福建省廈門(mén)湖濱中學(xué)(361004) 余會(huì)昌

不等式證明是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).因?yàn)樗淖C明沒(méi)有套路,所以在實(shí)際證題中,只能根據(jù)具體的題目特征采用特定的方法證之.因此,不等式的證明方法五花八門(mén).這里談?wù)動(dòng)脴?gòu)造法來(lái)證明不等式.

1.構(gòu)造公式證明不等式

根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到某公式的外形,構(gòu)造可利用公式的條件來(lái)證不等式.

例1已知a,b,c,d∈R,求證：

分析據(jù)不等式結(jié)構(gòu),聯(lián)想到兩點(diǎn)間距離公式,構(gòu)造可利用這公式的條件.

證明設(shè)A(a+c,0),B(0,b+d),C(c,b).由|AC|+|BC|≥|AB|得當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C三點(diǎn)共線,取“=”.

例2任給7個(gè)實(shí)數(shù),求證：其中至少有兩個(gè)數(shù)x,y滿足.

分析因x,y∈R,從聯(lián)想到兩角差的正切公式,所以,構(gòu)造符合這個(gè)公式的條件來(lái)證不等式.

證 明設(shè)xi=tanαi(i=1,2,···7) 且把分成六個(gè)區(qū)間：據(jù)抽屜原則,αi(i=1,2,···7)至少有兩個(gè)角在同一區(qū)間,不妨設(shè)為α1,α2且α1≥α2,則 0≤α1-α2≤而所以,取x1=x,x2=y,命題得證.當(dāng)x=y時(shí),左邊取“=”;當(dāng)時(shí),右邊取“=”.

2.構(gòu)造方程證不等式

根據(jù)題設(shè)特征,構(gòu)造一元二次方程,利用判別式來(lái)證不等式.

例3已知a,b,c∈R,且a+b+c=0,abc=1,求證：a,b,c中必有一個(gè)大于.

分析由已知兩式,聯(lián)想韋達(dá)定理而構(gòu)造一元二次方程.

證明由abc=1知,a,b,c中必有一個(gè)大于0,不妨設(shè)c＞0,因?yàn)閍+b=-c,所以構(gòu)造一元二次方程是它的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,因?yàn)閍,b,∈R,所以所以c3≥4.因此,

例4在△ABC中,求證：cosAcosBcosC≤.

證明因?yàn)閏os(A+B)=-cosC=cosAcosB-sinAsinB,cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB,所以cosAcosB=設(shè)t=cosAcosBcosC,則有cos2C-cos(A-B)cosC+2t=0,又cosC∈R,所以△=cos2(A-B)-8t≥0,所以8t≤cos2(A-B)≤1,所以t=cosAcosBcosC≤.當(dāng)A=B=C=60°時(shí),取“=”.

3.構(gòu)造函數(shù)證明不等式

根據(jù)要證的不等式的特點(diǎn),構(gòu)造出一個(gè)函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明不等式.

例 5設(shè)a1,a2,···,an∈R+,求證：對(duì)任意的n(n∈N+),

分析待證式具有判別式的模型,所以,構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)來(lái)證.

證明設(shè)f(x)=nx2-2(a1+a2+···+an)x+因?yàn)閒(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+···+(x-an)2≥0對(duì)x∈R都成立,所以△=4(a1+a2+···+an)2-≤ 0,即(a1+a2+···+an)2≤當(dāng)a1=a2=···=an時(shí),取“=”.

例6已知a,b,c∈R+,且abc=8,求證：.

分析待證式左邊兩式是倒數(shù)關(guān)系,構(gòu)造函數(shù)f(x)=來(lái)證.

證明易證f(x)=x+在[1,+∞)上單調(diào)遞增,由得當(dāng)a=b=c=2時(shí),取“=”.

4.構(gòu)造三角證明不等式

根據(jù)題目條件與待證不等式的特點(diǎn),構(gòu)造三角函數(shù)來(lái)證明不等式.

例7已知a,b,c∈R+,且a2+b2=c2,求證：an+bn＜cn(n＞2,n∈N).

證明由題設(shè)可知,a,b,c為直角三角形的三邊,且c為斜邊. 設(shè),因?yàn)?＜sinθ＜1,0＜cosθ＜1,所以0＜sinn-2θ＜1,0＜cosn-2θ＜1,即 sinnθ＜sin2θ,cosnθ＜cos2θ,所以an+bn=cn(sinnθ+cosnθ)＜cn(sin2θ+cos2θ)=cn.

例8x,y∈R且滿足x2+4y2=4x,求證：2-5≤

證明由x2+4y2=4x,得(x-2)2+4y2=4,這是一個(gè)橢圓方程.設(shè)x=2+2cosθ,y=sinθ(0≤θ ＜2π)則(其中tanφ=2).所以當(dāng) sin(θ+φ)=±1時(shí),取“=”.

5.構(gòu)造數(shù)列證明不等式

根據(jù)待證不等式的特點(diǎn),構(gòu)造數(shù)列,利用數(shù)列的增減性來(lái)證明不等式.

例9試證：(n≥2,n∈Z).

分析由于待證不等式左邊是一個(gè)“數(shù)列型”,因此,構(gòu)造數(shù)列來(lái)證這個(gè)不等式.

證明設(shè)an=(n≥2,n∈Z),因?yàn)?所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,其最小項(xiàng)所以n≥2,n∈Z時(shí),均有an＞a2＞1,易知原不等式成立.

例10求證：

分析由于不等式左邊是個(gè)“數(shù)列型”,因此,構(gòu)造數(shù)列來(lái)證這個(gè)不等式.

證明設(shè)易知所以{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,所以an≥a1==即

6.構(gòu)造圖形證明不等式

根據(jù)待證不等式的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造出符合不等式中有關(guān)式子要求的圖形,從而使得不等式得以證明.

例11已知x,y,z∈R+求證：

圖1

分析不等式兩邊的三個(gè)根式的被開(kāi)方數(shù)類(lèi)似余弦定理,因此,構(gòu)造出滿足三個(gè)式子的圖形.

證明作△ABC,如圖1,在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)O,使∠AOB= ∠BOC= ∠COA=120°,OA=x,OB=y,OC=z,則AB=AC=因?yàn)锳B+AC＞BC,所以

例12設(shè)a,b,c∈R+,求證：.

圖2

證明根據(jù)不等式左、右兩邊的特點(diǎn),利用勾股定理構(gòu)造滿足條件的圖形,如圖2,從圖中易得要證的不等式.當(dāng)a=b=c時(shí),取“=”.

7.構(gòu)造復(fù)數(shù)證不等式

根據(jù)待證不等式的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造復(fù)數(shù),利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明不等式.

例13已知a,b,c∈R,求證：.

分析由待證不等式的左邊結(jié)構(gòu),聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模,因此,構(gòu)造復(fù)數(shù)來(lái)證明.

證明設(shè)z1=a+(1-b)i,z2=b+(1-c)i,z3=c+(1-a)i,z4=1-a+ci,z5=1-c+bi,z6=1-b+ai.則即當(dāng)a=b=c=時(shí),取“=”.

例14求證：

分析因所以,聯(lián)想到復(fù)數(shù)不等式：|z1|+|z2|≥|z1+z2|,構(gòu)造復(fù)數(shù)來(lái)證不等式.

證明設(shè)z1=1+isinx,z2=1+icosx,由|z1|+|z2|≥|z1+z2|(當(dāng)argz1=argz2時(shí)等號(hào)成立).所以當(dāng)時(shí),取“=”.