葉立軍，鄧曉彤

一、問題提出

隨著教育改革的不斷推進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)。2015年浙江省教育廳在《關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導(dǎo)意見》中按照教育功能將課程分為基礎(chǔ)性課程和拓展性課程。數(shù)學(xué)拓展性課程作為數(shù)學(xué)課程的延伸，在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面也起到了重要的作用。拓展性課程可以保護(hù)和培養(yǎng)每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動(dòng)每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，開發(fā)和培育每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能和特長(zhǎng)，讓每一位學(xué)生愉快學(xué)習(xí)、幸福成長(zhǎng)。［1］

二、數(shù)學(xué)拓展性課程特征

拓展性課程是由學(xué)校自主開發(fā)、開設(shè)，供學(xué)生自主選擇的課程。［2］堅(jiān)持“以生為本，個(gè)性發(fā)展”原則，旨在鍛煉學(xué)生自主選擇能力、提高學(xué)生的興趣、發(fā)展學(xué)生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，其具有以下特征：

選擇性。拓展性課程是充分利用校內(nèi)外資源，由學(xué)校和地方自主開發(fā)的拓展性課程。［3］學(xué)生根據(jù)自身需求，自主選擇課程。因此拓展性課程與基礎(chǔ)性課程的重要區(qū)別是，學(xué)生可以根據(jù)自己的興趣自主選擇課程。

層次性。拓展性課程可分為普及型和提高型兩類拓展性課程，針對(duì)這兩類課型，提出不同的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，滿足不同層次學(xué)生的需求。

實(shí)踐性。拓展性課程以學(xué)為中心，倡導(dǎo)學(xué)生自主探究。拓展性課程為學(xué)生提供了動(dòng)手操作和實(shí)踐的機(jī)會(huì)。［4］學(xué)生在實(shí)踐操作中學(xué)習(xí)知識(shí)技能，加深了對(duì)知識(shí)的理解，鍛煉了動(dòng)手實(shí)踐能力。

豐富性。拓展性課程是由當(dāng)?shù)鼗驅(qū)W校根據(jù)自身的特色，自主開發(fā)研究的課程。拓展性課程內(nèi)容具有廣泛應(yīng)用型、豐富型的特征。

三、數(shù)學(xué)拓展性課程開發(fā)原則

拓展性課程遵循“學(xué)為中心”的課程理念。學(xué)生是教學(xué)的主體，是課堂教學(xué)的對(duì)象。［5］以學(xué)生的視角設(shè)計(jì)課程內(nèi)容，給予學(xué)生更大的學(xué)習(xí)自主權(quán)和學(xué)習(xí)空間。［6］讓學(xué)生經(jīng)歷自主探索、合作交流的過程，增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力。

（一）圍繞立德樹人強(qiáng)化育人目標(biāo)

拓展性課程強(qiáng)化學(xué)科德育，落實(shí)課程思政，實(shí)現(xiàn)育人價(jià)值。拓展性課程通過深入挖掘課程內(nèi)容的德育元素，在教學(xué)中滲透學(xué)科育人功能，寓教于樂，發(fā)展學(xué)生的德育素養(yǎng)。如，“分式比大小哪種加油方式更合算”既滲透了勤儉節(jié)約的傳統(tǒng)美德，也滲透了“勿以善小而不為，勿以惡小而為之”的德育思想。

（二）基于數(shù)學(xué)學(xué)科構(gòu)建課程體系

當(dāng)前，不少拓展性課程打破了學(xué)科課程體系，忽略學(xué)科知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性，出現(xiàn)了拓展性課程知識(shí)碎片化的現(xiàn)象。《數(shù)學(xué)新探索》秉承“學(xué)為中心”的理念，把數(shù)學(xué)教材作為拓展性課程重要資源，重視知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，深入挖掘教材中的顯性知識(shí)和隱性知識(shí)，并對(duì)教材中的知識(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)赝卣购脱由?，?gòu)建了拓展性課程體系，實(shí)現(xiàn)了拓展性課程知識(shí)的邏輯化和系統(tǒng)性。

當(dāng)陸游一時(shí)的創(chuàng)作心境達(dá)到相對(duì)平和的境界時(shí)，他甚至有“平生幽事還拈起，未覺巴山異故鄉(xiāng)”(《林亭書事》)的平等感悟。因此在梁益時(shí)期，陸游的情緒也并非全是哀愁傷感，他筆下的地域也并非都籠罩著慘淡悲涼。

（三）生活內(nèi)容數(shù)學(xué)化，實(shí)現(xiàn)教育內(nèi)容課程化

數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。拓展性課程的開發(fā)要充分考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和年齡特征，課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的生活實(shí)際。《數(shù)學(xué)新探索》把數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際相融合，幫助學(xué)生深入淺出地學(xué)習(xí)知識(shí)，提高學(xué)生的知識(shí)遷移能力和實(shí)際問題解決能力，實(shí)現(xiàn)教育內(nèi)容課程化。如，“生活中的數(shù)學(xué)水費(fèi)怎樣計(jì)價(jià)”的內(nèi)容源于生活實(shí)際，貼近學(xué)生的生活，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

（四）滲透數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)校本化

在我國(guó),發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)已成為深化課程改革、落實(shí)立德樹人教育目標(biāo)的基礎(chǔ)。［7］《數(shù)學(xué)新探索》在編寫過程中十分重視滲透數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。如,“用生銹圓規(guī)作圖”體現(xiàn)數(shù)學(xué)化歸思想，“三角形的分割能分割的等腰三角形有幾種”體現(xiàn)有序思考和分類思想。通過這些拓展性課程的學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的校本化。

四、拓展性課程開發(fā)路徑及案例

（一）游戲激趣，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)游戲是以數(shù)學(xué)知識(shí)為目的，以游戲教學(xué)為手段的一種數(shù)學(xué)教學(xué)形式。［8］數(shù)學(xué)游戲可以提高學(xué)生的求知欲，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，在游戲中潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)很少以數(shù)學(xué)活動(dòng)展開，因此數(shù)學(xué)游戲可以彌補(bǔ)基礎(chǔ)性課程對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的缺失，作為拓展性課程的開發(fā)路徑。

案例1.《數(shù)學(xué)新探索》七上第2.4節(jié)“借助撲克牌學(xué)數(shù)學(xué) 24點(diǎn)數(shù)學(xué)游戲”。［9］（P43）本節(jié)是以撲克牌湊 24 點(diǎn)的方式展開數(shù)學(xué)教學(xué)，章節(jié)的問題部分如下：一副撲克牌中抽去大小王剩下52張，把A、J、Q、K分別看成1、11、12、13。從中任意抽取4張牌，用加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算符號(hào)連接，使牌面上的數(shù)的運(yùn)算結(jié)果為24，每張牌必須用且只能用一次，如圖1所示。

案例將有理數(shù)的混合運(yùn)算與生活中常見的撲克游戲相聯(lián)系，借助撲克牌的點(diǎn)數(shù)計(jì)算出“24點(diǎn)”，并總結(jié)出用撲克牌湊出“24點(diǎn)”的計(jì)算規(guī)律。通過游戲與數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)結(jié)，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用之廣、樂趣之多，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

圖1“24點(diǎn)數(shù)學(xué)游戲”內(nèi)容樣圖

（二）文化熏陶，豐富數(shù)學(xué)教育內(nèi)涵

數(shù)學(xué)既是科學(xué)又是一種文化。［10］了解數(shù)學(xué)文化，可以厘清知識(shí)發(fā)生發(fā)展脈絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，避免學(xué)生片面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)文化在基礎(chǔ)性課程的課堂教學(xué)中容易被教師忽視，因此教學(xué)中加入數(shù)學(xué)史料對(duì)數(shù)學(xué)教育有著很大的意義，將數(shù)學(xué)文化作為拓展性課程的開發(fā)路徑之一，可以豐富數(shù)學(xué)教育內(nèi)涵，提高學(xué)生的民族自豪感，產(chǎn)生數(shù)學(xué)文化共鳴。

案例2.《數(shù)學(xué)新探索》九上第3.7節(jié)“名題欣賞化圓為方”。［9］（P96）“化圓為方”是古希臘三大作圖問題之一，即求一正方形，使其面積等于一給定圓的面積，此節(jié)的學(xué)習(xí)目標(biāo)為：了解并欣賞關(guān)于圓的古代經(jīng)典數(shù)學(xué)問題，感受圓形的美妙、神奇，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。掌握并能夠利用圓的基本性質(zhì)解決相關(guān)問題。

案例涉及到了三個(gè)與數(shù)學(xué)史相關(guān)的問題，分別是希臘幾何學(xué)家希波克拉底提出的“月形定理”、中國(guó)《九章算術(shù)》中“圓材埋壁”問題和婆羅摩笈多定理。通過將數(shù)學(xué)史與圓的知識(shí)相聯(lián)系，學(xué)生在了解數(shù)學(xué)歷史、產(chǎn)生文化共鳴的同時(shí)拓展了關(guān)于圓的知識(shí)。

（三）實(shí)驗(yàn)探究，提升數(shù)學(xué)探究能力

拓展性課程倡導(dǎo)以學(xué)生自主探究為主，提倡課內(nèi)外學(xué)習(xí)融合。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是以問題為出發(fā)點(diǎn)，以獲得數(shù)學(xué)結(jié)果為目標(biāo)，充分展示探究過程的教與學(xué)的活動(dòng)。［11］因此拓展性課程的開發(fā)以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為路徑，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的求知欲，培養(yǎng)獨(dú)立思考和合作交流的意識(shí)，提升探究能力。

案例3.《數(shù)學(xué)新探索》九上第4.5節(jié)“高度的測(cè)量方法 校園中的古樹有多高”。［9］（P136）案例的學(xué)習(xí)目標(biāo)如下：通過計(jì)算測(cè)量樹的高度的方案，掌握測(cè)量高度的不同方法，鞏固特殊三角形、相似三角形等有關(guān)知識(shí)，積累高度測(cè)量的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。通過小組合作，實(shí)地操作測(cè)量，增強(qiáng)動(dòng)手操作能力和合作意識(shí)，經(jīng)歷成功的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。熟悉測(cè)量工具的使用技能，了解小鏡子使用的物理原理。

案例讓學(xué)生借助多種方法測(cè)量出古樹的高度，經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程。因此開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)專題，可以引發(fā)學(xué)生的求知欲，促進(jìn)了學(xué)生綜合能力的提升。

（四）聯(lián)系生活，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想

課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的基本理念，把實(shí)際生活中的知識(shí)內(nèi)化為課本知識(shí)，不僅能豐富拓展性課程的內(nèi)容，也可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想和問題解決意識(shí)，因此從實(shí)際生活中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)也是開發(fā)拓展性課程的有效途徑之一。

案例4.《數(shù)學(xué)新探索》九上第3.2節(jié)“數(shù)學(xué)建模隧道的限高是怎么確定的”。［9］(P61)案例中的引言部分如下：我國(guó)《城市道路工程設(shè)計(jì)規(guī)范CJJ37-2012》規(guī)定：高速公路、一級(jí)公路、二級(jí)公路上的隧道限高為5米，三級(jí)公路、四級(jí)公路上的隧道限高為4.5米。隧道的限高是怎么確定的？為什么不同等級(jí)公路隧道的限高不一樣的呢？學(xué)習(xí)目標(biāo)如下：通過了解隧道限高確定的過程，進(jìn)一步掌握垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用。理解運(yùn)用“弓形”等數(shù)學(xué)模型解決生活中隧道問題的方法，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

案例是將日常生活隧道中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化為拓展性教材中的內(nèi)容。在隧道限高的背景下，抽象出數(shù)學(xué)問題，并且利用垂徑定理和勾股定理的數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題，最后解決實(shí)際問題。把生活中的知識(shí)內(nèi)化為拓展性課程的知識(shí)，可以促進(jìn)核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)建模思想的形成，培養(yǎng)問題解決意識(shí)。

（五）挖掘隱性知識(shí)，滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的基本要素之一，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法可以幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過程，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力。關(guān)注教材中的隱性知識(shí)，挖掘其背后的數(shù)學(xué)思想，并將數(shù)學(xué)思想滲透于拓展性課程當(dāng)中，可以作為拓展性課程的開發(fā)路徑之一。

案例5.《數(shù)學(xué)新探索》八上第1.7節(jié)“探求證明的思路你是怎樣想到的”。［9］(P40-41)該節(jié)在問題部分呈現(xiàn)了一道關(guān)于三角形全等的證明題如圖2所示，然后用兩種思路解決該問題，其中問題的歸納部分如下：思路一的思考方法是由已知條件，結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的正確結(jié)論（包括定義、定理等），逐步推出為未知結(jié)論的方法，即“由因?qū)Ч?，這樣的思維方法叫綜合法。思路二的思考方法是從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步探索使結(jié)論成立的理由，最后回到已知條件，這樣的思維方法稱為分析法，可概括為“執(zhí)果索因”。

圖2“你是怎樣想到的”內(nèi)容樣圖

案例在運(yùn)用全等三角判定的證明過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，即綜合法和分析法。促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)推理和證明的方法，提高邏輯思維。通過潛移默化地滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生分析和解決問題的能力。

（六）適度拓展基礎(chǔ)知識(shí)，開闊數(shù)學(xué)視野

拓展性課程是基礎(chǔ)性課程的延伸和應(yīng)用，以基礎(chǔ)性課程中的知識(shí)為依據(jù)開發(fā)拓展性課程可以對(duì)基礎(chǔ)性知識(shí)起到有效的補(bǔ)充。適度的拓展基礎(chǔ)知識(shí)，不僅可以加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)教材知識(shí)的理解，還可以開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，不斷提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力。

案例6.《數(shù)學(xué)新探索》八上第2.3節(jié)“勾股定理拓展尋找勾股數(shù)”。［9］（P66）案例中的教學(xué)進(jìn)度為：在學(xué)習(xí)課本2.7節(jié)“探索勾股定理”后研究這個(gè)課題。學(xué)習(xí)目標(biāo)如下：通過一些特殊的勾股例子，尋找一般勾股數(shù)的規(guī)律。能夠判斷一組數(shù)是不是勾股數(shù)，并進(jìn)行證明。

案例是對(duì)基礎(chǔ)課程中勾股定理內(nèi)容的拓展，基礎(chǔ)教材中介紹了勾股定理及其逆定理，本節(jié)是在其基礎(chǔ)上繼續(xù)探究勾股數(shù)的規(guī)律，通過學(xué)習(xí)可以加深學(xué)生對(duì)勾股定理的理解，開闊數(shù)學(xué)視野,提升數(shù)學(xué)能力。

總之，有效的課程開發(fā)路徑有利于拓展性課程實(shí)施，激發(fā)學(xué)生的興趣，促進(jìn)學(xué)生個(gè)性化發(fā)展，增強(qiáng)自主選擇意識(shí)，實(shí)現(xiàn)課程育人價(jià)值。