許超超，倪 萍，顧 穎，何 軍

(上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240)

作為一種移動(dòng)式鉆井裝備，自升式海洋平臺(tái)在我國海上油氣資源開發(fā)中占據(jù)著重要地位.在自存和作業(yè)工況下，自升式海洋平臺(tái)均遭受隨機(jī)波浪的作用.平臺(tái)運(yùn)動(dòng)方程的非線性導(dǎo)致平臺(tái)的振動(dòng)響應(yīng)往往是非Gaussian分布的隨機(jī)過程.由于自升式海洋平臺(tái)的可靠性及風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估是基于平臺(tái)的極限狀態(tài)進(jìn)行的，所以確定隨機(jī)波浪荷載作用下平臺(tái)響應(yīng)的極值分布，特別是極值分布的尾部(超越概率約為10-5～10-3)，是非常有必要的.基于上述兩個(gè)原因，研究隨機(jī)波浪荷載作用下自升式海洋平臺(tái)的極值響應(yīng)估計(jì)問題，雖然比較困難，但具有非常重要的工程價(jià)值.

到目前為止，研究人員已經(jīng)提出一些結(jié)構(gòu)或海洋平臺(tái)的極值響應(yīng)估計(jì)方法.Shinozuka[1]提出簡單結(jié)構(gòu)(如線性結(jié)構(gòu))極值響應(yīng)估計(jì)的Monte Carlo(MC)模擬方法，但對于非線性結(jié)構(gòu)，MC模擬方法所需的時(shí)間較長，且計(jì)算精度難以保證.Bucher[2]基于MC模擬方法提出一種漸近抽樣法，該方法僅需較少的樣本數(shù)量(幾千個(gè)樣本)即可準(zhǔn)確地估計(jì)線性或非線性結(jié)構(gòu)的極值響應(yīng)的尾部及微小超越概率.然而，這種漸近關(guān)系只對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的極限狀態(tài)函數(shù)成立，當(dāng)安全界限發(fā)生改變時(shí)，需要重新進(jìn)行抽樣.Luca等[3]采用尾部等價(jià)線性化法對一個(gè)平穩(wěn)Guassian波浪過程作用下的自升式海洋平臺(tái)進(jìn)行橫蕩響應(yīng)分析，結(jié)果表明：尾部等效線性化法對海洋結(jié)構(gòu)的平穩(wěn)響應(yīng)分析具有良好的適用性；對于具有非平穩(wěn)響應(yīng)或高可靠性的結(jié)構(gòu)，尾部等效線性化法的計(jì)算精度及效率明顯降低.Balesdent等[4]在Kriging抽樣法的基礎(chǔ)上，提出一種方差縮減的MC模擬方法，工程試驗(yàn)結(jié)果表明，該方法在樣本數(shù)量較少時(shí)仍有較高的計(jì)算精度.文獻(xiàn)[5]假設(shè)結(jié)構(gòu)極值響應(yīng)分布近似服從移位廣義對數(shù)正態(tài)分布(SGLD)，并結(jié)合兩支撐點(diǎn)參數(shù)估計(jì)法，提出一種估計(jì)結(jié)構(gòu)極值響應(yīng)的加速模擬方法，相比于MC模擬方法，該方法大大提高了計(jì)算效率及計(jì)算精度.

基于SGLD的極值估計(jì)方法已被用于非線性結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震響應(yīng)的極值估計(jì)中[5-6].由于自升式海洋平臺(tái)運(yùn)動(dòng)方程的非線性來源于非線性的波浪力，而不是來源于結(jié)構(gòu)的滯回恢復(fù)力，該方法是否適用于隨機(jī)波浪作用下自升式海洋平臺(tái)的極值響應(yīng)估計(jì)，需要進(jìn)一步研究.本文通過發(fā)展基于SGLD的極值估計(jì)方法，提出一種隨機(jī)波浪作用下自升式海洋平臺(tái)極值響應(yīng)的估計(jì)方法，并通過實(shí)際平臺(tái)的極值響應(yīng)分析驗(yàn)證所提方法的有效性.

1 隨機(jī)波浪作用下自升式海洋平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)O-xyz坐標(biāo)的z軸垂直向上，x軸垂直紙面向外，y軸水平向右.對于隨機(jī)波浪荷載作用下的自升式海洋平臺(tái)，其力學(xué)模型可簡化為一個(gè)單自由度系統(tǒng)，且通常具有類似于結(jié)構(gòu)振動(dòng)第一振型ψ(z)的整體變形.因此，自升式海洋平臺(tái)的隨機(jī)振動(dòng)方程可寫為[7]

(1)

考慮到波浪荷載的隨機(jī)特性，需要重點(diǎn)分析平臺(tái)隨機(jī)振動(dòng)的極值響應(yīng).平臺(tái)橫蕩位移的極值響應(yīng)定義為

(2)

式中：T為平臺(tái)振動(dòng)持時(shí).

對于小尺度海洋結(jié)構(gòu)(D/L≤0.2，D為樁徑，L為入射波波長)，Morison于1950年提出作用在海洋結(jié)構(gòu)物單位長度樁柱上波浪力的計(jì)算公式[8]：

(3)

式中：第1項(xiàng)為拖曳力；第2項(xiàng)為慣性力；v(z,t)和a(z,t)分別為水質(zhì)點(diǎn)的水平速度和加速度；ρ為海水密度；CD為拖曳力系數(shù)；CM為慣性力系數(shù).

由式(3)可知，水質(zhì)點(diǎn)速度項(xiàng)v(z,t)|v(z,t)|使得Morison力表現(xiàn)出非線性的性質(zhì).采用隨機(jī)等價(jià)線性化方法，將式(3)中的速度項(xiàng)作線性化處理，則可得

(4)

式中：σv為v(z,t)的均方差.隨機(jī)波浪力的等價(jià)線性化表達(dá)式為

(5)

當(dāng)海洋結(jié)構(gòu)位移速度相對于水流速度不可忽略時(shí)，Morison方程需做相應(yīng)修改，修改后的Morison方程可表示為[8]

(6)

(7)

式中：σΔv為Δv的均方差

2 自升式海洋平臺(tái)的極值響應(yīng)分布模型

自升式海洋平臺(tái)的非線性性質(zhì)使得從理論上推導(dǎo)平臺(tái)極值響應(yīng)的精確解變得非常困難，因此需要選擇合適的分布模型來近似估計(jì)該平臺(tái)的極值響應(yīng)分布.Low[9]基于移位對數(shù)正態(tài)分布模型及指數(shù)冪分布模型，提出具有4個(gè)參數(shù)的SGLD模型.對于服從SGLD的隨機(jī)變量C，其概率密度函數(shù)表達(dá)式如下：

(8)

b

式中：s為平臺(tái)橫蕩響應(yīng)位移；b為位置參數(shù)；θ為模參數(shù)；γ>0,κ>0分別為型參數(shù)(雙參數(shù))；系數(shù)α的表達(dá)式為

(9)

Γ(·)為伽馬函數(shù).由式(8)可得SGLD模型的累積分布函數(shù)理論表達(dá)式為

(10)

b

式中：

為不完全伽馬函數(shù).

由于SGLD模型綜合了移位對數(shù)正態(tài)分布及指數(shù)冪分布模型在偏態(tài)及峰態(tài)上的分布特性，在形狀上擁有足夠的靈活性，所以特別適用于近似估計(jì)平臺(tái)極值響應(yīng)的分布，尤其是尾部分布.

目前，估計(jì)SGLD模型中的4個(gè)參數(shù)常采用矩方法、最大似然法等方法.但是，這些方法的計(jì)算量大且效率不高，對微小首次穿越概率問題的尾部估計(jì)不夠準(zhǔn)確，并不適用于非線性隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng).He等[5]提出“兩支撐點(diǎn)參數(shù)估計(jì)法”用以提高計(jì)算效率.該方法的基本思想：由隨機(jī)模擬方法估計(jì)出兩個(gè)較大的超越概率P1≈10-1，P2≈10-2及兩者對應(yīng)的樣本點(diǎn)s1、s2；在兩個(gè)支撐點(diǎn)(s1,P1)和(s2,P2)已知的情況下，分別用1-P1和1-P2替換式(10)中的FC(s)，并用s1、s2替換變量s，得到下列非線性方程組：

(11)

式(10)中的b及θ可由γ及κ確定[9]，故非線性方程組式(11)實(shí)際上含有兩個(gè)獨(dú)立變量γ和κ，可由牛頓迭代法求解，進(jìn)而得到自升式海洋平臺(tái)極值響應(yīng)的近似SGLD.由于超越概率P1和P2可通過較少的響應(yīng)樣本進(jìn)行估計(jì)，使得該平臺(tái)的極值響應(yīng)及其尾部分布的估計(jì)效率大大提高，加快了隨機(jī)模擬的收斂速度.

3 隨機(jī)波浪譜和自升式海洋平臺(tái)的響應(yīng)樣本

大量海浪實(shí)測記錄統(tǒng)計(jì)分析表明：近海結(jié)構(gòu)物所受的隨機(jī)波浪力是均值為0的平穩(wěn)隨機(jī)過程.因此對于一般海況，可以認(rèn)為其波高是服從Gaussian分布的.這里考慮線性長峰波，則η(y,t)為[7]

(12)

式中：εi為相位差；ωi和ki分別為離散頻率和波數(shù)，

單位長度樁腿上作用的波浪力q(y,z,t)可以通過修改后的Morison方程計(jì)算，代入相應(yīng)參數(shù)后可得

|v(y,z,t)-vleg(y,z,t)|

(13)

式中：v(y,z,t)為y處水質(zhì)點(diǎn)的水平速度；vleg(z,t)為自升式平臺(tái)樁腿的速度，

φ(y,z,t)為波勢.對于線性單向波，位于φ(y,z,t)處水質(zhì)子的水平速度為[7]

v(y,z,t)=

(14)

vi(y,z,t)=

圖1 平臺(tái)響應(yīng)樣本計(jì)算流程圖Fig.1 Calculation flowchart of platform response sample

4 算例分析

4.1 自升式海洋平臺(tái)模型及其響應(yīng)樣本

研究所用自升式海洋平臺(tái)為文獻(xiàn)[10]中使用的平臺(tái)，其簡化示意圖如圖2所示.假定：d=90 m；平臺(tái)主體位于3條具有相同結(jié)構(gòu)的樁腿上，每條樁腿長Lleg=80+35.2=115.2 (m)；考慮單項(xiàng)波流向位于y=0 m處的2條樁腿，上波腿和下波腿間的水平距離Δy=52 m.

圖2 簡化后的自升式海洋鉆井平臺(tái)模型(m)Fig.2 Simplified model of jack-up platform model (m)

由于樁腿下部屬于鉸接構(gòu)造，而上部與船體之間屬于剛接構(gòu)造，故其基本振型取為[7]

(15)

圖3為y=0 m和y=52 m樁腿處的5個(gè)隨機(jī)海浪波高樣本；由4階Runge-Kutta法求得的、與這些波高樣本相對應(yīng)的自升式海洋平臺(tái)橫蕩響應(yīng)樣本如圖4所示.

圖4 5個(gè)平臺(tái)響應(yīng)樣本Fig.4 Five platform response samples

4.2 極值響應(yīng)及超越概率估計(jì)

重復(fù)上述數(shù)值模擬求解過程105次.假設(shè)平臺(tái)橫蕩的安全界限ζ=3.7 m，則在10萬個(gè)樣本容量下得到平臺(tái)橫移的超越概率Pf=9×10-5，相應(yīng)的可靠度指標(biāo)β=3.745 55.

假設(shè)兩個(gè)支撐點(diǎn)處的超越概率為P1=10-1，P2=10-2，由 2×103～5×103個(gè)極值樣本確定兩個(gè)超越概率較大的支撐點(diǎn)(s1,P1)和(s2,P2)，利用兩支撐點(diǎn)參數(shù)估計(jì)法估計(jì)移位廣義對數(shù)正態(tài)分布模型的4個(gè)參數(shù)，從而近似得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值的尾部分布函數(shù)FC(s).平臺(tái)橫蕩位移s>ζ表示失效，故超越概率Pf=1-FC(ζ).由基于樣本數(shù)N=2×103，3×103，4×103，5×103的SGLD模型獲得的超越概率和直接由MC模擬方法計(jì)算得到的超越概率對比如圖5所示.由圖5可見：當(dāng)ζ≤2.3 m時(shí)，MC模擬方法獲得的計(jì)算結(jié)果與基于SGLD模型得到的近似結(jié)果較為吻合；當(dāng)ζ>2.3 m時(shí)，由于樣本容量(2×103～5×103個(gè))太小，MC模擬方法并不能給出合理的超越概率估計(jì)值.

圖5 不同N下SGLD模型與MC模擬方法對比Fig.5 The comparison of SGLD model MC simulation method fitting curves at different N

圖6 SGLD模型擬合結(jié)果與N=1×105時(shí)MC極值分布對比Fig.6 Comparison of SGLD model fitting results and 105 times MC extreme value distribution

5 結(jié)論

本文提出一種估計(jì)隨機(jī)波浪作用下自升式海洋平臺(tái)極值響應(yīng)的加速模擬方法.以某自升式平臺(tái)為例，具體論述了該方法的分析流程及平臺(tái)響應(yīng)樣本的計(jì)算方法，并驗(yàn)證了該方法的計(jì)算精度和計(jì)算效率.研究的主要結(jié)論有：

(1) 在估計(jì)自升式海洋平臺(tái)的極值響應(yīng)時(shí)，本文方法一般只需2×103個(gè)響應(yīng)樣本即可非常準(zhǔn)確地估計(jì)出超越概率為10-5～10-3的平臺(tái)極值響應(yīng)尾部分布；而直接MC模擬方法則至少需要106個(gè)樣本數(shù)據(jù)，才能粗略估計(jì)具有相同超越概率的尾部分布.因此，與直接MC模擬方法相比，本文方法具有很高的計(jì)算效率.

(2) 為了得到超越概率介于10-5～10-3的尾部分布，兩個(gè)支撐點(diǎn)的超越概率可近似選為P1=10-1，P2=10-2.

(3) 在計(jì)算精度大致相同的條件下，如果需要進(jìn)一步提高本文方法的計(jì)算效率，可以采用Sobol抽樣或者拉丁超立方方法來估計(jì)兩個(gè)支撐點(diǎn)的超越概率.