□ 王雪飛 戴銀杏

習題不僅承載著鞏固與練習、拓展與應(yīng)用的基本教學功能，還具有啟迪思維、激勵創(chuàng)新、發(fā)展素養(yǎng)等多重價值，它是學生有效學習的主要載體，是教師教學的根本，也是命題者命題的立足點。綜觀現(xiàn)行的人教版小學數(shù)學教材，習題的編制體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、探究性、實踐性和開放性，如果能用活這些習題，充分發(fā)揮習題的潛在功能，就能讓學生在獲得知識的同時發(fā)展思維能力，體會數(shù)學思想和方法。加強對課本習題的研究，是每一位數(shù)學教師不容忽視的責任。

然而，一線教師在選擇習題、分析習題以及自主命題方面都存在誤區(qū)，導致數(shù)學教學效率低下，學生學業(yè)負擔沉重。誤區(qū)主要有以下三點：一是處理習題過于簡單化。許多教師總是習慣照本宣科，先讓學生獨立做一做，然后核對一下答案進行簡單講評，忽視了習題本身所具有的拓展和延伸的功能；二是分析習題更多地關(guān)注結(jié)果，忽視對學生思維過程的剖析以及學習策略的指導；三是命題能力日漸弱化。大量的教輔材料、簡單的“拿來主義”，導致許多教師不愿研究命題，不會命題者比比皆是。近幾年來，高考數(shù)學中的一些試題“源于課本，而又高于課本”，小學數(shù)學學業(yè)評價的命題直接改編自教材的題目不少于60%，這對數(shù)學教師的命題能力提出了新的要求。同時，對我們的教學也起到了良好的導向作用，那就是立足教材、深入研究教材，對教材中的例題和習題進行再加工、再創(chuàng)造，順應(yīng)教材的知識體系，既能有效訓練學生的思維能力，提高數(shù)學課堂教學的效率，還能讓一線教師在不斷研究習題的過程中提高自身的命題能力。本文結(jié)合一道習題的教學實踐談幾點做法與體會。

【問題呈現(xiàn)】

這道習題是這樣的：

皮皮把兩根長分別是1米2分米和8分米的木棒連接起來,如果重疊部分的長度是10厘米,連接后木棒的總長度是多少?

這道題來自人教版三年級上冊配套的數(shù)學《課堂作業(yè)本》，是第三單元《測量》中的一道習題。這道題是利用數(shù)形結(jié)合思想解決的典型題目，解決此題的關(guān)鍵在于運用數(shù)形結(jié)合思想，要求學生借助直觀圖去探討、去發(fā)現(xiàn)。這不是從學生頭腦中已有的思維形式和思維方法中去找答案，而是從問題的本身出發(fā)做具體的分析研究，進行一系列探索性思維活動，培養(yǎng)學生善于思考的習慣，增強思維的條理性和嚴密性。如此“好題”卻是學生心目中的難題，作業(yè)錯誤率高達68.8%，通過分析學生的錯解原因，筆者發(fā)現(xiàn)很多學生做題總是跟著感覺走，能自覺去畫圖理解題意的少之又少，這引起了筆者的思考：①用什么方式引導學生由易到難、循序漸進地理解這道題的解題思路？②通過這道題的教學，學生能夠?qū)W會什么，得到哪些方面的發(fā)展？③如何培養(yǎng)學生主動運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的意識？

【教學實踐】

（一）自主解決尋策略

1.呈現(xiàn)問題，嘗試解決。

教師出示題目，學生自由讀題，嘗試解答。之后教師組織學生交流，發(fā)現(xiàn)有幾種不同的情況：部分學生沉默，無從下手；有少數(shù)學生能正確解答；多數(shù)學生似懂非懂，也不能判斷其對錯。

2.滲透思想，啟示方法。

啟發(fā)：在學習過程中，遇到難題怎么辦？通過討論、交流得出：面對難題，我們要綜合以前學習過的多種策略，化抽象為直觀。

3.自主分析，探究策略。

（1）讀題并結(jié)合自己的思考，嘗試畫一畫示意圖來表述題意，促進學生更清晰地、更正確地理解題意。

（2）學生通過思考、交流找出解題方法，選擇有關(guān)數(shù)據(jù)進行計算。

（3）全班交流，配合課件的動態(tài)演示，進一步理解“為什么要減去重疊部分”。

方法一： 方法二： 方法三：1米2分米=1 2分米 1米2分米=1 2分米 1米2分米=1 2分米1 0厘米=1分米 1 0厘米=1分米 1 0厘米=1分米1 2+8-1=1 9（分米） 1 2-1+8=1 9（分米） 8-1+1 2=1 9（分米）

4.回顧反思，總結(jié)要點。

第一次回顧反思：三種解題思路有什么共同點？總結(jié)要點：都減去了重疊的1分米。

第二次回顧反思：剛才，我們是怎樣從不會到會的？總結(jié)要點：數(shù)形結(jié)合，把文字變成直觀的圖形，讓解題更明了更簡單。

（二）題組變式求通聯(lián)

根據(jù)知識內(nèi)容的就近發(fā)展區(qū)設(shè)計變式練習，適當增加難度，進一步加深學生對“重疊部分”的理解，培養(yǎng)學生思維的靈活性。

題1：把3根長都是4分米的木棍捆在一起，重疊部分長度是1分米（如圖1），那么連接后木棍的總長度是多少？

圖1

題2：把3根同樣長的木棍捆在一起，使其成為一根10分米長的木棍，重疊部分長度是1分米，這3根木棍各長多少分米？

題3：把3根長都是4分米的木棍捆在一起，連接后木棍的總長度是10分米，重疊部分長度是多少分米？

以上題組的設(shè)計從2根重疊到3根重疊，從求重疊后的長度到求每根的長度，再到求重疊的長度，這樣的題組從模仿性思考到獨立思考，溝通了三個數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于知識結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。

（三）巧設(shè)遷移拓思維

學習優(yōu)秀的學生往往善于將學習到的知識經(jīng)驗遷移到新的情境中去。因此，教學中要指導學生學會遷移運用知識，找出知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和解題方法，讓已有知識和經(jīng)驗得以充分利用。

出示人教版三年級上冊“集合”單元中的習題：

同學們到動物園游玩，參觀熊貓館的有25人，參觀大象館的有30人，兩個館都參觀的有18人。參觀熊貓館和大象館的一共有幾人？

（1）在學生獨立完成、反饋交流后，讓學生回顧之前做過的哪道題就是集合中的重疊問題。學生交流后再次呈現(xiàn)書本原題：皮皮把兩根長分別是1米2分米和8分米的木棒連接起來,如果重疊部分的長度是10厘米,連接后木棒的總長度是多少？

（2）溝通比較尋共性：這兩道題有什么相同之處？（都是已知兩部分的量和重疊部分的量，求總數(shù)；解題方法也是一樣的）

（3）在學生交流的基礎(chǔ)上，教師適時引導（課件動態(tài)呈現(xiàn)，如圖2）：如果兩根木棒的4個點是4個不同地點，從小剛家到學校有800米，從書店到學校有100米，到超市有1200米，那么從小剛家到超市的距離是多少米？

圖2

（4）學生嘗試解答，交流算法。

（5）回顧反思促遷移：你又有什么新的發(fā)現(xiàn)？總結(jié)要點：這三道題情境不同，但解題思路都是一樣的，解題的方法也是一樣的。

通過典型范例的思路剖析，學生對重疊問題的基本題型及解題規(guī)律已了然于胸，這一過程既揭示了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，有效地實現(xiàn)了遷移，又使學生的思維逐步走向深入。

【教學思考】

教學中如果就題論題，那么習題的價值自然就很有限。如果能像上述案例中那樣靈活地進行處理，充分挖掘習題的拓展功能，將習題的教學價值盡可能放大，這樣既能幫助學生復習、鞏固已經(jīng)掌握的知識，又能拓展學生的思維。那么教師在教學中如何立足原題，磨出好題，提高自身的命題能力呢？

（一）研讀教材選“好題”

首先，作為教師要做教材的“下水題”，要把教材后面的習題按照要求做一遍，以便準確地把握作業(yè)的難易程度，同時熟悉學生解題中知識的障礙點。其次，教師在做題時并不能僅滿足于把題目解出來，而是要將題目進行分類整理，可以從題目的難易程度、知識分類、解題方法和錯誤類型等方面著手，思考題目與知識、能力之間的內(nèi)在關(guān)系，題目之間的相互關(guān)系以及題目在多視角下的不同的解決方法。最后，在大量做題后，找出適合磨題的“好題”，主要包括：①易錯、易混或反復出錯的題目；②綜合性較強的題目，這類問題往往包含兩個或多個知識點，較為復雜，需要學生在審清題意后，分析已知條件和所求問題之間的關(guān)系，找到解題的突破口；③開放性較強的題目，解這類題學生需要開闊思路，從多角度去思考，以尋找共性和最優(yōu)解法；④典型題目，這些題目能充分體現(xiàn)知識點、思想方法、運算技巧等某一方面或某幾方面的典型特征。

（二）研磨析題尋策略

在研讀教材的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)盡可能站在學生的角度對每道題的解決方案和學生可能遇到的困難進行思考，了解學生錯解的真實想法，尋求有效指導的方法與策略。

（1）數(shù)形結(jié)合，化抽象為直觀。數(shù)形結(jié)合是分析問題和解決問題常用的策略，借助形象的圖形來解題，可以將抽象的數(shù)量關(guān)系具體化、形象化。因此教師要認真研讀教材的每一道習題，適時引導學生以“形”思“數(shù)”，讓學生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的良好習慣。如從一年級開始就可以引導學生用簡單的符號畫一畫，再逐步過渡到畫線段圖，讓數(shù)形結(jié)合思想成為學生學習數(shù)學不可或缺的工具。

（2）操作引領(lǐng)，從感性到理性。教材中的很多習題具有較強的探究性和操作性，教學中許多教師經(jīng)常對操作的部分輕描淡寫，甚至直接略過，操作性習題的功能被大大地弱化、忽視。如人教版三年級上冊“分數(shù)的初步認識”單元中有這樣一道習題（P99第9題）。

這道題主要是考查分數(shù)的意義，把單位“1”平均分成若干份，用分數(shù)表示，分母是分成的份數(shù)，分子是要表示的份數(shù)。關(guān)鍵是找規(guī)律，如果沒有直觀的操作體驗，學生很難發(fā)現(xiàn)這張長方形紙對折的次數(shù)與平均分成的份數(shù)之間的關(guān)系。

遇到諸如此類的習題，教師都應(yīng)該給學生提供動手操作的空間，充分放手讓學生動手實踐，以動手操作引領(lǐng)探究活動，幫助學生豐富活動經(jīng)驗，逐步加深對數(shù)學知識的理解。

（3）一題多解，訓練思維的發(fā)散性。解題時教師可以搭建新舊知識之間的橋梁，以喚起學生對已有知識和經(jīng)驗的回憶，達到一題多解的效果；也可以通過巧設(shè)問題，如用“還有不同的解法嗎？”“如果……會怎樣？”等語言引導學生深入思考，去發(fā)現(xiàn)解決問題的新思路。如人教版三年級上冊“長方形和正方形”單元中有這樣一題（P88第9題）。這道題的教學，在理解題意的基礎(chǔ)上放手讓學生獨立解答，反饋交流中學生的思維互相碰撞、升華，想到了四種解題方法。

方法一：先分別求出大、小正方形的邊長。24÷4=6（厘米），12÷4=3（厘米）。再求出組合圖形的周長6×3+3×3+（6-3）=30（厘米）。

方法二：先求出小正方形的邊長12÷4=3（厘米），再求出重合部分的長度和3×2=6（厘米），最后求出組合圖形的周長24+12-6=30（厘米）。

方法三：先求出大、小正方形的邊長24÷4=6（厘米），12÷4=3（厘米）。再通過平移成長方形求出組合圖形的周長（6+6+3）×2=30（厘米）。

方法四：先求出小正方形兩條邊長度和12÷2=6（厘米），再求組合圖形的周長24+6=30（厘米）。

課堂上只要教師給學生提供足夠的時間和空間，學生就會給我們意外的驚喜。經(jīng)常引導學生從不同角度去分析，可以訓練學生的發(fā)散思維。

（三）自主命題促發(fā)展

課本上的不少例題、習題都有很高的研究價值，如果對這些題目進行充分挖掘、精心整合，就能使學生獲得明確的指引，并得到有效的訓練，達到舉一反三的效果。

（1）有機整合。以教材習題為模板，分析習題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)與特點，將不同學段的習題巧妙整合，以提高學生綜合運用知識的能力。如人教版三年級上冊“長方形和正方形”單元練習十七第7題（P82）和人教版三年級下冊“面積”單元練習十五第8題（P69）。

可將這兩題進行習題改編：李叔叔有一塊長10米，寬6米的地，準備劃一塊最大的正方形用來種菜，剩下的用圍欄圍成一個花壇，圍欄長多少米？這個花壇占地多少平方米？

這道題將教材中聯(lián)系緊密的兩個知識點，借助一定的情境通過重組讓周長和面積有機融合在一起。通過比較，厘清周長和面積這兩個概念的本質(zhì)區(qū)別，加深對已有知識的理解和掌握。

（2）拓展延伸。對于教材中的習題，合理添加或刪減條件的一部分或結(jié)論的一部分，就可以提高習題難度，增加思維含量。如人教版二年級下冊“有余數(shù)除法”單元練習十四第14題（P66）。題目是，余數(shù)最大是幾？可將習題改編為被除數(shù)最大是幾？被除數(shù)最小是幾？原題考查的是“余數(shù)要比除數(shù)小”這一知識點，單調(diào)的“一題一解”式對學生缺乏挑戰(zhàn)性。改編后的習題有較強的綜合性，通過這道題的練習，學生就會對“有余數(shù)除法”中被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)各部分之間的關(guān)系有更全面的認識；一個好的問題可以持續(xù)地引導學生思考，促使其對原有的知識進行重組建構(gòu)，這樣學生對知識的理解才會更深刻、更牢固。

（3）改變題型。保持原有習題的內(nèi)容不變，改變問題的形式、結(jié)構(gòu)和呈現(xiàn)方式等，再添加合適的問題情境，把題目改編成另一種題型。如人教版三年級上冊“倍的認識”練習十一第9題（P55）。

可將習題改編為：

小紅有6顆白珠子，56顆黑珠子。她想做一串項鏈，要使黑珠子數(shù)量是白珠子的7倍，下面哪種方法不能做到（ ）。

①增加2顆白珠子。

②減少14顆黑珠子。

③減少1顆白珠子和21顆黑珠子。

④增加1顆白珠子和7顆黑珠子。

原題著重考查學生運用倍的知識解決實際問題的能力，其結(jié)果是唯一的，改編后的題目比原題更具有開放性和靈活性，為學生的思維創(chuàng)設(shè)了一個更廣闊的空間。

（4）自主創(chuàng)編。教師在深入鉆研教材和研究習題的基礎(chǔ)上，結(jié)合學生的學情來進行自主創(chuàng)編，體現(xiàn)了命題“基于教材，又高于教材”的思想。如人教版四年級下冊“小數(shù)加減法”單元試卷自主創(chuàng)編：

這道題要求學生結(jié)合實際情境寫出“小數(shù)點為什么要對齊”的思考過程，更多關(guān)注學生對知識本身意義的理解，重視對知識、技能形成過程的考查，有利于發(fā)展學生的思維能力，同時促使教師對過程教學的重視。

總之，教學中教師若能深入研究每一道習題，對課本習題進行合理的加工改編，就能不斷“磨”出有思維價值的好題。同時，給學生創(chuàng)設(shè)廣闊的思維活動空間，引導學生進行觀察、比較、猜測、引申、拓寬，使學生的思維在問題不斷推進的過程中得到盡可能多的鍛煉、得到盡可能大的提升，真正促進學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展。