賀志 余敏 王瓊

1) (洞庭湖生態(tài)經(jīng)濟區(qū)建設與發(fā)展湖南省協(xié)同創(chuàng)新中心, 常德 415000)

2) (湖南文理學院數(shù)理學院, 常德 415000)

近年來, 封閉系統(tǒng)中非平衡熱力學性質(zhì), 特別是自旋鏈中經(jīng)過一個淬火過程后的平衡熱力學性質(zhì)已經(jīng)成為了量子熱力學研究中的一個熱點之一.研究了橫向磁場作用下含XZX+YZY型三體相互作用的XY自旋鏈中的非平衡態(tài)熱力學性質(zhì).具體考慮了當XY型鏈中橫向外磁場發(fā)生一個突變(淬火)時鏈中XZX+YZY三格點相互作用分別對淬火過程中產(chǎn)生的平均功、功漲落和不可逆熵產(chǎn)生等熱力學量的影響.研究顯示：XZX+YZY三格點相互作用可能對平均功的增加起正面作用和負面作用, 關鍵取決于初始外磁場強度的取值.接著, 還發(fā)現(xiàn)：通過調(diào)節(jié)XZX+YZY三格點相互作用強度可以很有效地抑制功漲落.最后, 考慮了不可逆熵產(chǎn)生在不同XZX+YZY三格點相互作用下隨外磁場強度的變化關系, 結果發(fā)現(xiàn)：不可逆熵產(chǎn)生在臨界磁場附近會出現(xiàn)特殊的尖峰特征, 并且尖峰值隨XZX+YZY三格點相互作用的增加有不斷減少的趨勢, 同時給出了相應的物理解釋.

1 引 言

隨著基于超冷原子體系[1-3]的實驗研究取得了一系列的重要進展, 人們重新對封閉系統(tǒng)中非平衡熱力學的研究產(chǎn)生了濃厚的興趣.特別地, 一些普適的量子漲落關系如Jarzynski等式[4]、Tasaki-Crooks關系[5,6]的提出, 極大地促進了非平衡熱力學在理論[7-11]和實驗[12-16]上的發(fā)展.而利用突然改變系統(tǒng)參數(shù)(淬火)手段, 是實現(xiàn)非平衡過程的一種重要方式.近年來, 研究量子多體系統(tǒng)如自旋鏈中經(jīng)過一個淬火過程后的非平衡熱力學性質(zhì)迅速成為了一個熱點課題.Silva[17]研究了橫向伊辛模型中發(fā)生一個淬火過程時功的統(tǒng)計性質(zhì), 發(fā)現(xiàn)了功分布會在臨界磁場表現(xiàn)奇異性.Dorner等[18]研究了橫向伊辛模型中包括平均功和不可逆熵產(chǎn)生等量子熱力學量, 并給出了熱力學量的精確表達式.Bayocboc和Paraan[19]研究了一般XY型自旋鏈模型中功分布漲落以及不可逆熵產(chǎn)生等量子熱力學量在不同各向異性參數(shù)下隨外磁場變化關系.Zhong和Tong[20]研究了XZY—YZX三格點相互作用對XY型自旋鏈模型中平均功和不可逆熵產(chǎn)生等量子熱力學量的影響.Wang等[21]研究了Dzyaloshinsky-Moriya (DM)相互作用對 XY型自旋鏈模型中平均功、功漲落以及不可逆熵產(chǎn)生等的影響.Xu等[22]研究了量子相干性對功的統(tǒng)計性質(zhì)的影響.我們注意到, 自旋鏈系統(tǒng)中除了平時考慮的近鄰兩格點相互作用外, 可能還存在XZY—YZX型和 XZX+YZY 型三格點相互作用.Roger等[23]研究發(fā)現(xiàn)了三格點相互作用能用來描述固態(tài)3He的磁性機制.Titvinidze和Japaridze[24]研究了XZX+YZY型三格點相互作用對推廣的XY自旋鏈模型中相圖的影響.Cheng和 Liu[25,26]分別研究了XZY—YZX三格點相互作用對兩量子比特與各自XY自旋鏈相互作用模型中的量子糾纏, 以及XZX+YZY型三格點相互作用對 XY自旋鏈模型中量子相變的影響.Lian[27]研究了XZX+YZY三格點相互作用對一個量子比特系統(tǒng)與 XY自旋鏈耦合模型中 Loschmidt echo (LE)演化的影響.Shan[28]研究了XZX+YZY三格點相互作用對XY自旋鏈系統(tǒng)中的幾何相位與量子相變的影響.郗玉興等[29]研究了 XZX+YZY和XZY—YZX 三格點相互作用對XXZ自旋鏈模型中隱形傳態(tài)量子的影響.

從以上研究的結果看, 雖然XZY—YZX三格點相互作用[20]和DM相互作用[21]在一個淬火過程中的非平衡量子熱力學性質(zhì)的影響已經(jīng)分別被人們研究.但到目前為止, 還未見到關于XZX+YZY三格點相互作用對于一個淬火的XY自旋鏈模型中非平衡量子熱力學的影響的研究報道.另外, 據(jù)我們所知：XZY—YZX三格點相互作用[20]和DM相互作用[21]在XY自旋鏈模型中所起的作用只體現(xiàn)在能譜中, 它們同由波戈留波夫變換決定的本征態(tài)是無關的.然而, XZX+YZY型三格點相互作用在XY旋鏈模型中的作用不僅體現(xiàn)在能譜中, 也同由波戈留波夫變換決定的本征態(tài)密切相關[26-28].它們之間的這個顯著區(qū)別是促使本文研究的主要初衷之一.因此, 本文研究了 XZX +YZY三格點相互作用對于一個淬火的XY自旋鏈模型中平均功、功漲落和不可逆熵產(chǎn)生等量子熱力學量的影響.研究發(fā)現(xiàn)：XZX+YZY三格點相互作用可能對 XY自旋鏈淬火過程中平均功的增加起正面作用和負面作用, 關鍵取決于初始外磁場強度的取值.另外也發(fā)現(xiàn)：通過調(diào)節(jié) XZX + YZY 三格點相互作用強度可以很有效地抑制淬火過程中的功漲落.總之, 本文獲得的結果對進一步研究淬火過程中的非平衡態(tài)熱力學有一定的借鑒意義.本文結構安排如下：在第2節(jié)簡要介紹了非平衡態(tài)熱力學中的一些重要物理量, 如功分布、平均功、功漲落、不可逆熵產(chǎn)生等的定義; 在第3節(jié)中給出了研究的理論模型及其精確解; 第4節(jié)是數(shù)值模擬結果的理論分析和討論; 第5節(jié)對文中獲得的結果做了簡要總結和展望.

2 非平衡態(tài)熱力學：平均功、功漲落和不可逆熵產(chǎn)生

本節(jié)簡要地介紹在非平衡態(tài)熱力學中一些重要的概念和公式, 如平均功、功漲落、不可逆熵產(chǎn)生等.這里考慮一個量子系統(tǒng)的動力學, 它由一個含有外界控制參數(shù)(或者叫功參數(shù))λ(t) 的哈密頓量H(λ(t)) 來決定.假設對于一個固定的功參數(shù)λ(t≤ 0)=λ0, 系統(tǒng)最初與一個熱庫 (溫度為β=1/T)被制備在一個熱平衡態(tài), 即系統(tǒng)的初態(tài)就可以用吉布斯熱平衡態(tài)來表示為

一方面, 由功的第n階量的平均計算公式以及累積量的定義可知：平均功及功的方差 (也被稱為功漲落)Σ2=能表示成

另一方面, 方程(2)中功分布的量子統(tǒng)計本質(zhì)允許我們將熱力學第二定律重新改寫為其中 ?F表示系統(tǒng)自由能的增量.如果要將這個不等式寫成等式, 則和 ?F之間存在這樣的關系：被稱為平均不可逆功.這樣可以得到平均不可逆功?F.進一步, 所謂的不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr被定義為[4]

特別地, 不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr是非平衡態(tài)過程中不可逆性的一個度量方式.值得指出的是, 不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr也可等價地用一個給定時刻的密度算符與一個假設的吉布斯熱平衡態(tài)之間的量子相對熵來表示[30]：

其中S(ρ||ρ?)=Tr(ρlogρ-ρlogρ?)表示任意兩個態(tài)ρ和ρ?之間的相對熵.特別地, 文獻 [18, 30, 31]研究表明：當系統(tǒng)的哈密頓量在外界因素作用下經(jīng)歷一個突然改變(淬火)時, 這個淬火過程中產(chǎn)生的不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr能表示成淬火之前和淬火之后對應的吉布斯熱平衡態(tài)之間的距離：

3 理論模型及其精確解

本文將考慮一個一維帶有XZX + YZY三格點相互作用的各向異性XY自旋鏈系統(tǒng)模型.該模型對應的哈密頓量可表示成[24,26-28]

其中參數(shù)N表示整個自旋鏈的格點數(shù), 參數(shù)表示著名的3個泡利矩陣, 參數(shù)γ表示在XY平面中任意兩個自旋粒子之間相互作用的各向異性參數(shù), 參數(shù)λ表示施加在每個自旋粒子上的橫向磁場強度, 以及α表示 XZX+YZY 型三格點相互作用強度.在 XY自旋鏈系統(tǒng)模型中三格點相互作用可形象用圖1來表示.原則上, 可以研究當方程 (8)中γ,λ,α三個參數(shù)中任意一個參數(shù)發(fā)生一個突變時的非平衡態(tài)熱力學性質(zhì).然而, 考慮到施加在自旋粒子上的橫向外磁場比較容易操控.所以, 本文僅討論當橫向外磁場發(fā)生一個突變時方程(8)所示模型中的非平衡態(tài)熱力學性質(zhì).

圖1 帶有 XZX+ YZY 三格點相互作用的 XY 自旋鏈系統(tǒng)模型的示意圖[24]Fig.1.Schematic representation of the structure of the XY model with XZX + YZY three site interaction[24].

方程(8)所示的哈密頓量可通過著名的Jordan-Wigner變換、傅里葉變換和波戈留波夫變換被對角化[26-28,32].首先通過 Jordan-Wigner變換可以將自旋粒子映射為一維無自旋費米子, 它們之間的算符關系通過如下方式聯(lián)系：

這樣, 方程(8)中的哈密頓量被轉(zhuǎn)換成

接下來, 對方程(11)右邊按順序分別做傅里葉 變 換 如以 及 波 戈留波夫變換如νk=sin(θk/2))后, 方程(5)中的哈密頓量能化成對角化的形式

其中能譜

并且

且對于一個偶數(shù)N,k=-(N-1)/2,···, (N-1)/2 .明顯地, 當考慮α=0 , 能譜

退化成沒有考慮 XZX+YZY 三格點相互作用的XY型自旋鏈的能譜[18,33,34].

本文考慮一個淬火過程, 即在XY型自旋鏈中, 通過外界的控制給自旋粒子的磁場從開始t=0時的λ0經(jīng)過一個極小的時間τ突然改變到λτ的過程.假設自旋鏈系統(tǒng)最初處在吉布斯熱平衡態(tài)如方程(1)所示, 那么不難得到對應的配分函數(shù)Z(λ0)有

采用類似于上面的對角化程序, 那么在τ時刻自旋鏈系統(tǒng)的哈密頓量有對角化形式明顯地, 在時刻τ的費米算符和在開始t=0 的費米算符是不相同的, 然而它們之間關系可通過下列方式得到.首先考慮到波戈留波夫變換

式中μk=cos(θk/2),νk=sin(θk/2)), 可得到

由于本文考慮的是系統(tǒng)的哈密頓量經(jīng)歷一個淬火過程(意味著系統(tǒng)還來不及演化), 所以自旋鏈系統(tǒng)自身演化的幺正算符U(τ,0) 為一個單位算符, 這樣功分布的特征函數(shù)如方程(3)能簡化為

利用方程(20), 方程(21)所示功分布的特征函數(shù)能夠被獲得：

根據(jù)已有對于研究量子伊辛模型[18]和XY型自旋鏈模型[19,20]的研究結果可知, 一旦功分布的特征函數(shù)的表達式已知, 不難證明著名的Jarazynski等式[4]以及Tasaki-Crooks關系[5,6]都是成立的.只是本文考慮的模型與他們研究的模型稍有不同,而實際的證明過程是相同的, 這里為了避免重復,證明過程在此省略.

進一步, 根據(jù)方程(4)中平均功及功漲落的定義, 本文考慮的模型中的平均功?和功漲落Σ2能被獲得精確的表達式：

又根據(jù)著名的Jarazynski等式[4]

能獲得

這樣不可逆熵產(chǎn)生如方程(5)能退化成

4 分析與討論

4.1 XZX+YZY三格點相互作用對平均功及功漲落Σ2的影響

相互作 用 強度 (α=0.0,0.2,0.6) , 平均功隨初始外磁場強度λ0的改變呈現(xiàn)單調(diào)遞減到一個共同的穩(wěn)定值的變化關系, 如此類似的關系也存在于其他自旋鏈模型如帶有DM相互作用XY自旋鏈中[21].2) 這里存在一個臨界的初始外磁場強度λ0c, 當λ0＞λ0c時, XZX+YZY三格點相互作用對平均功的增加起著一個正面的作用, 即隨著XZX+YZY三格點相互作用強度α的增加, 平均功也單調(diào)地增加; 而當λ0＜λ0c時, XZX+YZY三格點相互作用對平均功的增加起著一個負面的作用, 即隨著三格點相互作用強度α的增加,平均功會單調(diào)地減少.為了更細致地闡明上述關系, 在圖2(a)的內(nèi)插圖中分別給出了對于不同的λ0值(如λ0=0.5,1)平均功隨三格點相互作用強度α的變化.明顯地, 當選擇λ0=0.5 時, 平均功隨α的增加而單調(diào)地減少(見圖2(a)內(nèi)插圖中的實線); 當選擇λ0=1 時, 平均功?隨α的增加而單調(diào)地增加(見圖2(a)內(nèi)插圖中的虛線).總之, 圖2(a)的內(nèi)插圖中曲線的變化趨勢同前面所得到的結果是完全符合的.我們注意到, 這一結果不同于文獻[21]研究的帶有DM相互作用XY自旋鏈中DM相互作用對平均功的影響.在文獻[21]中, Wang等發(fā)現(xiàn)：在初始外磁場強度λ0c所取范圍內(nèi)(同本文中所取范圍是相同的), DM相互作用對平均功的增加總是起著一個正面的作用, 即在0≤λ0≤2范圍內(nèi), 隨著DM相互作用強度的增加,平均功也單調(diào)地增加.之所以本文考慮的XZX+YZY三格點相互作用同DM相互作用對相同 XY型自旋鏈模型中平均功的影響有區(qū)別是因為：DM相互作用產(chǎn)生的效果只體現(xiàn)在能譜中[21],而相應能量本征態(tài)與DM相互作用是無關的.而本文考慮的 XZX+YZY 三格點相互作用產(chǎn)生的效果不僅體現(xiàn)在如方程(13)的能譜中, 而且也體現(xiàn)在相應的能量本征態(tài)(14)中.另外, 圖2(b)也顯示了類似的變化規(guī)律.因此, 在本文考慮的模型中,XZX + YZY三格點相互作用對平均功是起正面作用還是負面作用, 與初始外磁場強度λ0的取值密切相關.3) 隨著各向異性參數(shù)γ越大, 三格點相互作用強度α對平均功的影響就越小(比較圖2(a)和圖2(b)).

圖2 平均功 在不同的三格點相互作用強度 α 和各向異性參數(shù) γ 下隨初始外磁場強度 λ0 的變化 (a) γ =0.1 ; (b) γ =0.8 ;其他的參數(shù)被設定為 β =100 , δ λ= λτ-λ0=0.01 ,N=5000Fig.2.Averaged work 〉 and work distribution fluctuation Σ 2 as a function of λ0 under various α for γ =0.1 (a) and γ=0.8(b).Other parameters are β =100 , δλ = λτ-λ0=0.01 and N =5000 .

圖3 功漲落 Σ 2 對于不同的三格點相互作用強度 α 和各向異性參數(shù) γ 隨初始外磁場強度 λ0 的變化 (a) γ =0.1 ; (b) γ =0.8 ;其他的參數(shù)被設定為 β =100 , δλ = λτ-λ0=0.01 ,N=5000Fig.3.Work fluctuation Σ 2 as a function of λ0 under various α for γ =0.1 (a) and γ =0.8 (b).Other parameters are β=100,δλ= λτ-λ0=0.01and N =5000 .

接下來, 進一步研究 XZX+YZY三格點相互作用強度α和各向異性參數(shù)γ對功漲落Σ2的影響.具體給出了功漲落Σ2對于不同的XZX+YZY三格點相互作用強度α和各向異性參數(shù)γ隨初始外磁場強度λ0的變化, 如圖3所示.通過觀察圖3(a)和圖3(b), 可以發(fā)現(xiàn)一些有興趣的結果：1)明顯地, 通過調(diào)節(jié)三格點相互作用強度α可以很有效地抑制功漲落Σ2(如短劃線與點線).2)當沒有考慮XZX+YZY三格點相互作用如α=0 (如實線所示)時, 功漲落Σ2從開始經(jīng)過一段平緩區(qū)域后突然單調(diào)衰減.這表示功漲落Σ2對較小的初始外磁場強度λ0是不敏感的, 而對較大的初始外磁場強度λ0比較敏感.而當考慮了三格點相互作用如α=0.2,0.6(如短劃線和點線所示)時, 功漲落Σ2從一開始呈現(xiàn)下降到突然單調(diào)衰減.這說明XZX +YZY三格點相互作用可以提高功漲落Σ2對初始外磁場強度的敏感度, 從而達到抑制功漲落的目的.3) 有沒有考慮XZX+YZY 三格點相互作用其功漲落Σ2出現(xiàn)明顯衰減的臨界磁場位置是不同的,如沒有考慮XZX+YZY三格點相互作用α=0 ,臨界磁場強度在λ=λc=1 (如實線所示); 而當考慮 XZX+YZY 三格點相互作用時功分布漲落Σ2的臨界磁場強度是λ=λc=1+α(如短劃線和點線所示).我們注意到, 這些臨界磁場強度是同用著名 Loschmidt echo (LE)的動力學敏感性來判定伊辛自旋鏈模[35]、標準的各向 XY 自旋鏈模型[36]、含有 XZX+YZY三格點相互作用的 XY自旋鏈模型[24,27]中量子相變發(fā)生的臨界磁場位置是相同的,其原因是文中方程(3)所示的特征函數(shù)同LE有類似的形式[37].其實, 在圖2即平均功隨初始外磁場強度λ0c變化曲線中也有相同臨界磁場位置,只是沒有這么明顯.4) 隨著各向異性參數(shù)γ的增加, 功漲落Σ2隨初始外磁場強度λ0變化的趨勢都將變得更為平緩.

4.2 XZX+YZY三格點相互作用對不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr的影響

最后來研究XZX+YZY三格點相互作用對量子熱力學中一個很重要的物理量即不可逆熵產(chǎn)生?Sirr的影響.根據(jù)方程(27), 給出了不可逆熵產(chǎn)生?Sirr對于不同的 XZX+YZY 三格點相互作用強度α隨初始外磁場強度λ0的變化, 結果如圖4所示.其中圖4(a)對應較小的各向異性參數(shù)γ=0.1的情況; 而圖4(b)對應較大的各向異性參數(shù)γ=0.8 的情況.從圖4(a)和圖4(b)可以看到, 在低溫下 (β=100) , 對于 各種三格點相互 作用強度(α=0→0.2→0.6), 不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr在臨界磁場強度附近都存在一個尖峰現(xiàn)象, 這個尖峰的出現(xiàn)能夠利用一個給定時刻的密度算符與一個假設的吉布斯熱平衡態(tài)之間的量子相對熵來解釋.從方程(6)可知, 不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr等價于一個給定時刻的密度算符與一個假設的吉布斯熱平衡態(tài)之間的量子相對熵.特別地, 對于系統(tǒng)的哈密頓量經(jīng)過一個淬火過程使得哈密頓量中的參數(shù)發(fā)生一個突變時, 不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr進一步簡化成淬火之前和淬火之后對應的吉布斯熱平衡態(tài)之間的距離,如 方 程 (7), 即 ?Sirr=S[ρG(λ0)||ρG(λτ)] .那 么 ,當外界橫向磁場強度在其臨界磁場強度附近發(fā)生一個很小的改變時, 相應的熱平衡態(tài)之間將會發(fā)生一個顯著的改變, 這樣導致不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr在外界磁場強度接近臨界磁場強度時表現(xiàn)為急劇增加或減少而形成尖峰特征.進一步還發(fā)現(xiàn), 隨著XZX+YZY三格點相互作用α的增加(如圖4中的實線 → 短劃線 → 點線), 不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr出現(xiàn)尖峰位置不斷地降低.這個結果能被解釋如下：沒有XZX+YZY 三格點相互作用時的臨界磁場強度是在λ=λc=1 , 而有 XZX+YZY 三格點相互作用時臨界磁場強度是在λ=λc=1+α.假設外磁場強度偏離臨界磁場強度一個小量ε, 那么, 沒有XZX+YZY 三格點相互作用時其淬火前的外磁場強 度 為λ0=1-ε, 淬火后的外磁場強度為λτ=0.01+λ0=0.01+1-ε; 而有 XZX+YZY 三格點相互作用時其淬火前的外磁場強度為λ0=α+1-ε, 淬火后的外界磁場強度為λτ=α+0.01+1-ε.通過簡單的數(shù)值計算發(fā)現(xiàn),不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr如方 程 (27)隨著 XZX +YZY三格點相互作用強度α的增加而不斷地減少.這樣導致了不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr的尖峰位置隨三格點相互作用α的增加不斷地降低的特征.最后, 比較圖4(a)和圖4(b), 明顯可看出, 隨著各向異性參數(shù)γ的增加, 不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr隨初始外磁場強度λ0呈現(xiàn)更平緩的變化趨勢.

圖4 不可逆熵產(chǎn)生 Δ Sirr 對于不同的三格點相互作用強度 α 和各向異性參數(shù) γ 隨初始外磁場強度 λ0 的變化 (a) γ =0.1 ;(b) γ =0.8 ; 其他的參數(shù)被設定為 β =100 , δλ =λτ-λ0=0.01 ,N=5000Fig.4.Irreversible entropy production Δ Sirr as a function of λ0 under various α for γ =0.1 (a) and γ =0.8 (b).Other parameters are β =100 , δλ = λτ-λ0=0.01 and N =5000 .

5 結 論

考慮了XZX+YZY三格點相互作用對XY自旋鏈中當橫向磁場發(fā)生一個突然改變時的平均功、功漲落、不可逆熵產(chǎn)生等量子熱力學量的影響.通過解析求解和數(shù)值模擬, 發(fā)現(xiàn)了一些很有興趣的結果.1) XZX+YZY三格點相互作用可能對平均功的增加起正面作用和負面作用, 與初始外磁場強度λ0的取值密切相關.2) 通過調(diào)節(jié) XZX+YZY 三格點相互作用強度可以很有效地抑制功漲落.這一結論同文獻[21]對于DM相互作用對XY型自旋鏈模型中功分布的影響是相同的, 即通過調(diào)節(jié)DM相互作用強度可以很有效地抑制功漲落.3) 不可逆熵產(chǎn)生在臨界磁場附近會出現(xiàn)特殊的尖峰特征,并且尖峰值隨XZX+YZY三格點相互作用的增加有不斷減少的趨勢.進一步, 利用對于一個突然淬火的物理過程, 不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr能表示成淬火之前和淬火之后對應的吉布斯態(tài)之間的距離(方程(7)), 且對不可逆熵產(chǎn)生在臨界磁場附近會出現(xiàn)尖峰特征可以進行合理的物理解釋.這里需要指出的是, 文中獲得的相關結果是在低溫條件即β=100的條件下獲得的.至于在高溫條件, 即β較小下XZX+YZY三格點相互作用對平均功、功漲落以及不可逆熵產(chǎn)生的影響與文中在低溫條件給出的結果是否有很大的差別, 這值得今后進一步研究.總之, 本文獲得的結果, 將在淬火非平衡量子熱力學領域的相關研究中有一定的理論指導意義.