何東林,李煜彥

(隴南師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)信學(xué)院,甘肅 隴南,742500)

Gorenstein 同調(diào)理論是相對同調(diào)代數(shù)的重要內(nèi)容。1969年AUSLANDER和BRIDGER在文獻[1]中討論了雙邊Noether環(huán)上有限生成模的G-維數(shù)。1995年ENOCHS和JENDA在文獻[2]中給出任意環(huán)上Gorenstein投射模的概念。Gorenstein投射模有許多與投射模類似的性質(zhì)，參考文獻[3-7]對其進行了推廣。特別地，BENNIS等[3]給出了X-Gorenstein 投射模的概念和若干性質(zhì)。孟凡云等[8]對這一概念做了進一步研究。復(fù)形和復(fù)形每個層次上模的關(guān)系的研究是一個重要課題。ENOCHS和GARCIA[9-10]證明在Gorenstein環(huán)R上,復(fù)形X是Gorenstein投射復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)模Xm是Gorenstein投射模(對任意m∈Z)。楊剛[11]研究了一般結(jié)合環(huán)上復(fù)形的Gorenstein 投射性。自然而然地，可考慮相對于某個左R-模類C的Gorenstein投射復(fù)形，以及復(fù)形的C-Gorenstein投射性與其每個層次上的模的C-Gorenstein投射性之間的關(guān)系。進而研究C-Gorenstein復(fù)形的性質(zhì)和等價刻畫。

文中的環(huán)R均指有單位元的結(jié)合環(huán)，模指酉模。X表示一個關(guān)于直和封閉且包含所有投射模的左R-模類。左R-模復(fù)形…→X-1→X0→X1→X2→…記為X，用Y表示左R-模復(fù)形組成的Abel范疇。顯然，該范疇有足夠的投射對象和內(nèi)射對象。對任意復(fù)形C和D，用Hom(C,D)表示C到D的同態(tài)群，Exti(C,D)表示由Hom(C,D)導(dǎo)出的第i個同調(diào)群，C#表示形如C≡…→C-1→C0→C1→C2→…(其中Ci∈C)的正合復(fù)形組成的類。

1 定義和引理

C-Gorenstein 投射模的概念。

定義1[8]稱左R-模M是C-Gorenstein 投射模，如果存在正合列

…→P-2→P-1→P0→P1→…

(1)

其中：Pi為投射模，M=Ker(P0→P1)且對任意H∈C有正合列(δ)在函子HomR(-,H)仍正合。用CGP表示所有C-Gorenstein 投射模組成的類。

下面引入C-Gorenstein 投射復(fù)形。

定義2 稱左R-模復(fù)形X是C-Gorenstein 投射復(fù)形,如果存在復(fù)形正合列

…→P-2→P-1→P0→P1→…

(2)

其中：Pi為投射復(fù)形，X=Ker(P0→P1)且對任意復(fù)形C∈C#，該正合列在HomR(-,C)下仍正合。

易知：1)投射模? C-Gorenstein 投射模? Gorenstein投射模。

2)投射復(fù)形?C-Gorenstein 投射復(fù)形?Gorenstein投射復(fù)形。

引理1 設(shè)X為左R-模復(fù)形，則C是C-Gorenstein 投射復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)存在復(fù)形正合列

…→P-2→P-1→P0→P1→…

(3)

滿足以下條件：1)Pi為投射復(fù)形；2)X=Ker(P0→P1)；3)對任意復(fù)形C∈C#和任意Ii=Im(Pi-1→Pi)，都有Ext1(Ii,C)=0。

證明由Ext函子的定義和性質(zhì)易證。

引理2[8]設(shè)0→M→N→L→0是左R-模正合列，其中N,L是C-Gorenstein投射模。如果對任意投射模Q有Ext1(M,Q)=0，那么M也是C-Gorenstein投射模。

2 主要結(jié)論

命題1 設(shè)k為正整數(shù)，X為左R-模復(fù)形。如果對任意復(fù)形C∈C#，有Extk(X,C)=0，那么對任意N∈C，有Extk(Xm,C)=0。

(4)

0→N→E0→E1→…→Ek-1→L→0

(5)

其中：Ei為內(nèi)射模。令H=Im(Ek-2→Ek-1)，則有正合列0→H→Ek-1→L→0和0→N→E0→E1→…→Ek-2→H→0。由維數(shù)轉(zhuǎn)移公式可得

Ext1(Xm,H)?Extk(Xm,N)

(6)

圖1 復(fù)形的交換圖Fig.1 The commutative diagram of complex

圖2 圖1的第m個層次圖Fig.2 The mth term diagram of Fig.1

因此Hom(Xm,Ek-1)→Hom(Xm,L)→0正合，另一方面有正合列

Hom(Xm,Ek-1)→Hom(Xm,L)→Ext1(Xm,H)→0

可見Ext1(Xm,H)=0，又因為Ext1(Xm,H)?Extk(Xm,N)，所以Extk(Xm,N)=0。

推論1 設(shè)X為左R-模復(fù)形。如果對任意復(fù)形C∈C#，有Ext1(X,C)=0，那么對任意N∈C，有Ext1(Xm,N)=0。

推論2 如果X是C-Gorenstein投射復(fù)形，那么每個層次上的模Xm是C-Gorenstein 投射模。

證明 設(shè)X是C-Gorenstein投射復(fù)形，則由引理1知存在復(fù)形正合列

…→P-2→P-1→P0→P1→…

(7)

(8)

命題2 設(shè)M是C-Gorenstein投射模，則對C中任意模N的每個上合沖I有

Exti(M,I)=0。

證明 設(shè)N∈C，且N的第n個上合沖為I。則存在正合列

0→N→E0→E1→…→En-1→I→0

(9)

其中：Ej為內(nèi)射模且Exti(M,I)?Exti+n(M,N)。因為M是C-Gorenstein投射模且N∈C，所以Exti+n(M,N)=0，所以Exti(M,I)=0。

定理1 設(shè)X為左R-模復(fù)形，則以下條件等價

1)X是C-Gorenstein投射復(fù)形；

2)每個層次上的模Xm是C-Gorenstein 投射模。

證明 (1)?(2)由推論2易證。下證(2)?(1)對任意M∈C，考慮正合列

0→M→E0→E1→…→En-1→I→0，

(10)

其中：Ej為內(nèi)射模。令I(lǐng)0=Im(M→E0)，In=Im(En-1→I)且Ij=Im(Ej-1→Ej)，其中j=1，2,…,n-1。那么對每個整數(shù)m，復(fù)形序列

(11)

(12)

圖3復(fù)形正合列展開圖
Fig.3The expanded graph of complex exact sequence

因為每個層次上的模Xm是C-Gorenstein 投射模，所以Xm是Gorenstein 投射模。顯然Xm具有投射預(yù)包絡(luò)。由文獻[11]中引理2可知復(fù)形X具有投射預(yù)包絡(luò)。不妨設(shè)γ0：X→P0是X的投射預(yù)包絡(luò)。易知γ為單同態(tài)。考慮正合列0→X→P0→H1→0，其中H1=Cokerγ0。由于γ0是X的投射預(yù)包絡(luò)。且對任意C∈C#有正合列

0→Hom(H1,C)→Hom(P0,C)→Hom(C,C)→Ext1(H1,C)→Ext1(P0,C)=0

(13)

0→X→P0→P1→P2→…

(14)

其中：Pi為投射復(fù)形，且對任意復(fù)形C∈C#正合列(1)在HomR(-,C)仍正合。

考慮由投射覆蓋導(dǎo)出的如下復(fù)形正合列

…→P-3→P-2→P-1→X→0

(15)

因為對任意i≥1和任意復(fù)形C∈C#，有Exti(X,C)=0。所以(2)在HomR(-,C)正合由(1)(2)拼接可得復(fù)形正合列

…→P-2→P-1→P0→P1→…，

其中：Pi為投射復(fù)形，X=Ker(P0→P1)且對任意復(fù)形C∈C#有正合列(ε)在HomR(-,C)下仍正合。因此X是C-Gorenstein投射復(fù)形。

推論3 X-Gorenstein投射復(fù)形關(guān)于擴張和滿同態(tài)的核封閉。

證明 由定理1和文獻[3]中易知。