□ 王 敏 吳敏霞 趙雨晴 鞏子坤

一、引言

運算能力是一項重要的素養(yǎng)。王光明等指出：運算正確、合理是運算能力的主要特征，理解算理是學生正確地、迅速地運算的基礎(chǔ)[1]。因此，運算能力，不僅包括能正確地運算，更包括理解算理[2]。

分數(shù)知識是小學數(shù)學中很重要的內(nèi)容，“分數(shù)除法”又是分數(shù)學習的重中之重[3]。對于分數(shù)除法而言，掌握法則很容易，而理解算理比較困難[4]。H·Wu指出，教師在進行分數(shù)除法教學時往往要求學生記住“顛倒相乘”的運算法則，這種忽視數(shù)學基本原則的教學使得數(shù)學學習變成死記硬背的學習，失去它原有的意義[5]。這導致有些學生在進行分數(shù)除法運算時，出現(xiàn)把被除數(shù)的分子分母顛倒再與除數(shù)相乘的錯誤，這是學生沒有理解分數(shù)除法算理導致的[6]。

因而，如何使學生在理解算理的基礎(chǔ)上，掌握法則，進而實現(xiàn)“算理貫通、理法融合”，是一項重要的研究課題。這就需要我們提供適合的表征分數(shù)除法算理的方式，設(shè)計合理的學習任務(wù)序列（即學習路徑）[7][8]，以幫助學生理解算理，提升運算能力。鞏子坤團隊通過行動研究法，得到了有利于學生理解算理的學習路徑，包括：分數(shù)除以整數(shù)[9]；一個數(shù)除以分數(shù)[10]。

另外，研究顯示：表征是判斷學生對某個數(shù)學概念是否理解的重要證據(jù)[11]。理解分數(shù)除法算理，也就是能用多種表征方式來解釋和說明運算法則的合理性。鞏子坤等的研究表明，有四種表征方式（程序表征、直觀表征、抽象表征、形式表征）[12][13][14]。本研究主要選擇后三種。

我們常常說“以學定教”，就是說，要從學生的知識基礎(chǔ)與認知特點出發(fā)，設(shè)計合理的任務(wù)序列即學習路徑，采用合適的表征方式。對于分數(shù)除法的教學亦然。因此，借鑒鞏子坤團隊設(shè)計的問卷，從教師的視角，探查在教師的心目中：（1）學生易于理解的表征分數(shù)除法算理的方式是什么？隨著任務(wù)難度的變化，這些表征方式變化的趨勢是什么？（2）合理的學習路徑是什么？

二、研究設(shè)計

（一）研究對象

選擇來自四所不同學校的44名教師，其中男教師17名，女教師27名；23名教師教過分數(shù)除法，21名教師沒有教過分數(shù)除法。教齡在0-5年的教師10名，在6-10年的8名，在11-15年的4名，在16-20年的12名，20年以上的10名。

（二）問卷編制

問卷由兩部分構(gòu)成，第一部分是選擇題，一共7個任務(wù)。任務(wù)1到任務(wù)3為分數(shù)除以整數(shù)，采用平均分模型，即分數(shù)除以整數(shù)（被除數(shù)的分子能夠被整除），單位分數(shù)除以整數(shù)，分數(shù)除以整數(shù)（被除數(shù)的分子不能被整除）；任務(wù)4到任務(wù)7為一個數(shù)除以分數(shù)，采用包含除模型（任務(wù)4到任務(wù)6為整數(shù)除以分數(shù)，分別為1除以單位分數(shù)、1除以非單位分數(shù)、整數(shù)除以分數(shù)；任務(wù)7為分數(shù)除以分數(shù)）。每個任務(wù)有三個選項，分別是直觀表征、抽象表征和形式表征，請教師選擇最容易理解、比較容易理解和最不容易理解的表征方式，并要求說明選擇時的理由。

（1）直觀表征。

圖1 直觀表征示意圖

（2）抽象表征。

1l牛奶里有1個；還剩

所以，1l牛奶可以裝

（3）形式表征。

問卷第二部分請教師選擇問卷中呈現(xiàn)的分數(shù)除法的學習路徑是否合理，若不合理，請?zhí)峁┬碌娜蝿?wù)序列。

（三）研究方法

問卷法和訪談法相結(jié)合。在教師完成問卷之后，通過訪談進一步了解教師選擇各種表征方式的理由以及對問卷提供的學習路徑的看法。

對教師的選擇進行賦分，最容易理解的表征方式賦為3分，比較容易理解的賦為2分，最不容易理解的賦為1分。對教師的選擇理由進行分類編碼，如表1所示，2-2表示教師認為提供的表征方式比較復(fù)雜，學生不容易理解。

表1 理由分類表

對各個變量的測量指標進行信度分析，直觀、抽象、形式表征的cronbach's α系數(shù)分別為0.735、0.778、0.785，均大于0.7，問卷具有較好的內(nèi)部一致性。

三、研究結(jié)果

（一）三種表征方式

1.三種表征方式的得分情況

對教師選擇的三種表征的平均分進行統(tǒng)計（見圖2），發(fā)現(xiàn)教師選擇的直觀表征的得分最高，抽象表征其次，形式表征得分最低。說明教師認為直觀表征對學生來說最容易理解，抽象表征比較容易理解，形式表征最不容易理解。

圖2 三種表征平均分統(tǒng)計圖

2.三種表征方式的水平

為了分析教師選擇的三種表征的差異性情況，通過傅萊德曼（Friedman）檢驗分析表征的水平，結(jié)果顯示三種表征得分具有顯著性差異X2(2)=10.686,p＜.05。成對比較分析顯示，教師選擇直觀表征和抽象表征（p=0.236），抽象表征和形式表征（p=0.450）均不存在顯著性差異，即直觀表征和抽象表征、抽象表征和形式表征分別在同一個水平；直觀表征和形式表征（p＜.05）存在顯著性差異，即直觀表征和形式表征不在同一個水平。

由此可見，教師認為對學生而言，直觀表征與形式表征水平相差較大，直觀表征與抽象表征、抽象表征與形式表征差距較小。形式表征得分最低，說明形式表征最不容易理解。因此，總體來看，形式表征處于最高理解水平，抽象表征在中等水平，直觀表征處于最低理解水平。

（二）不同任務(wù)的三種表征方式

1.不同任務(wù)三種表征方式的得分情況

計算每個任務(wù)下直觀表征、抽象表征、形式表征三種表征的平均分（見圖3）?？梢钥闯觯谕荒Ｐ椭?，直觀表征的得分呈下降的趨勢，形式表征的得分呈上升的趨勢，而抽象表征的得分一直處于比較平穩(wěn)的狀態(tài)。說明同一模型中，隨著任務(wù)難度增加，教師選擇的最容易理解的表征方式由直觀表征漸漸轉(zhuǎn)向形式表征。

圖3 不同任務(wù)三種表征方式的得分情況統(tǒng)計圖

2.不同任務(wù)三種表征方式的水平

通過傅萊德曼（Friedman）檢驗分析每個任務(wù)下教師三種表征水平的差異性情況，結(jié)果顯示，任務(wù)1-4和任務(wù)7下教師選擇三種表征得分具有顯著性差異[任務(wù) 1、2、3、4、7 的X2(2)值 分 別 為 ：44.909,24.045,6.045,31.955,10.686 ，所有p＜.05]。任務(wù)5和任務(wù)6，結(jié)果顯示保留原假設(shè)，表明對于這兩個任務(wù)，教師選擇的三種表征都在同一個水平。

成對比較分析顯示，任務(wù)2和任務(wù)4，三種表征兩兩均不在同一個水平（所有p＜.05）。任務(wù)1，抽象表征和形式表征（p=0.057）在同一個水平，直觀表征和抽象表征、形式表征（p＜.05）均不在同一個水平。任務(wù)3，直觀表征和抽象表征（p=0.497）在同一個水平，形式表征和直觀表征、抽象表征（p＜.05）均不在同一個水平。任務(wù)7，直觀表征和抽象表征（p=0.859）在同一個水平,形式表征和直觀表征、抽象表征（p＜.05）均不在同一個水平。

綜上，從任務(wù)1到任務(wù)3，表征水平由直觀表征與另兩種表征均不在同一個水平，轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^表征與抽象表征在同一水平。說明隨著任務(wù)越來越難，三種表征之間水平差距逐漸減小。從任務(wù)4到任務(wù)7同樣如此。任務(wù)7，形式表征已經(jīng)處于最低理解水平，說明隨著難度增加，教師認為形式表征更利于學生理解。

3.學習路徑

被調(diào)查的44名教師中，有43名教師認為可以按照任務(wù)1-7的順序進行教學，只有一位教師認為不可以，但卻沒有提供新的順序。有9名教師提供了簡化方案。教師提供的簡化方案大致是任務(wù)1、任務(wù)3、任務(wù)4、任務(wù)6、任務(wù)7的順序，也是按照分數(shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分數(shù)、分數(shù)除以分數(shù)的順序進行編排。

四、討論與分析

（一）最容易與最不容易理解的表征方式

以下對教師選擇三種表征時給出的理由類型進行分析。將每種理由被提供的次數(shù)進行了統(tǒng)計，如圖4。

圖4 三種表征理由分布圖

可以發(fā)現(xiàn)大多數(shù)教師選擇直觀表征是因為畫圖比較直觀，清晰明了。選擇抽象表征是因為語言解釋是學生經(jīng)常接觸到的，利于知識遷移。選擇形式表征是因為商不變規(guī)律直接應(yīng)用比較方便，并且一部分教師認為形式表征比較抽象，所以相對直觀表征和抽象表征，形式表征比較困難。

（二）不同任務(wù)表征方式的變化趨勢

隨著任務(wù)的變化，直觀表征的得分越來越低。為深入了解教師選擇的理由，選取一位教師的訪談內(nèi)容，如下（T1表示訪談?wù)?，T2表示被訪談教師）：

從上述訪談中，可以發(fā)現(xiàn)對于分數(shù)除以整數(shù)的任務(wù)，當被除數(shù)的分子不能被整數(shù)整除時，圖形并不好畫。直觀表征雖然能夠清晰地看出問題的答案，但有時在操作過程中難以實施。

抽象表征得分一直變化不大。教師選擇抽象表征是因為語言解釋是一種常見的方式，所以抽象表征的得分并不會隨任務(wù)難度不同而發(fā)生明顯波動。

形式表征得分在同一模型中的得分越來越高。教師認為在前面任務(wù)中有所鋪墊了，那么商不變規(guī)律符合學生知識遷移的思維習慣，更容易理解。所以在后面的任務(wù)中才會逐漸選擇形式表征，如下面這段訪談記錄。

T2：我覺得這三種方法運用于商不變性質(zhì)一看就知道。因為我是打通來考慮的，從任務(wù)1開始為商不變性質(zhì)做了鋪墊，所以說到任務(wù)5的時候再用商不變規(guī)律就很自然了。

可見形式表征作為一種理解算理的方法，是在學生具備了一定的認知基礎(chǔ)后，才比較容易被接受。所以教師在前幾個任務(wù)中并沒有傾向于選擇形式表征。

（三）學習路徑

教師基本認為可以按照分數(shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分數(shù)、分數(shù)除以分數(shù)的順序進行教學。教師認為這是“從易到難的順序”“7個任務(wù)的設(shè)計比較完善”。學生學過整數(shù)除以整數(shù)，對除法的理解就是平均分，因此從分數(shù)除以整數(shù)可以理解為將分數(shù)平均分開始，再到整數(shù)除以分數(shù)、分數(shù)除以分數(shù)，符合學生認知規(guī)律。

五、結(jié)論與建議

（一）結(jié)論

（1）教師對三種表征方式的選擇變化分成兩段，呈類似趨勢。

在同一模型中，隨著任務(wù)難度增加，直觀表征的平均得分呈下降趨勢，形式表征逐漸上升，抽象表征變化不大。教師選擇的最容易理解的表征方式從直觀表征轉(zhuǎn)向形式表征。

（2）教師選擇的最容易理解的表征方式隨著任務(wù)不同有所不同。

任務(wù)1到任務(wù)4，教師選擇的最容易理解的表征方式是直觀表征。從任務(wù)5開始漸漸認為形式表征比較容易理解，到任務(wù)7認為形式表征最容易理解。所以對于分數(shù)除法的教學，并不能選擇一種表征方式一以貫之。

（3）7個任務(wù)構(gòu)成的學習路徑有其合理性。

任務(wù)1-7的教學順序?qū)⒔虒W難點，即分數(shù)除法的教學內(nèi)容進行了合理拆分，引導學生對分數(shù)除法的各種情況進行逐一分析、總結(jié)、探究，從而降低教學難度，有利于學生的理解。

（二）建議

問卷中提供的任務(wù)序列得到了44位被試者的一致認可，說明該任務(wù)序列是可行的。而對于不同的任務(wù)，可以選擇不同的表征方式進行教學。

任務(wù)1到任務(wù)4中，直觀表征和抽象表征得分高于形式表征；建議教師對于完成這些任務(wù)，首選直觀表征，其次選擇抽象表征。

任務(wù)5和任務(wù)6中，直觀表征得分最高；任務(wù)5形式表征的得分超越抽象表征。建議教師此時開始鋪墊商不變規(guī)律，即任務(wù)5和任務(wù)6選擇直觀表征，輔之以形式表征解釋算理。

任務(wù)7，屬于分數(shù)除以分數(shù)，是7個任務(wù)中難度最大的。形式表征得分最高。建議教師首選形式表征，輔之以抽象表征解釋算理。