甄樹鋒，周 波

(山東黃河工程集團(tuán)有限公司，山東 濟(jì)南 250013)

1 問題的提出

隨著國內(nèi)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，預(yù)應(yīng)力鋼筒混凝土管(PCCP)逐步得到了推廣及應(yīng)用，并在大型的輸水工程中發(fā)揮了較大的功效，取得了較好的輸水效果。但與發(fā)達(dá)國家相比，國內(nèi)應(yīng)用PCCP的時(shí)間較晚，經(jīng)驗(yàn)缺乏，因此，國內(nèi)PCCP的爆管事故時(shí)有發(fā)生，對當(dāng)?shù)鼐用竦纳钤斐闪酥T多不便。而究其根本，這種南水北調(diào)輸水工程的地區(qū)基本屬于鹽堿地，因此，對應(yīng)的腐蝕介質(zhì)會對PCCP造成一定的腐蝕，給輸水工程埋下了隱患，長此以往便會導(dǎo)致漏水、爆管等事故的發(fā)生。針對此問題，本文將從氯離子擴(kuò)散結(jié)構(gòu)出發(fā)，研究其在不同PCCP截面下的擴(kuò)散情況，以此來發(fā)現(xiàn)其侵蝕的規(guī)律，為PCCP在實(shí)際工程中的耐久性設(shè)計(jì)和壽命預(yù)測方面提供一定參考。

2 Fick第二定律對混凝土中氯離子擴(kuò)散行為描述的不足分析

通過Fick第二擴(kuò)散定律來描述混凝土中氯離子的擴(kuò)散行為這一嘗試，最早是由Collepardi等人于1970年提出來的[1]。其借助了5點(diǎn)理想假定：第一，混凝土是均勻介質(zhì)；第二，氯離子在進(jìn)行擴(kuò)散時(shí)，不能夠與混凝土發(fā)生反應(yīng)；第三，混凝土的僅限于一維擴(kuò)散；第四，邊界條件是常數(shù)；第五，氯離子擴(kuò)散系數(shù)與時(shí)間無關(guān)，得到了Fick第二擴(kuò)散定律的表達(dá)式，如式(1)所示。同時(shí)，在既定初始條件和邊界條件下，即當(dāng)t=0，x>0時(shí)，那么c=c0，當(dāng)x=0，t>0時(shí)，那么c=cs，得到對應(yīng)的解析式(2)：

(1)

(2)

式中，t—時(shí)間,a；x—混凝土深度；D—氯離子擴(kuò)散系數(shù)；c—x處的氯離子濃度，%；cs—混凝土表面的氯離子濃度，%；c0—混凝土內(nèi)部的氯離子濃度，%；erf—誤差函數(shù)。誤差函數(shù)erf可由式(3)進(jìn)行表達(dá)：

(3)

在實(shí)際中，F(xiàn)ick第二定律直接在混凝土結(jié)構(gòu)中的使用難度系數(shù)較大，因此需要進(jìn)一步對氯離子擴(kuò)散模型進(jìn)行修正及補(bǔ)充，使混凝土實(shí)際結(jié)構(gòu)狀況與實(shí)際環(huán)境之間的影響得以考慮。

3 基于混凝土和圓截面的Fick第二定律的改進(jìn)思路

前文在Fick第二定律的基礎(chǔ)上通過5點(diǎn)理想假設(shè)給出了用來描述氯離子擴(kuò)散行為的方程式，但在實(shí)際中，僅限于一維擴(kuò)散這一理想條件并不能滿足PCCP構(gòu)成的氯離子擴(kuò)散域特征，因此需要對不同特征截面的氯離子實(shí)際擴(kuò)散域進(jìn)行分析[2-5]。通常，在混凝土深處氯離子的分布情況以遞減的趨勢呈現(xiàn)，雖然在這個(gè)方向上會有一個(gè)深度極限的存在，但氯離子濃度會因?yàn)闀r(shí)間的限制導(dǎo)致無法或難以達(dá)到極限濃度，所以可將鋼筋與氯離子擴(kuò)散域邊界之間的距離視為極限深度，以鋼筋作為圓心，極限深度作為半徑，構(gòu)建出一個(gè)假想的球體，具體如圖1所示?；诖耍袈入x子能在有限時(shí)間內(nèi)擴(kuò)散值混凝土外表面區(qū)域，那么便可將其擴(kuò)散的區(qū)域定于為實(shí)際擴(kuò)散域。

圖1 在混凝土中氯離子的擴(kuò)散域

如果混凝土構(gòu)建存在圓形截面時(shí)，那么常規(guī)的混凝土結(jié)構(gòu)會與氯離子的實(shí)際擴(kuò)散域存在差異性。同時(shí)，圓形截面的半徑會與氯離子的實(shí)際擴(kuò)散域大小存在一定的關(guān)聯(lián)，具體如圖2所示?？梢钥闯觯入x子擴(kuò)散面會隨著圓形截面的截面半徑的減小而增大，與之呈反比關(guān)系，當(dāng)截面半徑縮減至最大限度時(shí)，那么處于鋼筋處，即圓心處，此時(shí)氯離子的擴(kuò)散面將覆蓋整個(gè)混凝土外表面，反之，氯離子的擴(kuò)散面則將會被壓縮至Q1P1處。而氯離子從管道內(nèi)部向管道外部侵蝕時(shí)，氯離子的實(shí)際擴(kuò)散域可由圖3所示[6-10]?？梢钥闯觯入x子擴(kuò)散域和管道截面半徑的變化并不顯著，這可能是實(shí)際中的內(nèi)層管芯混泥土的厚度小于PCCP管道內(nèi)徑導(dǎo)致的，因此，在此次侵蝕過程中，可以將其視為半無限域的一維擴(kuò)散，那么通過式(2)便可獲得綱筒表面氯離子濃度達(dá)到臨界值的時(shí)間和氯離子在內(nèi)層混凝土上的分布情況。

圖2 氯離子在不同半徑截面的擴(kuò)散域

圖3 氯離子從PCCP內(nèi)部向外部侵蝕時(shí)的擴(kuò)散域

總體而言，氯離子從管道外部向管道內(nèi)部侵蝕時(shí)，對PCCP的侵蝕程度較為嚴(yán)重，同時(shí)PCCP結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出更為顯著的曲面效應(yīng)，此時(shí)的式(1)顯然已不再適用。因此，需要重新構(gòu)建新的氯離子擴(kuò)散方程，用來滿足PCCP圓形截面求解。

4 PCCP圓形截面氯離子擴(kuò)散方程的演變及求解

通過第二節(jié)氯離子在混凝土和不同半徑圓截面下的擴(kuò)散域情況分析可知，氯離子一維擴(kuò)散方程已然不再適用于PCCP圓形截面的求解。因此，此處通過Fick第二擴(kuò)散定律和疊加原理給出了混凝土的氯離子的二維擴(kuò)散方程，如式(4)所示。其參數(shù)的定義與式(1)一致。

(4)

此處為了使得到的圓形截面氯離子擴(kuò)散方程能更加貼合PCCP，對式(4)進(jìn)行了相應(yīng)的轉(zhuǎn)換及處理，經(jīng)轉(zhuǎn)換、推導(dǎo)以及帶入簡化操作后，得到了氯離子在圓形截面下的擴(kuò)散方程：

(5)

式中，c—t時(shí)刻圓形半徑r的環(huán)面氯離子濃度，%。

由于式(5)是一個(gè)二階偏微分的方程，因此，通過該方程來求解還是存在一定難度的。但結(jié)合Fick第二擴(kuò)散定律來看，能夠通過計(jì)算獲得式(5)的解析解。因?yàn)檫吔鐥l件需要的是齊次的，所以此處需假設(shè)C=c-cs，將該條件代入到式(5)中可得到(6)：

(6)

此時(shí)，結(jié)合假設(shè)條件C=c-cs，通過疊加原理便可計(jì)算得到式(6)的解析解：

式中，kn—方程J0(Knr)=0的根。

那么此時(shí)通過計(jì)算零階和一階貝塞爾函數(shù)便可獲得PCCP圓形截面氯離子的擴(kuò)散過程。此處為了獲得參數(shù)knr的部分取值，借助了前人構(gòu)建的氯離子濃度變化公式，見式(8)；通過式(8)能夠直觀地將鋼筋影響氯離子濃度變化情況展現(xiàn)出來。

(8)

式中，A—鋼筋影響氯離子濃度的情況；β—無量綱的參數(shù)。

通過式(8)對方程J0(Knr)=0中的前6個(gè)正零點(diǎn)參數(shù)knr進(jìn)行計(jì)算，得到對應(yīng)的取值，見表1。

表1 參數(shù)knr前6個(gè)正零點(diǎn)的取值

5 基于改進(jìn)Fick第二定律的案例分析

5.1 案例分析一

此處以一批圓形截面混凝土試件作為研究對象，對其進(jìn)行案例分析。其中，等級強(qiáng)度和截面半徑分別為C60和600mm。在前人實(shí)際檢測結(jié)果的基礎(chǔ)上，即氯離子濃度、混凝土擴(kuò)散系數(shù)以及混凝土標(biāo)明氯離子濃度分別為0、9.38cm2/a、0.565%時(shí)，根據(jù)式(7)與表1，得到了氯離子在圓形截面下不同服役年限期間的濃度分布規(guī)律。同時(shí)，為了體現(xiàn)氯離子在不同截面下的濃度分布情況，通過式(2)計(jì)算得到了氯離子在普通截面下的濃度分布情況，具體如圖4所示。

圖4 氯離子在圓形截面和普通截面下的濃度分布情況

可以看出，雖然氯離子濃度在圓形截面半徑方向上的分布情況隨著時(shí)間的推移，會呈現(xiàn)出的較大的變化趨勢，但是變化幅度與時(shí)間沒有線性關(guān)系。相比之下，氯離子在圓形截面下濃度增長率比普通截面下的增長率要快。同時(shí)，在時(shí)間的推移下，其展現(xiàn)出來的濃度差距就更為明顯，進(jìn)一步闡明了圓形截面結(jié)構(gòu)容易受到氯離子侵蝕的觀點(diǎn)。

5.2 案例分析二

此處以一批圓形截面混凝土試件為研究對象，對氯離子在不同截面半徑下的濃度分布情況進(jìn)行案例分析，令其各自的半徑分別為200、400以及600mm，同樣在前人測得的實(shí)際結(jié)果基礎(chǔ)上，計(jì)算氯離子在不同截面半徑的圓形混凝土試件暴露在15和30a后的濃度分布情況，具體如圖5所示。

圖5 氯離子在不同截面半徑下的濃度分布情況

可以看出，氯離子的擴(kuò)散速度隨著截面半徑的減小而增大，氯離子濃度隨著截面半徑的增大而減小。同時(shí)，截面擴(kuò)散隨著截面半徑的不斷增大而逐步向普通一維半無限體趨近。

6 結(jié)語

本文首先構(gòu)建了基于Fick第二定律的混凝土氯離子擴(kuò)散修正模型；其次，對氯離子在不同截面下擴(kuò)散情況進(jìn)行分析，表明了氯離子在圓形截面下的擴(kuò)散情況比普通截面要顯著的觀點(diǎn)，同時(shí)發(fā)現(xiàn)一維擴(kuò)散方程不再適用圓形截面的求解，因此重新構(gòu)建新的氯離子擴(kuò)散方程；最后，通過案例分析進(jìn)一步點(diǎn)明了氯離子在圓形截面下的擴(kuò)散分布情況比普通截面要顯著的觀點(diǎn)。本研究對氯離子侵蝕環(huán)境下預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)耐久性設(shè)計(jì)和壽命預(yù)測方面具有一定的參考意義，但由于本人的水平有限，且研究時(shí)間較短，因此在實(shí)際運(yùn)用方面可能會存在些許不足的地方，望后續(xù)類似工程加以改進(jìn)。