李忠美 張 猛 邊少鋒 李松林

（1.北京市遙感信息研究所 北京 100011）（2.海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系 武漢 430033）

1 引言

自16世紀(jì)創(chuàng)立起，墨卡托海圖因經(jīng)緯線被表示為平行直線且具有保角特性，給航海者帶來(lái)很大方便，一直被作為船舶海上航行的基礎(chǔ)圖，在航海中具有不可取代的地位［1～4］。在該投影中，基準(zhǔn)緯線無(wú)長(zhǎng)度變形，從基準(zhǔn)緯線向兩極變形增加［5］。隨著海洋工程及海運(yùn)事業(yè)的繁榮發(fā)展，對(duì)關(guān)鍵水道的高精度測(cè)量和繪制提出越來(lái)越高的需求。墨卡托投影可滿足基準(zhǔn)緯線附近沿緯線延伸的地區(qū)變形較小，當(dāng)投影區(qū)域非東西方向延伸時(shí)，則難以滿足高精度制圖需求。針對(duì)以上情形，國(guó)內(nèi)外學(xué)者通常采用斜軸墨卡托投影［6～7］以規(guī)避長(zhǎng)度變形較大的問(wèn)題。目前該方法已被廣泛用于高速公路、高鐵建設(shè)、地震勘測(cè)等高精度測(cè)量領(lǐng)域，并取得豐碩的成果［8～11］。然而，該方法在海上的應(yīng)用卻不多，鑒于航海業(yè)的繁榮發(fā)展，合理設(shè)計(jì)航線以縮短航程和保證船舶的安全航行，具有較強(qiáng)的應(yīng)用前景?？紤]到大圓航線雖為最經(jīng)濟(jì)航線，但需不斷操舵轉(zhuǎn)向，在航海中通常將其等分為若干段等角航線［12］，以減少操舵次數(shù)。因此，可考慮通過(guò)一系列坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將航線轉(zhuǎn)換至斜軸墨卡托投影平面上的0°緯線圈附近，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)減少打舵次數(shù)和減小投影長(zhǎng)度變形的目的。本文擬對(duì)斜軸墨卡托投影在航海中適用性進(jìn)行探討，為航海提供參考。

2 斜軸墨卡托投影的表示

2.1 斜軸墨卡托投影過(guò)程

圖1 斜軸墨卡托投影示意圖

如圖1所示，斜軸墨卡托投影是對(duì)斜軸參考圓球進(jìn)行正軸切圓柱投影，其關(guān)鍵是建立地球至斜軸參考圓球間地理坐標(biāo)的映射關(guān)系。根據(jù)文獻(xiàn)［13］可知，正軸與斜軸間地理坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

式中，e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，q0、λ0為斜軸參考圓球極點(diǎn)Q在地球圓球上的等量緯度與經(jīng)差，q、λ為地球圓球上的任意點(diǎn)A的等量緯度與經(jīng)差，q′、λ′為A點(diǎn)在斜軸參考圓球上的等量緯度與經(jīng)差。其中，等量緯度q與球面緯度φ間的關(guān)系如下：

對(duì)斜軸參考圓球進(jìn)行正軸切圓柱投影，如下

2.2 確定極點(diǎn)位置

由式（3）可以看出，為對(duì)地球圓球進(jìn)行斜軸墨卡托投影，需確定極點(diǎn)Q的位置q0、λ0，即根據(jù)極點(diǎn)位置構(gòu)建斜軸參考圓球，使得航線位于斜軸參考圓球的赤道附近，進(jìn)而達(dá)到減小航線附近投影變形的目的。

為求得該值，擬以地球圓球赤道平面為O-XY平面，以球心O到北極N方向?yàn)閆軸，建立空間直角坐標(biāo)系。沿航線平均取若干點(diǎn)(φi，λi) ，求得航線各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的空間直角坐標(biāo)( )Xi，Yi，Zi，如下：

利用最小二乘法，求得過(guò)球心且離該航線各點(diǎn)最近的平面mXi+nYi+Zi=0，即為斜軸參考圓球的赤道所在平面。其中：

式中，J=( )Xi，Yi，W=Zi。

進(jìn)而可得極點(diǎn)Q的空間直角坐標(biāo)為根據(jù)它與地理坐標(biāo)間的關(guān)系，對(duì)應(yīng)地可求出Q在地球圓球上的地理坐標(biāo)，如下：

式中，φ′為地球圓球上任意點(diǎn)A(φ，λ)在斜軸參考圓球上的緯度。

利用Geocart軟件，選擇新極點(diǎn)的坐標(biāo)為Q(3 0°N， 120°E )，可繪制出斜軸墨卡托投影平面示意圖，如圖2所示。在該投影平面上，利用漸深的黑色將為0～10范圍內(nèi)的投影長(zhǎng)度變形進(jìn)行表示，如圖3所示。

最后，可得斜軸墨卡托投影長(zhǎng)度變形如下：

圖2 斜軸墨卡托投影平面示意圖

圖3 斜軸墨卡托投影長(zhǎng)度變形示意圖

由圖2、3可以看出，在斜軸墨卡托投影平面上，極點(diǎn)所在經(jīng)線被投影為直線，地球經(jīng)緯網(wǎng)被表示為以該直線為對(duì)稱軸的正交曲線網(wǎng)；以極點(diǎn)為對(duì)稱中心，投影長(zhǎng)度變形隨著遠(yuǎn)離極點(diǎn)沿該直線方向加速增大，在該直線垂直方向上，投影長(zhǎng)度變形一致。

3 算例分析

圖4 墨卡托海圖上的馬六甲海峽航線示意圖

為驗(yàn)證斜軸墨卡托投影在減小投影長(zhǎng)度變形方面的優(yōu)勢(shì)及其在航海中的適用性，以馬六甲海峽為例，如圖4所示依次沿海峽中線取若干點(diǎn)，將其坐標(biāo)列于表1；通過(guò)解算出極點(diǎn)Q的位置，進(jìn)而計(jì)算出沿線各點(diǎn)在斜軸參考圓球上的坐標(biāo)，列于表2；對(duì)該區(qū)域進(jìn)行斜軸墨卡托投影，投影后經(jīng)緯網(wǎng)如圖5所示；最后，將表1各點(diǎn)處的投影長(zhǎng)度變形列于表3，并與正軸墨卡托投影長(zhǎng)度變形進(jìn)行對(duì)比。

圖5 斜軸墨卡托投影平面上的航線示意圖

表1 航線沿線各點(diǎn)在地球圓球上的地理坐標(biāo)

經(jīng)計(jì)算，極點(diǎn)Q在地球圓球上的坐標(biāo)為(46.9459°N， 165.4592°W )，航線沿線各點(diǎn)在斜軸參考圓球上的經(jīng)緯度見(jiàn)表2。

航線沿線各點(diǎn)在不同投影平面上的長(zhǎng)度變形見(jiàn)表3。

由圖5及表2、表3可以看出，經(jīng)斜軸墨卡托投影后，航線被轉(zhuǎn)換至斜軸參考圓球的0°緯線圈附近，在投影平面上近似水平；同時(shí)，與正軸墨卡托投影相比，斜軸墨卡托投影有效減小了航線附近海域投影長(zhǎng)度變形，進(jìn)而使得該區(qū)域經(jīng)緯網(wǎng)形狀變形較小；綜合以上特點(diǎn)，并考慮到斜軸墨卡托投影依然具有保角特性，可認(rèn)為在航線附近海域斜軸墨卡托投影較好地保留了墨卡托海圖的優(yōu)勢(shì)，依然便于航海者使用。

另，本算例中馬六甲海峽航線位赤道附近，在墨卡托海圖上長(zhǎng)度變形較小，當(dāng)航線位較高緯度并沿非東西方向延伸時(shí)，斜軸墨卡托投影在減小投影長(zhǎng)度變形方面的優(yōu)勢(shì)將更為明顯。

表2 航線沿線各點(diǎn)在斜軸參考圓球上的地理坐標(biāo)

表3 航線各點(diǎn)在不同投影平面上的長(zhǎng)度變形

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)建立地球與斜軸參考圓球間地理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，實(shí)現(xiàn)斜軸墨卡托投影，得出結(jié)論如下：

1）根據(jù)航線所在位置，利用最小二乘法，構(gòu)建斜軸參考圓球，滿足航線位斜軸參考圓球的0°緯線圈附近。

2）當(dāng)航線沿非東西方向延伸時(shí)，與正軸墨卡托投影相比，該投影可有效減小航線附近海域投影長(zhǎng)度變形，可用于重要航道高精度海圖繪制。

3）投影具有保角性質(zhì)，且航線附近海域經(jīng)緯網(wǎng)形狀變形較小，具備墨卡托海圖的部分優(yōu)勢(shì)，便于航海者使用，一定程度上可為航海提供參考。