唐暉　李小軍

摘要：針對(duì)應(yīng)用多次透射人工邊界公式求解散射問題時(shí)可能出現(xiàn)的飄移失穩(wěn)現(xiàn)象，對(duì)比分析了實(shí)時(shí)降階法、修正算子法、附加黏彈器法和改進(jìn)輸入法的消飄效果和對(duì)計(jì)算精度的影響，結(jié)果表明：4種方法均可有效消除或抑制比較緩慢的飄移失穩(wěn)現(xiàn)象;飄移趨勢(shì)強(qiáng)烈時(shí)，修正算子法和附加黏彈器法可能無法有效地抑制失穩(wěn);當(dāng)阻尼較小時(shí)，采用實(shí)時(shí)降階法可能引入額外的低頻誤差;在能夠確定適當(dāng)參數(shù)值的前提下，修正算子法和附加黏彈器法能夠提高低頻計(jì)算精度;改進(jìn)輸入法則無需人為設(shè)置參數(shù)，能夠在抑制飄移失穩(wěn)的同時(shí)提高計(jì)算精度。

關(guān)鍵詞：多次透射人工邊界公式;飄移失穩(wěn);消飄措施

中圖分類號(hào)：P315.9?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A?文章編號(hào)：1000-0666（2019）04-0493-10

0?引言

多次透射人工邊界（MTF）是由Liao和Wong（1984）提出的可具有N階精度的局部人工邊界條件，其基本思想是直接模擬外行波穿過邊界的過程，通過與邊界點(diǎn)相鄰的內(nèi)部點(diǎn)在現(xiàn)在時(shí)刻以及前幾個(gè)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)給出邊界點(diǎn)在下一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)量。這種時(shí)空解耦的邊界條件不僅物理意義清晰，且易于在數(shù)值離散計(jì)算中實(shí)現(xiàn)，良好的普適性、靈活性以及計(jì)算效率等方面的明顯優(yōu)勢(shì)使其能夠在求解復(fù)雜問題中發(fā)揮積極的作用，得到廣泛應(yīng)用（楊光，劉增武，1994;李小軍等，1995;金星等，2004;丁海平等，2006;孔戈等，2007;徐建平等，2008;陳少林等，2010;盧再華等，2010;唐暉等，2012;李鐵飛等，2013;方宏遠(yuǎn)，林皋，2013）。

與其它局部邊界相同，該邊界條件在應(yīng)用中也存在穩(wěn)定性問題，這也一直是人們關(guān)注的重要問題。為了消除或抑制多次透射人工邊界可能引入的飄移失穩(wěn)，李小軍和廖振鵬（1996）首先針對(duì)散射問題探討了低頻飄移現(xiàn)象的形成機(jī)制，指出入射波場(chǎng)采用連續(xù)介質(zhì)解析解與離散模型中實(shí)際入射波之間的差別會(huì)導(dǎo)致低頻飄移失穩(wěn)，并給出了計(jì)算過程中實(shí)時(shí)降低透射階數(shù)以穩(wěn)定計(jì)算的建議;周正華和廖振鵬（2001，2004）基于雙曲型偏微分方程數(shù)值解穩(wěn)定性GKS準(zhǔn)則給出飄移失穩(wěn)的另一個(gè)解釋，即多次透射人工邊界無法阻止波動(dòng)中的零頻成分進(jìn)入計(jì)算區(qū)域，提出了在多次透射人工邊界公式中加入修正算子的消除漂移失穩(wěn)措施;李小軍和楊宇（2012）嘗試在邊界施加黏彈性組件來抑制飄移失穩(wěn);唐暉等（2016）給出了一種改進(jìn)的波動(dòng)輸入方法，即通過劃分邊界區(qū)，計(jì)算獲得入射波場(chǎng)的數(shù)值解以實(shí)現(xiàn)波動(dòng)輸入，從而減小入射波場(chǎng)采用解析解引入的誤差以消除或抑制低頻飄移現(xiàn)象。

實(shí)際工程中采用何種消除飄移失穩(wěn)措施（后文簡稱消飄措施），除了考慮其能否在計(jì)算時(shí)間內(nèi)消除或抑制飄移失穩(wěn)現(xiàn)象，還須考量所采用方法對(duì)于計(jì)算精度的影響，尤其是對(duì)低頻響應(yīng)較為敏感的長周期結(jié)構(gòu)等。鑒于此，本文針對(duì)利用多次透射人工邊界求解如構(gòu)筑物抗震分析等波動(dòng)散射問題時(shí)可能出現(xiàn)的飄移失穩(wěn)現(xiàn)象，綜合對(duì)比分析實(shí)時(shí)降階法、修正算子法、附加黏彈器法和改進(jìn)輸入法在消除飄移失穩(wěn)方面的效果和對(duì)計(jì)算結(jié)果精度的影響，以期為多次透射人工邊界條件在工程中應(yīng)用提供有益的參考。

1?飄移失穩(wěn)機(jī)制

對(duì)于采用多次透射人工邊界時(shí)出現(xiàn)的飄移失穩(wěn)機(jī)制有2種：一種是從透射邊界公式本身出發(fā)，另一種是針對(duì)利用多次透射人工邊界求解散射問題的情況。

第一種（周正華，廖振鵬，2001，2004）定義傳遞因子為Bmn，傳遞函數(shù)為：

式中：upj代表計(jì)算區(qū)域內(nèi)與邊界相距jcaΔt、處在時(shí)刻pΔt的位移，其中ca為人工波速，Δt為離散時(shí)間步距;j，p，m和n均為任意非負(fù)整數(shù)，將N階透射人工邊界公式表示為：

依據(jù)GKS準(zhǔn)則，計(jì)算中不出現(xiàn)飄移失穩(wěn)的充分條件為：任何滿足內(nèi)域內(nèi)行波的波動(dòng)解，不同時(shí)滿足邊界條件。那么，對(duì)于滿足內(nèi)域的彈性波動(dòng)解為：

將式（3）代入式（2）可以得到多次透射邊界不飄移失穩(wěn)的條件：

然而，對(duì)于零頻和零波數(shù)，即ω=k=0的波動(dòng)成分時(shí)，式（4）不成立，即零頻成分可以從多次透射人工邊界條件進(jìn)入計(jì)算內(nèi)域，從而引起飄移失穩(wěn)。謝志南（2014）利用模態(tài)分析法進(jìn)一步分析了相應(yīng)的飄移失穩(wěn)機(jī)制，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合Z變換解釋了零頻飄移失穩(wěn)數(shù)值解的增長模式。

另一種，李小軍和廖振鵬（1996）指出在求解散射問題時(shí)，為了利用透射邊界模擬外行波，地震波動(dòng)輸入過程中需要將總波場(chǎng)分離為入射波場(chǎng)和外行波場(chǎng)：

U=Ui+Us（5）

式中：U，Ui和Us分別代表總波場(chǎng)、入射波場(chǎng)和外行波場(chǎng)。然而，離散網(wǎng)格中實(shí)際入射波場(chǎng)不易獲得，往往采用解析解，其與真實(shí)入射波場(chǎng)之間存在一定差別，公式如下：

式中：Uci，Ucs和ΔU分別代表計(jì)算中的入射波場(chǎng)、外行波場(chǎng)以及計(jì)算入射波場(chǎng)和真實(shí)入射波場(chǎng)之間的誤差。將式（6）（7）代入式（5）可以得到：

即透射邊界模擬的外行波不僅包含真實(shí)的外行波Us，還包含了入射波場(chǎng)誤差ΔU，這會(huì)導(dǎo)致飄移失穩(wěn)現(xiàn)象的產(chǎn)生。

2?消飄措施

2.1?實(shí)時(shí)降階法

李小軍和廖振鵬（1996）指出由于入射波場(chǎng)引入的誤差會(huì)導(dǎo)致飄移失穩(wěn)趨勢(shì)的出現(xiàn)，并且證明了當(dāng)外行波場(chǎng)出現(xiàn)式（9）和（10）的失穩(wěn)趨勢(shì)時(shí)，利用二次及二次以上透射公式時(shí)，計(jì)算飄移失穩(wěn)趨勢(shì)將會(huì)繼續(xù)，即高階透射公式將可能引起計(jì)算飄移失穩(wěn)現(xiàn)象：

式中：upJ-i表示在時(shí)刻pΔt、計(jì)算區(qū)域內(nèi)垂直于邊界并距離邊界節(jié)點(diǎn)J的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)（i=0，1，…，m）的外行波位移?；诖?，李小軍和廖振鵬（1996）給出了實(shí)時(shí)降低透射階數(shù)以消除飄移失穩(wěn)的方法，在計(jì)算過程中對(duì)邊界點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi)m個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，一旦滿足如式（9）和式（10）給出的條件，則之后的n個(gè)計(jì)算步均采用一階透射公式。

2.2?修正算子法

基于飄移失穩(wěn)機(jī)制的第一種解釋，周正華等（2001，2004）針對(duì)邊界條件式（2）進(jìn)行了修改：

式中：γ是任意小正數(shù)。

將式（3）代入式（11）得到對(duì)于任何頻率均可滿足的條件式：

2.3?附加黏彈器法

李小軍和楊宇（2012）嘗試在邊界區(qū)節(jié)點(diǎn)施加黏彈性元件，以約束邊界區(qū)域不合理位移，從而消除高頻或飄移失穩(wěn)趨勢(shì)向計(jì)算內(nèi)域的延續(xù)。該方法將邊界區(qū)內(nèi)包括邊界點(diǎn)J在內(nèi)的邊界法向上2N個(gè)節(jié)點(diǎn)（N階透射公式）的動(dòng)力方程定義為：

式中：[M]為質(zhì)量矩陣;[K′]和[C′]分別為對(duì)體系固有的剛度矩陣[K]和阻尼矩陣[C]進(jìn)行修正后的阻尼矩陣和剛度矩陣：

式中：k0和c0為附加彈簧的剛度系數(shù)和附加阻尼器的阻尼系數(shù)。

2.4?改進(jìn)波動(dòng)輸入法

基于消除或減小所采用的入射波場(chǎng)與有限元網(wǎng)格中的實(shí)際入射波場(chǎng)的差別，從而消除或抑制飄移失穩(wěn)現(xiàn)象的思路，唐暉等（2016）給出了改進(jìn)波動(dòng)輸入的方法，嘗試?yán)枚啻瓮干淙斯み吔鐥l件獲得網(wǎng)格中實(shí)際入射波場(chǎng)用于波動(dòng)輸入中。該方法無需根據(jù)試算或經(jīng)驗(yàn)設(shè)定參數(shù)，計(jì)算方便并能提高計(jì)算精度。

3?消除飄移措施分析

如上文所述，在應(yīng)用多次透射公式求解實(shí)際工程問題，尤其是對(duì)低頻成分敏感的構(gòu)筑物地震響應(yīng)時(shí)，不僅要關(guān)注所采用的消飄措施能否有效消除或抑制失穩(wěn)現(xiàn)象，還須關(guān)注其對(duì)計(jì)算精度的影響。因此，下文將對(duì)這2方面開展對(duì)比分析。需要特別說明的是，波動(dòng)有限元中瑞利阻尼的質(zhì)量系數(shù)使得零波數(shù)及鄰近波動(dòng)對(duì)應(yīng)為非行進(jìn)波，但該數(shù)值對(duì)計(jì)算穩(wěn)定性影響較小，而剛度系數(shù)使得行波的衰減隨波數(shù)增大而增大，能夠抑制高頻失穩(wěn)（章旭斌，謝志南，2017），因此，下文分析中僅考慮瑞利阻尼的剛度系數(shù)。

3.1?消飄措施效果分析

3.1.1?算例一

如圖1所示的均勻水平地表場(chǎng)地，有限元模型尺寸為L=300?m、H=100?m，網(wǎng)格尺寸為2?m×2?m，S波波速為2?100?m/s，瑞利阻尼剛度系數(shù)β=0.001，如圖2所示的SH波位移脈沖以角度θ=45°入射，采用二階透射人工邊界。

當(dāng)采用實(shí)時(shí)降階法時(shí)，式（9）或（10）中用于判斷失穩(wěn)趨勢(shì)的節(jié)點(diǎn)數(shù)和連續(xù)使用一階透射的時(shí)間步數(shù)，即參數(shù)（m，n）分別為（2，3）（3，3）（2，4）和（2，5），計(jì)算所得地表觀測(cè)點(diǎn)的位移時(shí)程如圖3a所示，本算例中飄移失穩(wěn)趨勢(shì)較為緩慢。如何設(shè)置用于判斷失穩(wěn)趨勢(shì)的節(jié)點(diǎn)數(shù)和連續(xù)使用一階透射的計(jì)算步數(shù)對(duì)于消飄效果會(huì)產(chǎn)生顯著影響，其中（m，n）為（2，3）的消飄效果較好，而一階透射計(jì)算步數(shù)增加為4和5時(shí)，計(jì)算誤差隨之增加，在計(jì)算時(shí)間內(nèi)無法有效抑制低頻飄移，當(dāng)m=3時(shí)，即基于邊界法向上包括邊界節(jié)點(diǎn)在內(nèi)的4個(gè)節(jié)點(diǎn)判斷失穩(wěn)時(shí)，計(jì)算結(jié)果會(huì)出現(xiàn)更明顯偏離。

圖3b為采用修正算子法獲得的計(jì)算結(jié)果，其中修正算子λ取值分別為0.000?1，0.000?5，0.001和0.002。當(dāng)λ=0.000?1時(shí)，對(duì)計(jì)算結(jié)果影響有限，無法有效抑制飄移現(xiàn)象;λ=0.000?5時(shí)，該方法較好地消除了飄移失穩(wěn);而λ=0.001和0.002時(shí)，給計(jì)算結(jié)果引入了較大的低頻干擾。

采用附加黏彈器法在邊界設(shè)置附加彈簧和附加阻尼系數(shù)分別為（5，0）（8，0）（8，8）和（15，0）時(shí)，相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果如圖3c所示，其中附加彈簧和附加阻尼系數(shù)為（8，0）時(shí)能夠有效地消除飄移失穩(wěn)，與修正算子法類似，其消飄效果依賴于附加彈簧系數(shù)和附加阻尼系數(shù)取值。

采用改進(jìn)輸入法獲得的觀測(cè)點(diǎn)位移時(shí)程如圖3d所示，該方法可以有效地抑制低頻飄移現(xiàn)象，重要的是，采用該方法不需要依據(jù)經(jīng)驗(yàn)試算設(shè)定參數(shù)。

3.1.2?算例二

如圖4所示的不規(guī)則凹陷場(chǎng)地，計(jì)算區(qū)域尺寸為L=950?m，H=200?m，SH波以30°從左下角入射，其位移時(shí)程如圖2所示，S波波速2?100?m/s，瑞利阻尼與算例一相同，最小網(wǎng)格為2?m左右。采用實(shí)時(shí)降階法，修正算子法，附加黏彈器法和改進(jìn)輸入法獲得的觀測(cè)點(diǎn)位移時(shí)程和其頻譜曲線如圖5所示。與算例一不同，該算例中飄移失穩(wěn)趨勢(shì)較為強(qiáng)烈，當(dāng)m=2以及連續(xù)使用一階透射的次數(shù)n為3，4和5時(shí)，實(shí)時(shí)降階法均能在計(jì)算時(shí)間內(nèi)較好地抑制飄移失穩(wěn)，而m=3時(shí)無法抑制或消除失穩(wěn)現(xiàn)象。修正算子法中修正算子λ分別為0.000?1，0.001，0.002和0.005，修正算子λ越大，對(duì)飄移現(xiàn)象的抑制作用越強(qiáng)，但也會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來過大的低頻干擾，從而失去了應(yīng)用意義。而邊界設(shè)置附加彈簧和附加阻尼系數(shù)分別為（5，0）（15，0）（30，0）和（30，30）時(shí)，與修正算子法相同，無論如何設(shè)置黏彈器參數(shù)也無法在不過度引入低頻誤差的前提條件下有效地抑制飄移失穩(wěn)現(xiàn)象。采用改進(jìn)輸入法后，計(jì)算時(shí)間內(nèi)失穩(wěn)趨勢(shì)同樣得到了很好的抑制。

綜上可知，就二階透射而言，對(duì)于失穩(wěn)現(xiàn)象較為平緩的情況，上述4種方法均能消除或抑制飄移失穩(wěn)。基于邊界內(nèi)幾個(gè)點(diǎn)判斷失穩(wěn)趨勢(shì)以及失穩(wěn)趨勢(shì)出現(xiàn)后采用一階透射時(shí)間步數(shù)都會(huì)對(duì)實(shí)時(shí)降階法的消飄效果產(chǎn)生影響，二者取值過大可能會(huì)給結(jié)果引入過多誤差，影響消飄效果，建議判斷失穩(wěn)趨勢(shì)時(shí)，式（9）（10）中m和連續(xù)使用一階透射次數(shù)n分別取值2和3。修正算子法中修正因子λ如何選取十分關(guān)鍵，其取值過小無法很好地抑制或消除飄移失穩(wěn)，取值過大則會(huì)影響計(jì)算精度，尤其是對(duì)于低頻波動(dòng)成分，修正算子λ如何取值既能消除失穩(wěn)又不過多影響計(jì)算結(jié)果精度。目前除了經(jīng)驗(yàn)試算仍沒有很好的方法，然而，對(duì)于一些復(fù)雜工程問題往往無法通過經(jīng)驗(yàn)試算來判斷λ取值是否合理。與修正算子法類似，附加黏彈器法亦需要通過經(jīng)驗(yàn)試算確定。改進(jìn)的輸入法可以有效地消除飄移失穩(wěn)，并獲得合理的計(jì)算結(jié)果。

與實(shí)時(shí)降階法和改進(jìn)輸入法不同，當(dāng)失穩(wěn)趨勢(shì)強(qiáng)烈時(shí)，修正算子法和附加黏彈器法可能無法在過多影響計(jì)算精度的前提條件下有效地抑制低頻飄移失穩(wěn)。

3.2?消飄措施對(duì)計(jì)算精度影響分析

為了對(duì)比上述消除低頻飄移方法對(duì)計(jì)算精度的影響，以如圖1所示的水平均勻場(chǎng)地為算例，模型尺寸L和H分別為480和200?m，有限元網(wǎng)格亦為2?m×2?m，計(jì)算時(shí)間步距為0.000?2?s，位移時(shí)程如圖6所示，SH波從模型左下以45°角度入射。參考算例一的結(jié)果，實(shí)時(shí)降階法中用于判斷失穩(wěn)的邊界內(nèi)節(jié)點(diǎn)數(shù)和連續(xù)一階透射計(jì)算步數(shù)（m，n）為（2，3），修正邊界法中修正因子λ=0.000?5，附加黏彈器法中彈簧和阻尼系數(shù)為（8，0），在算例一中，4種消飄措施均能抑制飄移失穩(wěn)現(xiàn)象。瑞利阻尼剛度系數(shù)為0.000?02和0.001時(shí)，地表觀測(cè)點(diǎn)的位移時(shí)程分別如圖7a和圖8a所示，其頻譜曲線分別如圖7b和圖8b所示，對(duì)于低頻波動(dòng)成分為1，2，3，4?Hz，阻尼可忽略，地表處相對(duì)于輸入的放大系數(shù)可以近似為2，圖7c～f和圖8c～f則分別給出計(jì)算獲得的地表放大系數(shù)誤差。觀察輸入位移脈沖和計(jì)算所得地表觀測(cè)點(diǎn)的頻譜曲線、地表放大系數(shù)誤差曲線可以看出，當(dāng)阻尼為0.000?02時(shí)，實(shí)時(shí)降階法雖然抑制了“零頻”飄移，卻給低頻成分的計(jì)算結(jié)果引入了更大的誤差，而阻尼為0.001時(shí)，該方法在抑制失穩(wěn)的同時(shí)提高了低頻成分計(jì)算精度，這可能是因?yàn)榈妥枘釙r(shí)高頻波動(dòng)成分豐富，而實(shí)時(shí)降階法對(duì)這部分波動(dòng)的計(jì)算精度影響較大，誤差波在計(jì)算區(qū)域疊加從而導(dǎo)致了低頻誤差增加。阻尼大小對(duì)其他3種消飄措施的影響較小，這3種方法不僅能夠在計(jì)算時(shí)間內(nèi)消除“零頻”飄移現(xiàn)象，還能提高計(jì)算精度，其中，改進(jìn)輸入法對(duì)低頻計(jì)算精度的提高最為明顯。

4?結(jié)論

本文對(duì)比分析了實(shí)時(shí)降階法、修正算子法、附加黏彈器法和改進(jìn)輸入法等4種消飄措施的消飄效果和對(duì)計(jì)算精度的影響。得出以下結(jié)論：

（1）對(duì)于二階人工透射邊界，就消飄效果而言，當(dāng)飄移失穩(wěn)較為緩慢時(shí)，實(shí)時(shí)降階法、修正算子法、附加黏彈器法和改進(jìn)輸入法均可用于抑制失穩(wěn)，但是，前3種措施的消飄效果與其參數(shù)設(shè)置有關(guān)。當(dāng)基于包括邊界點(diǎn)在內(nèi)的3個(gè)節(jié)點(diǎn)的結(jié)果來判斷失穩(wěn)趨勢(shì)，并在失穩(wěn)趨勢(shì)出現(xiàn)后連續(xù)使用3

圖8?瑞利阻尼剛度系數(shù)β為0.001時(shí)的觀測(cè)點(diǎn)位移時(shí)程（a）、頻譜曲線（b）、以及頻率分別為1（c），2（d），3（e），4（f）Hz時(shí)的波動(dòng)成分地表放大系數(shù)誤差次一階透射計(jì)算步數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，實(shí)時(shí)降階法的消飄效果相對(duì)較好。而為了消除失穩(wěn)的同時(shí)不過多影響計(jì)算精度，修正算子法中修正算子以及附加黏彈器法中彈簧和剛度系數(shù)則需要通過經(jīng)驗(yàn)試算來確定。然而，對(duì)于許多復(fù)雜的實(shí)際工程往往無法評(píng)價(jià)參數(shù)的選取是否合理，改進(jìn)輸入法不需要人為設(shè)置參數(shù)，且消飄效果良好。

（2）飄移失穩(wěn)趨勢(shì)強(qiáng)烈時(shí)，修正算子法和附加黏彈器法可能會(huì)引入較大低頻誤差，從而失去了應(yīng)用價(jià)值。不同于失穩(wěn)趨勢(shì)緩慢的情況，實(shí)時(shí)降階法在基于包括邊界點(diǎn)在內(nèi)的邊界內(nèi)3節(jié)點(diǎn)判斷失穩(wěn)趨勢(shì)，且連續(xù)使用一階透射次數(shù)大于或等于3次時(shí)，均能在計(jì)算時(shí)間內(nèi)有效地抑制失穩(wěn)現(xiàn)象。鑒于此，在利用實(shí)時(shí)降階法時(shí)，建議判斷失穩(wěn)趨勢(shì)的節(jié)點(diǎn)選取包括邊界點(diǎn)在內(nèi)的3個(gè)節(jié)點(diǎn)，且失穩(wěn)趨勢(shì)出現(xiàn)后的3個(gè)計(jì)算步驟均使用一階透射;改進(jìn)輸入法則仍能夠有效地抑制失穩(wěn)現(xiàn)象。

（3）當(dāng)4種措施都能抑制飄移失穩(wěn)時(shí)，即計(jì)算出現(xiàn)緩慢的飄移現(xiàn)象時(shí)，實(shí)時(shí)降階法在阻尼較大時(shí)可以提高低頻成分計(jì)算精度，但是，由于降低透射階數(shù)也就降低了精度，所以，這方面不如另外3種措施，而阻尼較小時(shí)，該方法則可能會(huì)引起更大的低頻誤差。在能夠確定合適參數(shù)的前提條件下，修正算子法和附加黏彈器法可以在抑制低頻飄移的同時(shí)提高計(jì)算精度。改進(jìn)輸入法不僅消飄效果良好，其對(duì)計(jì)算精度的提高也十分明顯，重要的是該方法不需要人為設(shè)置參數(shù)，應(yīng)用較為方便。

對(duì)于三階及三階以上的高階透射邊界，單獨(dú)采用這4種方法均無法有效地消除或抑制失穩(wěn)現(xiàn)象，而本文的研究結(jié)果提供了將改進(jìn)輸入法和其他措施結(jié)合以消除失穩(wěn)的思路。

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Analysis?on?Measures?of?Eliminating?Drift?instability?of?Multi-transmissionFormula?in?Solving?Scattering?Problems

TANG?Hui1，LI?Xiaojun2，3

（1.Nuclear?and?Radiation?Safety?Center，MEP，Beijing?100082，China）（2.College?of?Architecture?and?Civil?Engineering，Beijing?University?of?Technology，Beijing?100124，China）（3.Institute?of?Geophysics，China?Earthquake?Administration，Beijing?100081，China）

Abstract

Abstract：For?solving?the?wave?scattering?problems?with?Multi-Transmitting?Formula，the?effects?of?the?real-time?order?reduction?method，the?modified?operator?method，the?adding?visco-elastic?elements?method?and?the?improved?wave?input?method?on?eliminating?drift?instability?and?on?computation?accuracy?are?compared?and?analyzed?to?provide?useful?reference?for?engineering?application?of?this?artificial?boundary.The?results?show?these?four?methods?can?effectively?eliminate?the?relatively?slow?drift?instability?phenomenon;when?the?instability?trend?is?strong，the?modified?operator?method?and?the?adding?visco-elastic?elements?method?cannot?depress?the?instability?effectively.The?low-frequency?errors?may?be?introduced?by?the?real-time?order?reduction?method?when?the?damping?is?small.Under?the?premise?that?the?values?of?parameters?can?be?determined?appropriately，the?modified?operator?method?and?the?adding?visco-elastic?elements?method?can?improve?the?calculation?accuracy?of?low-frequency.The?improved?wave?input?method?can?depress?drift?instability?and?improve?calculation?accuracy?without?setting?parameters?artificially.

Keywords：Multi-Transmitting?Formula;drift?instability;measures?of?eliminating?drift?instability