高慧明

北京市中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，現(xiàn)任教于北京市第十二中學(xué);教育部課程改革“全國(guó)先進(jìn)工作者”，教育部“國(guó)培計(jì)劃”全國(guó)中小學(xué)教師培訓(xùn)、班主任培訓(xùn)、校長(zhǎng)培訓(xùn)特邀主講專家，受邀為教育部“國(guó)培計(jì)劃”做有關(guān)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)、班級(jí)管理、教師專業(yè)成長(zhǎng)等專題報(bào)告多場(chǎng);在《教育研究》《中國(guó)教育學(xué)刊》《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》《數(shù)學(xué)通報(bào)》等學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表論文500余篇，其中100余篇被中國(guó)人民大學(xué)復(fù)印報(bào)刊資料《中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》《中小學(xué)教育》全文轉(zhuǎn)載;已出版?zhèn)€人專著《高中數(shù)學(xué)思想方法及應(yīng)用》《高考數(shù)學(xué)命題規(guī)律與教學(xué)策略》《讓高中生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)》《高慧明數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐與研究》（叢書）等多部，應(yīng)邀主編、參編教材和教學(xué)著作30余部。

反證法屬于間接證明法，是從反面的角度思考問(wèn)題的證明方法。具體地講，反證法是從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、公理、定理、法則或已證明為正確的命題等相矛盾的結(jié)論。因?yàn)槊艿脑蚴羌僭O(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，就使命題獲得了證明。

反證法依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過(guò)程中，兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)為真，至少有一個(gè)為假，這就是“矛盾律”;兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都假，這就是“排中律”。反證法在其證明過(guò)程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時(shí)為真，必有一假，而已知條件、公理、定理、法則或已證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假;再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對(duì)立的互相否定的判斷不能同時(shí)為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。

反證法的運(yùn)用模式可以簡(jiǎn)要概括為“否定→推理→否定”，即從否定結(jié)論開(kāi)始，經(jīng)過(guò)正確無(wú)誤地推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定。應(yīng)用反證法證明主要有三步：否定結(jié)論→推導(dǎo)出矛盾→結(jié)論成立。實(shí)施的具體步驟是：第一步，反設(shè)，即做出與求證結(jié)論相反的假設(shè);第二步，歸謬，即將反設(shè)作為條件，通過(guò)一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾;第三步，結(jié)論，即說(shuō)明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。

反證法常用來(lái)證明的問(wèn)題類型包括結(jié)論以“否定”“至少”“至多”“唯一”“無(wú)限”等形式出現(xiàn)的命題，或者否定結(jié)論更明顯的具體、簡(jiǎn)單的命題，或者難以直接證明，需要改變思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考的命題。

反證法作為一種思想方法，在數(shù)學(xué)中有很多應(yīng)用。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注意以下三點(diǎn)。

第一，掌握它的基本原理和步驟。反證法采用的論證方式是演繹推理中的假言推理形式，依據(jù)的是排中律。它的證明步驟大致如下：假設(shè)待證的結(jié)論為假、反論題為真;從反論題出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的邏輯推理，得出與已知條件或者定義、定理、公理、事實(shí)等相矛盾的結(jié)論;根據(jù)排中律得出原結(jié)論成立。

第二，正確理解反證法涉及的一些概念和詞語(yǔ)。在描述一對(duì)概念間的關(guān)系時(shí)，“是”與“不是”、“等于”與“不等于”、“大于”與“小于”、“至少有一個(gè)”與“一個(gè)也沒(méi)有”等是相互矛盾的關(guān)系，而“大于5”與“小于5”、“正數(shù)”與“負(fù)數(shù)”等不是相互矛盾的關(guān)系，是對(duì)立關(guān)系。也就是說(shuō)，兩個(gè)矛盾的種概念外延之和等于屬概念的外延，兩個(gè)對(duì)立的種概念外延之和小于屬概念的外延，如“大于”與“小于”中間有“等于”，“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”中間有0。

第三，學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單的案例、運(yùn)用反證法通俗易懂的推理過(guò)程，能夠了解反證法的基本思想，培養(yǎng)思維的靈活性。如：“把11個(gè)參加活動(dòng)的名額分配給6個(gè)班，每班至少分配1人。請(qǐng)說(shuō)明：不管怎樣分，至少有3個(gè)班的名額相等?！边\(yùn)用反證法思考，我們可以這樣分析這道題：假設(shè)名額相等的班級(jí)最多有2個(gè)，那么需要的名額總數(shù)至少應(yīng)為“（1+2+3）×2=12（個(gè)）”，而這個(gè)結(jié)論與已知條件“11個(gè)”名額相矛盾，所以至少有3個(gè)班的名額相等。

從“如果一個(gè)各項(xiàng)都不為零的三項(xiàng)數(shù)列，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列一定是常數(shù)數(shù)列”這個(gè)基本事實(shí)出發(fā)，把這樣的數(shù)列設(shè)計(jì)為超過(guò)三項(xiàng)，得到了本問(wèn)題第一問(wèn)中的兩個(gè)問(wèn)題。第一個(gè)小問(wèn)題，只能刪除第二或第三項(xiàng);第二個(gè)小問(wèn)題是如果這個(gè)數(shù)列有五項(xiàng)，則只能刪除中間一項(xiàng)。解決這個(gè)問(wèn)題是反證的思想，即如果刪除其他項(xiàng)就會(huì)在數(shù)列中出現(xiàn)基本事實(shí)與題目中要求的公差不為零的矛盾。這個(gè)問(wèn)題解決后，如果數(shù)列的項(xiàng)數(shù)超過(guò)，則無(wú)論刪除哪一項(xiàng)，都會(huì)出現(xiàn)基本事實(shí)，產(chǎn)生矛盾，從而使問(wèn)題得到解決。本問(wèn)題的第二問(wèn)是一個(gè)結(jié)論為否定的存在性命題，解決的基本思想是反證，是一個(gè)以數(shù)列知識(shí)為依托，檢驗(yàn)推理與證明的問(wèn)題。

下期內(nèi)容預(yù)告：數(shù)學(xué)思想方法系列講座（11）

責(zé)任編輯? 姜楚華