劉興壽

摘 要：利用a2+b2≥2ab求幾何最值，一是要明確此不等式取等號(hào)的條件;二是要明確a，b中所含變量的取值范圍.

關(guān)鍵詞：幾何最值;a2+b2≥2ab;不等式

利用a2+b2≥2ab求幾何最值，就是要將相關(guān)問(wèn)題用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，并借此不等式取等號(hào)的條件，達(dá)到求最小或最大值的目的.現(xiàn)說(shuō)明如下.

例1 如圖1，四邊形ABCD是一個(gè)綠地公園的用地示意圖，其中AD//BC，∠B=90°，AD=2km，AB=3km，CD=5km.現(xiàn)計(jì)劃分別在BC和CD上設(shè)計(jì)公園的入口M和出口N，并且修一條筆直的道路MN（路寬不計(jì)），使得MN將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，并且MN的長(zhǎng)度最短，你認(rèn)為滿足條件的MN是否存在？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)MN的長(zhǎng)度，并求出入口M和出口N與點(diǎn)C之間的距離;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析 設(shè)入口M和出口N如圖2所示，并過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥BC于點(diǎn)F.

因?yàn)锳D//BC，∠B=90°，所以四邊形ABED為矩形，DE//NF.

又因?yàn)锳D=2，AB=3，CD=5，所以DE=3，BE=2.由勾股定理得CE=4.

所以S四邊形ABCD=S矩形ABED+SΔDEC=2×3+12×3×4=12.

設(shè)NF=x（0

所以12CM·x=6，則CM=12x.

由DE//NF得 NFDE=CFCE=NCCD.

即CF=43x，NC=5x3.

則FM=12x-4x3.

所以MN2=FM2+NF2=x2+（12x-4x3）2=25x29+144x2-32.

當(dāng)且僅當(dāng)5x3=12x，即x=6 55<3時(shí)，有MN2≥2×5x3×12x-32=8.

所以MN的最小值為2 2km，CM=NC=2 5km.

說(shuō)明 這里利用a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）來(lái)求最小值.

例2 如圖3，已知AB為⊙O的直徑，且AB=10，點(diǎn)P為⊙O上任意一點(diǎn)，連接PA，PB，過(guò)點(diǎn)O向PA，PB作垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，則OE+OF的最大值為.

解析 因?yàn)锳B為⊙O的直徑，OE⊥AP于點(diǎn)E，OF⊥BP于點(diǎn)F，所以∠APB=90°.

點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AP，BP的中點(diǎn)，則OE=12BP，OF=12AP，AP2+BP2=AB2=100.

即OE2+OF2=25.

因?yàn)镺E+OF=（OE+OF）2

=OE2+OF2+2OE·OF

≤2OE2+2OF2（當(dāng)且僅當(dāng)OE=OF時(shí)取等號(hào)）.

當(dāng)OE=OF時(shí)，則有AP=BP，所以△APB是等腰直角三角形.

所以O(shè)E+OF≤2OE2+2OF2=5 2.

所以O(shè)E+OF的最大值為5 2.

說(shuō)明 這里利用2ab≤a2+b2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）來(lái)求最大值.

例3 如圖4，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，對(duì)角線AC=6 3，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且EF=2，求DE+BF的最小值.

解析 因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為6，對(duì)角線AC=6 3，設(shè)兩對(duì)角線的交點(diǎn)為O，如圖5所示，則BD⊥AC，OA=3 3.

由勾股定理得OD=3.

設(shè)OF=x，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在BD同側(cè)（不妨設(shè)點(diǎn)E距離點(diǎn)O遠(yuǎn)）時(shí)，則x≥0.

所以DE2=（x+2）2+9，BF2=x2+9.

所以DE+BF=（x+2）2+9+x2+9≥13+3.

當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在BD異側(cè)時(shí)，則0≤x≤2.

所以DE2=（2-x）2+9，BF2=x2+9.

所以DE+BF≥2 DE·BF（當(dāng)且僅當(dāng)DE=BF時(shí)取等號(hào)）.

當(dāng)DE=BF時(shí)，有（2-x）2+9=x2+9.

所以x=1.

所以DE+BF≥2 [（2-x）2+9]·x2+9=2 10.

由于13+3>2 10，所以DE+BF的最小值為2 10.

說(shuō)明 這里用分類法與利用a+b≥2 ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）來(lái)求最小值.

運(yùn)用a2+b2≥2ab求幾何最值，一是要明確當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào);二是要明確a，b中所含變量的取值范圍.

參考文獻(xiàn)：

[1]武澤濤. 中考試題研究·數(shù)學(xué)：配陜西地區(qū)使用[M].西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2018.

（收稿日期：2019-09-01）