周鑫 李江珊 吳明和 滕保華

(電子科技大學(xué)英才學(xué)院 四川 成都 611731)(電子科技大學(xué)物理學(xué)院 四川 成都 610054)

1 引言

對(duì)于載流圓線圈和長(zhǎng)直載流螺線管的磁場(chǎng)，無(wú)論是數(shù)學(xué)推導(dǎo)[1，2]、還是模擬仿真[3，4]，在教科書和文獻(xiàn)中已經(jīng)有了詳盡的介紹和描述．然而關(guān)于載流螺線環(huán)磁場(chǎng)的分析卻比較少見[5]，既缺少對(duì)載流螺線環(huán)磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)分析，也缺少對(duì)螺線環(huán)磁場(chǎng)的仿真計(jì)算．本文基于載流圓線圈的磁場(chǎng)，分別利用畢奧-薩伐爾定律和磁矢勢(shì)計(jì)算了不同密繞程度下載流螺線環(huán)的磁場(chǎng)分布，并利用MATLAB對(duì)載流螺線環(huán)的磁場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值仿真，揭示了磁場(chǎng)隨距離、方位角度以及密繞程度的變化特征．

2 計(jì)算方法

下面分別從畢奧-薩伐爾定律[6，7]和磁矢勢(shì)[8]出發(fā)，計(jì)算不同密繞程度的載流螺線環(huán)的磁場(chǎng)．在計(jì)算時(shí)，螺線環(huán)中的每匝線圈用載流圓線圈代替，即螺線環(huán)的匝數(shù)就是圓環(huán)的個(gè)數(shù)，并且不考慮載流導(dǎo)線的直徑．

2.1 基于畢奧-薩伐爾定律的計(jì)算

圖1 載流螺線環(huán)磁場(chǎng)示意圖

在圖1中，O′為螺線環(huán)上任取的一個(gè)載流圓線圈的圓心，φ為任一電流線圈平面上線圈圓心到電流元的矢量r1與電流線圈平面極坐標(biāo)的極軸的夾角，容易得到圓線圈上任一電流元到P點(diǎn)的位置矢量為

r3=x-R1cosα-r1sinφcosαex+

y-R1sinα-r1sinφsinαey+

(z-r1cosφ)ez

而圓環(huán)上的電流元為

Ir1dφeτ

其中eτ表示在圓電流線圈的切向方向上的單位向量，則載流圓線圈在P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(1)

從而載流螺線環(huán)在任一點(diǎn)P(x,y,z)的磁場(chǎng)強(qiáng)度為

(2.1)

(2.2)

(2.3)

2.2 基于磁矢勢(shì)的載流螺線環(huán)磁場(chǎng)的計(jì)算

參考平面上方位角α處的載流圓線圈在P點(diǎn)的磁矢勢(shì)可以表示為[8]

Ar2,θ,φ,α=Ar2,θ,φeφ=

(3)

進(jìn)而由B=×A可以得到P點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度

Bα=Br2αer2+Bθαeθ+Bφαeφ

(4)

其中

eφ=er2×eθ

注意B(α)是α的函數(shù)，P點(diǎn)總磁感應(yīng)強(qiáng)度B等于所有不同α處的圓電流對(duì)P點(diǎn)貢獻(xiàn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B(α)累加，即

(5)

其中

(6.1)

(6.2)

(6.3)

比較以上兩種不同對(duì)螺線環(huán)磁場(chǎng)的計(jì)算方法可以發(fā)現(xiàn)，不管是基于畢奧-薩伐爾定律還是基于磁勢(shì)矢的計(jì)算方法，均物理概念明確，數(shù)學(xué)計(jì)算規(guī)范，而且便于仿真．

3 仿真分析與討論

以螺線環(huán)半徑r1=10 m，載流圓線圈半徑R1=3 m,電流I=1 A的螺線環(huán)為例，仿真不同密繞程度下載流螺線環(huán)的磁場(chǎng)分布．

3.1 磁場(chǎng)分布的整體特征

在匝數(shù)N=50，100，200等3種密繞程度下，利用MATLAB仿真了其磁場(chǎng)的整體分布．可以看出，當(dāng)N較小時(shí)，毛刺現(xiàn)象嚴(yán)重；隨著密繞程度增加，螺線環(huán)的磁場(chǎng)變化越來(lái)越平滑．當(dāng)N=200時(shí)，螺線環(huán)的磁場(chǎng)分布可近似為理想螺線環(huán)的分布，即磁場(chǎng)呈圓對(duì)稱分布，只有螺線環(huán)內(nèi)部存在磁場(chǎng)．

圖2 3種情況下載流螺線環(huán)的磁場(chǎng)分布

3.2 磁場(chǎng)與距離的躍變特征

在螺線環(huán)參考平面上且方位角為零，計(jì)算了距離圓心任意距離處的磁場(chǎng)，圖3為MATLAB仿真的結(jié)果．

圖3 3種情況下載流螺線環(huán)的磁場(chǎng)躍變特征

可以看出，磁場(chǎng)分布呈現(xiàn)躍變性的特點(diǎn)，即在螺線環(huán)范圍之外的區(qū)域磁場(chǎng)幾乎為零，而在螺線環(huán)內(nèi)磁場(chǎng)與離圓心的距離成反比關(guān)系．但當(dāng)密繞程度低時(shí)，躍變不明顯，邊緣處緩慢上升或下降；當(dāng)密繞程度高時(shí)，邊緣處陡升或陡降的躍變特征明顯．

3.3 磁場(chǎng)與角度的周期特征

在螺線環(huán)參考平面且在螺線環(huán)內(nèi)半徑為9 m一個(gè)圓周上，計(jì)算了各點(diǎn)的磁場(chǎng)大小，其MATLAB仿真的結(jié)果如圖4所示，其中顯示出磁場(chǎng)分布隨角度變化的周期性．

圖4 磁場(chǎng)隨角度的變化關(guān)系

3.4 磁場(chǎng)與密繞程度的振蕩特征

在螺線環(huán)參考平面上，且在螺線環(huán)內(nèi)半徑為12.5 m，方位角為零的一個(gè)固定位置，計(jì)算了密繞程度從N=0～150不同情況下，該固定點(diǎn)磁場(chǎng)的MATLAB仿真結(jié)果如圖5所示．從圖5可明顯看出，隨著密繞程度上升，該點(diǎn)的磁場(chǎng)大小呈總體上升的振蕩特征．

圖5 磁場(chǎng)隨密繞程度的變化關(guān)系

實(shí)際上，整體的上升性是由于隨著螺線環(huán)密繞程度的提高，螺線環(huán)的漏磁現(xiàn)象減弱，從而使得螺線環(huán)內(nèi)部的磁場(chǎng)變大；而振蕩性則是由于隨著螺線環(huán)密繞程度的變化，該固定點(diǎn)與各個(gè)載流圓環(huán)的相對(duì)位置發(fā)生了往復(fù)變化，導(dǎo)致磁場(chǎng)疊加的結(jié)果是振蕩的．

4 結(jié)論

本文分別從畢奧-薩伐爾定律和磁矢勢(shì)出發(fā)，計(jì)算不同密繞程度的載流螺線環(huán)的磁場(chǎng)，并利用MATLAB仿真，得到了載流螺線環(huán)的磁場(chǎng)分布，從而對(duì)不同密繞程度情況下磁場(chǎng)分布呈現(xiàn)的躍變性、周期性、以及振蕩性等特點(diǎn)加深了認(rèn)識(shí)．