，采用年最大值抽樣法(Annual Maximum Sampling，AMS)獲得甘孜站1952年～2015年共計(jì)64 a的洪水年最大值系列(見(jiàn)圖8)。

4.2 設(shè)計(jì)洪水

根據(jù)甘孜站1952年～2015年共計(jì)64 a的洪水年最大值系列，以P-Ⅲ型分布作為理論總體分布，首先采用線性矩法計(jì)算統(tǒng)計(jì)參數(shù)初始值；然后采用NOES方法分析計(jì)算統(tǒng)計(jì)參數(shù)值，優(yōu)化變量選取Ex、Cv與Cs/Cv，適線準(zhǔn)則采用MAE和RMAE目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化算法采用SCE-UA算法；計(jì)算給定頻率P(1%、0.5%、0.2%和0.1%)的設(shè)計(jì)洪水XP，具體見(jiàn)圖9、10。

圖8 雅礱江流域甘孜站洪水樣本系列示意

圖9 甘孜站洪水頻率曲線優(yōu)化適線成果

圖10 甘孜站基于不同目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)洪水對(duì)比示意

由圖10可知，采用RMAE為目標(biāo)函數(shù)的NOES方法計(jì)算的洪水設(shè)計(jì)值要比采用MAE為目標(biāo)函數(shù)的NOES方法計(jì)算的洪水設(shè)計(jì)值偏大0.09%～0.18%，其平均值為0.14%；隨著頻率P的減小，兩者的絕對(duì)誤差逐漸增大。

5 結(jié) 論

結(jié)合洪水頻率分析適線法的計(jì)算目的和洪水樣本誤差規(guī)律，構(gòu)建了一種新的目標(biāo)函數(shù)——平均絕對(duì)根誤差RMAE，為采用NOES方法計(jì)算洪水設(shè)計(jì)值時(shí)合理選取目標(biāo)函數(shù)提供了試驗(yàn)依據(jù)，其研究結(jié)論如下：

(1)從統(tǒng)計(jì)參數(shù)值、頻率設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性和有效性整體上來(lái)講，采用平均絕對(duì)根誤差RMAE為目標(biāo)函數(shù)的NOES方法整體上精度高且穩(wěn)健性?xún)?yōu)良，尤其在設(shè)計(jì)值無(wú)偏性上的優(yōu)勢(shì)更為明顯。

(2)由于實(shí)測(cè)洪水樣本序列的隨機(jī)性和復(fù)雜性，各個(gè)樣本點(diǎn)據(jù)在目標(biāo)函數(shù)中的作用尚無(wú)統(tǒng)一的規(guī)律；基于傳統(tǒng)水利水電工程水文設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，一般設(shè)計(jì)中考慮大洪水點(diǎn)距具有更大的權(quán)重，構(gòu)建一種隨著次序增大權(quán)重減小的權(quán)函數(shù)；或者基于誤差規(guī)律，考慮大洪水點(diǎn)距具有更大的方差或信息熵，構(gòu)建一種隨著次序增大權(quán)重增大的權(quán)函數(shù)；經(jīng)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)表明，兩者均不能有效提高洪水設(shè)計(jì)值的統(tǒng)計(jì)特性，反而會(huì)增大洪水設(shè)計(jì)值的不確定性。