安徽省無為第三中學(xué)城北校區(qū)(238300) 朱小扣

上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)(201808) 樊惟媛

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017版)》中指出:“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括:數(shù)學(xué)抽象,邏輯推理,數(shù)學(xué)建模,直觀想象,運算能力,數(shù)據(jù)分析,這些核心素養(yǎng)既相對獨立又相互交融,是一個有機的整體.”其中邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括兩類:一類推理形式主要有歸納、類比;一類是推理形式主要有演繹推理.而在概率題中,不少同學(xué)忽視了類比這種方法,做題經(jīng)常出錯,導(dǎo)致自己的學(xué)習(xí)不深入,只是淺層學(xué)習(xí).為此本文將從三個角度出發(fā),闡述類比法在概率題中的應(yīng)用,以期給大家?guī)韼椭?

一、分書問題

不少同學(xué)對什么時候用排列,什么時候用組合,什么時候要除以重復(fù)數(shù),什么時候不用搞不清,為此,筆者覺得可以把例1作為母題,記住例1類比其他題目即可.

例16本不同的書,按下列要求各有多少種不同的選法:

(4)分給甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本:

點評可以先考慮分成堆,再讓人過來拿.堆是沒有區(qū)分的.第1問如果堆的數(shù)量一樣,要除以重復(fù)的排列.像第二個問,可以先考慮分成堆,再讓人過來拿,人是有區(qū)分的,故要乘以.可以將此題作為母題,類比地解決很多類似的諸如分配人員,小球等題目.

例2把5個不同的小球放到4個不同的盒子中,保證每個盒子都不空,不同的放法有種.

解析利用例1的思想,將本題中“小球”類比成例1中的“書”,將本題中“盒子”類比成例1中“人”.先分堆,再分給人.使盒子不空則必按1,1,1,2分:3故答案為240種.

例3(2016衡水中學(xué)一模)某校高三理科實驗班有5名同學(xué)報名參加甲、乙、丙三所高校的自主招生考試,每人限報一所高校.若這三所高校中每個學(xué)校都至少有1名同學(xué)報考,那么這5名同學(xué)不同的報考方法種數(shù)共有( )

A.144種 B.150種 C.196種 D.256種

解析利用例1的思想,將本題中“人”類比成例1中的“書”,將本題中“高?！鳖惐瘸衫?中“人”.先分堆,再分給人.按如下兩種情況討論:

故一共有60+90=150種方法,選(B).

點評學(xué)生不可能每次解決類似題時,每次都清楚地記得是排列還是組合,要不要除以重復(fù)的.也會經(jīng)常出錯,只有記住這個母題,“照葫蘆畫瓢”,才不會出錯,才是正道.

二、擲骰子問題

不少人認為概率就是排列和組合,和其他的知識無關(guān),但事實上卻是概率與多項式,通項公式,母函數(shù)等都有關(guān),知道的越多,做對概率題的可能性就越大.

例4(2014年高考福建卷)用a代表紅球,b代表藍球,c代表黑球,由加法原理及乘法原理,從1個紅球和1個籃球中取出若干個球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來,如:“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球,而“ab”則表示把紅球和籃球都取出來.依此類推,下列各式中,其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍球,5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球,且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是( )

A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5

B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5

C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)

D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)

解析不難得到答案是A,通過這一題可以啟發(fā)概率問題與多項式(或通項公式)有深刻的聯(lián)系,又如:

例5甲,乙,丙三人玩?zhèn)髑虻挠螒?每個人都等可能地傳給另外兩個人(不自傳),球先從甲傳出,求經(jīng)過5次傳球后,球又回到甲手中的概率?

解析設(shè)經(jīng)過n次傳球又回到甲的手中的概率為Pn,若第n傳回甲,則第n-1必不回到甲手中,球?qū)⒌瓤赡艿膫鞯揭?丙手中,故:(n≥2),由P1=0遞推得到.

例6求擲3顆骰子得12點的概率.

解析記X1,X2分別是第一枚,第二枚骰子的點數(shù).以多項式中的xi的系數(shù)表示:P(X1=i);以多項式中的xj的系數(shù)表示:P(X2=j).

由廣義二項式定理可得:

問題可以進一步推廣為求擲n顆骰子得m點的概率,這是用列舉法不易做出的.

點評任何一個知識點都不是孤立的,它都有“親戚”“朋友”,像概率的朋友有數(shù)列,多項式等,只有我們了解它周圍的朋友,才能更好的認識它,掌握它.

三、二項分布問題

二項分布,即重復(fù)n次的貝努利試驗,而貝努利試驗中的所有的每個實驗僅有兩種可能的結(jié)果,且所有實驗取得成功概率都是一樣的.對其類比推廣,不少同學(xué)不熟悉,現(xiàn)分析如下.

3.1 類比的推廣:二項分布后的二項分布

例7(廈門市2016屆高中畢業(yè)生第一次質(zhì)量檢查)已知一種動物患有某種疾病的概率為0.1,需要通過化驗血液來確定是否患該種疾病,化驗結(jié)果呈陽性則患病,呈陰性則沒有患病,多只該種動物檢測時,可逐個化驗,也可將若干只動物的血樣混在一起化驗,僅當(dāng)至少有一只動物的血呈陽性時混合血樣呈陽性,若混合血樣呈陽性,則該組血樣需要再逐個化驗.

(I)求2只該種動物的混合血樣呈陽性的概率;

(II)現(xiàn)有4只該種動物的血樣需要化驗,有以下三種方案

方案一:逐個化驗;

方案二:平均分成兩組化驗;

方案三:混合在一起化驗.

請問:哪一種方案更適合(即化驗次數(shù)的期望值更小).

解析(I)設(shè)ξ為2只該物種動物中血液呈陽性的只數(shù),則ξ～B(2,0.1),2只動物中只要有一只血液呈陽性,它們的混合血樣呈陽性,所求的概率為P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-0.1)2=0.19.

(II)方案一:4只動物都得化驗,需要4次;

方案二:設(shè)所需化驗的次數(shù)為X,則X所有可能的取值為2,4,6;P(X=2)=0.81×0.81=0.6561;P(X=4)=2×0.81×0.19=0.3078;P(X=6)=0.19×0.19=0.0361;EX=2×0.6561+4×0.3078+6×0.0361=2.76.

方案三:設(shè)所需化驗的次數(shù)為Y,則Y所有可能的取值為1,5;P(Y=1)=0.94=0.6561,P(Y=5)=1-0.94=0.3439.因為2.3756＜2.76＜4,所以4只動物混合在一起化驗更合適.

點評從第一個問到第二個問的方案二的解答,體現(xiàn)了二項分布后的二項分布,這種題目經(jīng)常出現(xiàn),如在多個并聯(lián)的情況下求電路通的概率等,此類題應(yīng)引起重視.

3.2 貝努利事件的整合

例8(2010年江南十校聯(lián)考)某省示范高中為了推進新課程改革,滿足不同層次學(xué)生的需求,決定從高一年級開始,在每周一、周三、周五的課外活動期間開設(shè)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物和信息技術(shù)輔導(dǎo)講座,每位有興趣的同學(xué)可以在期間的任何一天參加任何一門科目的輔導(dǎo)講座,也可以放棄任何一門科目的輔導(dǎo)講座.(規(guī)定:各科達到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時稱為滿座,否則稱為不滿座)統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明,各學(xué)科討論各天的滿座的概率如下表:

信息技術(shù)生物化學(xué)物理數(shù)學(xué)周一1 4 1 4 1 4 1 4 1 2周三1 2 1 2 1 2 1 2 2 3周五1 3 1 3 1 3 1 3 2 3

根據(jù)上表:

(1)求數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座的概率;

(2)設(shè)周三各輔導(dǎo)講座滿座的科目數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解析(1)設(shè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座的事件為A,則P(A)=

(2)設(shè)周三各輔導(dǎo)講座滿座的科目數(shù)為ξ,則ξ可能取值為0,1,2,3,4,5.

所以,隨機變量ξ的分布列如下:

點評通過觀察發(fā)現(xiàn),周三的信息技術(shù),生物,化學(xué),物理滿座的概率均為通過類比可以將它們整合成統(tǒng)一的貝努利事件,從而使得問題順利求解.

3.3 .五局三勝問題與二項分布的類比

例9甲,乙兩選手比賽,假設(shè)每局甲獲勝的概率為p,乙獲勝的概率為1-p.若采用五局三勝制,求甲最終獲勝的概率.

分析有部分學(xué)生誤認為要打滿五局,所以這樣寫:

錯解P(甲勝)=P(甲只勝三場)+P(甲只勝四場)+P(甲只勝五場)=(1-p)2+(1-p)+=6p5-15p4+10p3.

正解P(甲勝)=P(打三場甲勝)+P(打四場甲勝)+P(打五場甲勝)=p3+(1-p)p+(1-p)2p=p3+(1-p)p+(1-p)2p=6p5-15p4+10p3.

點評第一種做法是錯誤,但答案卻是完全一樣的.類似的,如果將“五局三勝”改為“七局四勝”、“九局五勝”等,可以得到兩種方法算得答案也完全一樣,考慮順序這與二項分布的算法完全一樣,那么這是巧合還是必然呢?若是必然,那么今后再計算類似題時,如在2n+1場比賽中,甲獲勝的概率直接按計算,從而避開了繁瑣的討論與表達.這樣的“將錯就錯”是不是對的呢?望同仁和專家做出解答.

四、總結(jié)

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞(GeorgePolya,1887-1985)曾說過:“類比是一個偉大的引路人,求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題.”確實,類比是科學(xué)發(fā)展的靈魂,是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要工具之一.因為任何一個數(shù)學(xué)知識點都不是孤立的.通過對上述概率題的解答,可以發(fā)現(xiàn)類比是解決概率題的一把利刃,通過類比能夠在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián),從而能更好的認識事物的本質(zhì)及變化規(guī)律.所以你值得去“類比”!