許子非 岳敏楠 李春?

1) (上海理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,上海 200093)

2) (上海市動(dòng)力工程多相流動(dòng)與傳熱重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200093)

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解一類的遞歸算法所產(chǎn)生的模態(tài)混淆和端點(diǎn)效應(yīng)將導(dǎo)致所獲物理信息失真,變分模態(tài)分解可改善這些問(wèn)題.但因其需預(yù)設(shè)參數(shù),對(duì)信號(hào)分解精度影響顯著,為此,提出采用目標(biāo)信號(hào)功率譜峰值所對(duì)應(yīng)的頻率以初始化變分模態(tài)分解所需中心頻率,借鑒經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解遞歸模型,基于能量截止法將變分模態(tài)分解改進(jìn)為遞歸模式算法,并采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)具有帶寬約束能力的懲罰因子進(jìn)行最優(yōu)取值,構(gòu)成優(yōu)化遞歸變分模態(tài)分解.通過(guò)對(duì)比分析經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解,集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解及優(yōu)化遞歸變分模態(tài)分解在分解信號(hào)時(shí)的計(jì)算精度；研究傳統(tǒng)變分模態(tài)分解與優(yōu)化遞歸變分模態(tài)分解在處理實(shí)際振動(dòng)信號(hào)時(shí)計(jì)算速率.結(jié)果表明：優(yōu)化遞歸變分模態(tài)分解在處理目標(biāo)信號(hào)時(shí)精度最高,與原分量相關(guān)性達(dá)99.9%；與集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解對(duì)比,可由低至高將信號(hào)分解至不同頻段,物理意義更加清晰且不產(chǎn)生虛假模態(tài)；處理實(shí)際非線性信號(hào)時(shí),優(yōu)化遞歸變分模態(tài)分解無(wú)需預(yù)設(shè)分解模態(tài)個(gè)數(shù),相比于傳統(tǒng)變分模態(tài)分解,計(jì)算速率高12.5%—18.5%.

1 引 言

非平穩(wěn)信號(hào)具有隨機(jī)性強(qiáng)、穩(wěn)定性差與物理信息混疊等特點(diǎn)[1].為探尋非穩(wěn)定信號(hào)中所含信息,在結(jié)構(gòu)分析、故障診斷乃至醫(yī)學(xué)領(lǐng)域[2-5],相關(guān)學(xué)者對(duì)信號(hào)(時(shí)間序列)分解技術(shù)已展開諸多研究.其中,應(yīng)用較為廣泛的有小波分解(wavelet transform,WT)、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition,EMD)、集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(ensemble empirical mode decomposition,EEMD)和局部均值分解(local mean decomposition,LMD)等[6-9].WT方法采用縮放、平移窗函數(shù)將原信號(hào)分解為若干小波疊加的形式,但易產(chǎn)生無(wú)物理意義的虛假諧波,影響結(jié)果分析[10].EMD與EEMD均屬于遞歸模式分解,EEMD在處理信號(hào)時(shí),通過(guò)對(duì)信號(hào)加入高斯噪聲以抑制EMD處理信號(hào)時(shí)易產(chǎn)生的模態(tài)混淆的問(wèn)題,可有效處理非線性、非平穩(wěn)信號(hào)分解；但在EEMD迭代過(guò)程中,由于包絡(luò)線估計(jì)誤差的疊加,導(dǎo)致引發(fā)端點(diǎn)效應(yīng)及模態(tài)混淆[11].LMD作為遞歸算法,可自適應(yīng)分解無(wú)規(guī)則信號(hào)至多個(gè)含物理意義的乘積函數(shù)分量,較小波分析有更好的自適應(yīng)性,但無(wú)法分離頻率相近的信號(hào).以上方法因求解本質(zhì)屬于遞歸分解,均存在包絡(luò)線估計(jì)誤差隨迭代而累計(jì),從而導(dǎo)致模態(tài)混淆及端點(diǎn)效應(yīng),影響對(duì)物理信息的提取及分析.

為此,Dragomiretskiy和Zosso[12]提出基于Hilbert變換、Wiener濾波及頻率混合等概念的新型分解方法—變分模態(tài)分解(viriational mode decomposition,VMD),該方法因具有完備的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ),通過(guò)求解約束變分模型代替原有的遞歸模式,從而抑制模態(tài)混淆、避免端點(diǎn)效應(yīng)及解決相近頻率難分離的問(wèn)題[13].

采用VMD對(duì)信號(hào)進(jìn)行求解時(shí),涉及模態(tài)分解數(shù)、懲罰因子、保真系數(shù)及收斂條件等參數(shù)的預(yù)設(shè).研究表明,其中懲罰因子α與模態(tài)分解數(shù)K對(duì)信號(hào)分解精度影響最為顯著[14].已有學(xué)者針對(duì)懲罰因子α與模態(tài)分解數(shù)K的何種取值對(duì)分解效果如何影響做了相關(guān)研究.文獻(xiàn)[15]以VMD分解所獲分量間的相關(guān)系數(shù)作為約束,從而確定模態(tài)分解數(shù)K的取值,并將改進(jìn)VMD與深度置信網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合,實(shí)現(xiàn)故障預(yù)警.文獻(xiàn)[16]以包絡(luò)熵作為VMD參數(shù)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)取值,結(jié)果具有良好的分解精度,并將其應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障診斷中.文獻(xiàn)[17]將VMD與多尺度排列熵相結(jié)合,在生物組織變性識(shí)別中獲得較優(yōu)的聚類效果與分類性能.Baldini等[18]比較VMD與EMD在分解無(wú)線電信號(hào)的準(zhǔn)確性,并采用機(jī)器學(xué)習(xí)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分類,得出基于VMD分解的信號(hào)具有更高的準(zhǔn)確性.Chen等[19]分別采用VMD與EMD對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分解,以能量熵作為特征值構(gòu)建特征向量,并采用支持向量機(jī)對(duì)特征向量進(jìn)行分類,結(jié)果表明以VMD-能量熵構(gòu)建的特征樣本,使得分類結(jié)果具有更高的準(zhǔn)確性,但未考慮VMD分解時(shí)預(yù)設(shè)參數(shù)對(duì)VMD分解精度的影響.為此,Cui等[20]基于目標(biāo)信號(hào)瞬時(shí)頻率,對(duì)VMD算法K值設(shè)定進(jìn)行改進(jìn),指出該方法可提升VMD分解精度,并成功用于智能負(fù)載建模與去噪,但忽略了VMD分解時(shí)以約束帶寬的參數(shù)—懲罰因子對(duì)結(jié)果的影響.

以上研究采用VMD處理信號(hào)時(shí),或考慮模態(tài)分解數(shù)對(duì)分解效果的影響,而忽略了懲罰因子對(duì)帶寬約束,致使分解效果不佳；或采用局部尋優(yōu)的方法對(duì)懲罰因子與模態(tài)分解數(shù)進(jìn)行選擇,未考慮預(yù)設(shè)參數(shù)間的互交性；又或基于分量特征值作為分解效果判別標(biāo)準(zhǔn),以獲取全局優(yōu)化的參數(shù)組合,但缺乏一定的物理意義.

因此,本文針對(duì)VMD處理信號(hào)前需預(yù)設(shè)懲罰因子α與模態(tài)分解數(shù)K,且α與K取值組合對(duì)分解精度有顯著影響的問(wèn)題,提出一種優(yōu)化遞歸VMD算法(optimized recursive variational mode decomposition,ORVMD),該算法借鑒EMD遞歸分解時(shí)可自適應(yīng)獲取模態(tài)分解數(shù)K的優(yōu)點(diǎn),以目標(biāo)信號(hào)功率譜最大值對(duì)應(yīng)的頻率作為初始頻率,并基于能量差追蹤法將傳統(tǒng)VMD改進(jìn)為遞歸VMD,并采用粒子群優(yōu)化算法獲取懲罰因子α的最優(yōu)取值,得到最佳α,K組合,以保證分解所得分量具有更多的物理信息.對(duì)比EMD,EEMD及ORVMD在分解信號(hào)時(shí)的精確性,分析EEMD與ORVMD在處理非線性調(diào)制信號(hào)時(shí)的可靠性,研究傳統(tǒng)VMD與ORVMD解決實(shí)際振動(dòng)信號(hào)時(shí)的時(shí)效性,發(fā)現(xiàn)ORVMD具有更高的計(jì)算精度與效率,亦可保留更多的物理信息,以期為信號(hào)處理、結(jié)構(gòu)分析及故障診斷等方面奠定理論基礎(chǔ),提供處理方法.

2 VMD算法

VMD算法是基于Wiener濾波、Hilbert變換與外差解調(diào)所形成的一種分解算法,因其具有完備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),采用VMD處理信號(hào)時(shí)可有效避免EMD類算法導(dǎo)致的模態(tài)混淆及端點(diǎn)效應(yīng).與屬遞歸性質(zhì)的EMD類算法不同,VMD屬約束變分性問(wèn)題,通過(guò)假設(shè)模態(tài)分量的中心頻率,將約束模態(tài)帶寬的過(guò)程轉(zhuǎn)化為約束變分問(wèn)題,求解變分模型以實(shí)現(xiàn)模態(tài)分解.VMD算法中涉及的約束變分模型為

式中 {uk}={u1,u2,···,uk}與{ωk}={ω1,ω2,···,ωk}分別為第k 個(gè)模態(tài)分量及其相應(yīng)中心頻率,共K個(gè)模態(tài)；δ(t) 為單位脈沖函數(shù)；j表示虛數(shù)單位；* 表示卷積運(yùn)算；?t為偏導(dǎo)運(yùn)算；f為目標(biāo)信號(hào).

引入懲罰因子α和Lagrange乘子Λ以求解變分約束問(wèn)題.所得增廣Lagrange表達(dá)式如下：

采用交替方向乘子算法(alternate direction method of multiplers,ADMM)更新迭代求解(2)式的鞍點(diǎn),在頻域內(nèi)迭代更新 uk,ωk及Λ.

VMD將信號(hào)分解為K個(gè)模態(tài)分量,步驟如下：

2) uk和 ωk分別由(3)式和(4)式迭代更新,

式中τ為保真系數(shù)；∧表示傅里葉變換；n 為迭代次數(shù)；

3) 通過(guò)(5)式更新Λ,

4) 重復(fù)步驟2和3,至滿足迭代終止條件,終止條件由(6)式給出,

式中ε為判別精度,且 ε＞ 0；上標(biāo)n 為迭代步數(shù),下標(biāo)k 表示當(dāng)前模態(tài)數(shù)；

5) 輸出K個(gè)模態(tài)分量.

3 優(yōu)化遞歸VMD算法

與EMD等遞歸分解算法相比,VMD具有較高的準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性.但VMD算法需給出預(yù)設(shè)模態(tài)分解數(shù)K,且K的取值影響分解精度.因此,借鑒EMD遞歸思想,提出一種遞歸VMD算法.借鑒能量差追蹤法以設(shè)定停止條件,實(shí)現(xiàn)遞歸VMD算法.該方法既擁有VMD算法中可抑制求解包絡(luò)線迭達(dá)誤差而導(dǎo)致失真的優(yōu)點(diǎn),也可實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)分解,無(wú)需預(yù)設(shè)模態(tài)分解數(shù)K.

3.1 遞歸算法

3.1.1 改進(jìn)變分模型

基于傳統(tǒng)VMD算法,給定初始模態(tài)分解數(shù)K=1的約束變分模型,獲得有限帶寬本征模態(tài)函數(shù)(bandwidth intrinsic mode function,BIMF),將(1)式轉(zhuǎn)化為(7)式.

引入懲罰因子α和Lagrange乘子Λ后,(2)式將變?yōu)?8)式,(5)式和(6)式被轉(zhuǎn)換為(9)式和(10)式,其余步驟與傳統(tǒng)VMD算法相同.

采用ADMM算法時(shí),中心頻率 ωk需預(yù)計(jì)算.而Dragomiretskiy等[12]所提出三種初始化中心頻率的方法(分別為：賦予初值零、線性化及隨機(jī)初值化)均有一定的局限性.其中線性化以獲取初值具有較好的準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性,但當(dāng) K=1 時(shí),中心頻率 ωk=0 ,與賦予初值零情況相同,從而導(dǎo)致線性化失敗.因此,提出以目標(biāo)信號(hào)功率密度譜(power density spectrum,PSD)最大值所對(duì)應(yīng)的頻率作為 ωk初值.

3.1.2 停止準(zhǔn)則

Huang等[21]與Damerval等[22]所提出的停止準(zhǔn)則均不適用于VMD算法,故采用Cheng等[23]所提出的能量差追蹤法應(yīng)用于本文所提出的改進(jìn)變分模型.基于能量差追蹤法的VMD停止準(zhǔn)則如下.

假設(shè)目標(biāo)信號(hào) f (t) 分解后所得BIMF分量uk(t)具有正交性,由(11)式給出,其總能量表達(dá)式由(12)式給出.

式中E為原信號(hào)能量.

因各BIMF的正交性,(12)式可表示為

式中 E1+E2+···+En為各BIMF分量的能量.

當(dāng)BIMF分量完全正交時(shí),各BIMF能量之和 Etotal應(yīng)與原信號(hào)能量E相等,

但當(dāng)BIMF分量不完全正交時(shí),Etotal與E之間存在誤差 Eerr,

能量誤差 Eerr越接近零,表明分解效果越好,與原分量符合度更高,所得模態(tài)分量頗含物理意義.因此,令 Eerr的絕對(duì)值 |Eerr|為停止準(zhǔn)則,當(dāng)|Eerr|小于收斂閾值時(shí)停止迭代,以獲取最佳模態(tài)分解數(shù)K.

3.1.3 遞歸VMD算法

基于以上提出的改進(jìn)變分模型,結(jié)合能量差追蹤法確定收斂條件,遞歸VMD算法流程圖如圖1所示,具體計(jì)算步驟如下：

1) 輸入目標(biāo)信號(hào),通過(guò)計(jì)算目標(biāo)信號(hào)的PSD,以PSD最大值對(duì)應(yīng)的頻率最為中心頻率 ωinitial；

圖1 遞歸VMD流程Fig.1.The recursive VMD diagram.

2) 采用步驟1獲取的中心頻率進(jìn)行迭代,并預(yù)設(shè)模態(tài)分解數(shù) K=1 ,獲取(7)式的變分模型,通過(guò)(9)式和(10)式分別獲取 uk與 ωk；

3) 采用步驟2獲取的 uk作為BIMF分量,將f-uk作為新目標(biāo)信號(hào)并重復(fù)步驟1與2；

4)對(duì)于分解所得BIMF分量,通過(guò)(15)式計(jì)算能量誤差 |Eerr|,當(dāng) |Eerr|小于收斂閾值時(shí)停止分解并獲取全部BIMF分量.根據(jù)計(jì)算經(jīng)驗(yàn),采用|Eerr|≤[(0.7～ 2.0)E]/100為收斂閾值；

5) 輸出全部BIMF分量.

3.2 PSO算法

粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization,PSO)是由Kennedy 和Eberhart[24]受鳥群覓食行為啟發(fā)所提出的.在PSO算法中,每個(gè)粒子具有相應(yīng)的速度與位置以調(diào)整自身的狀態(tài),粒子的位置代表待優(yōu)化問(wèn)題的潛在解.PSO算法的數(shù)學(xué)描述如下.

在D維空間中,存在由m 個(gè)粒子組成的種群,第i 個(gè)粒子在D維空間中的位置向量為Xi=(xi1,xi2,···,xiD)T,其速度向量為Vi=(vi1,vi2,···,viD)T,第i 個(gè)粒子的最佳位置由向量Pi=(pi1,pi2,···,piD)T表示,種群最佳位置由向量Pg=(pg1,pg2,···,pgD)T表示,速度與位置的更新由(16)式和(17)式所示.

式中 i =1, 2,···,m ；d =1, 2,···,D；k 為當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)；c1與 c2為學(xué)習(xí)因子；ω為慣性權(quán)重；η為[0,1]內(nèi)隨機(jī)數(shù).

3.3 ORVMD算法

以上所提出的遞歸VMD方法雖可自適應(yīng)獲取分解模態(tài)數(shù)K,但懲罰因子α作為約束帶寬的參數(shù),其取值也嚴(yán)重影響了信號(hào)處理的準(zhǔn)確性.帶寬的變化影響分解所獲各模態(tài)能量的變化,從而進(jìn)一步影響遞歸模態(tài)分解數(shù)K或信號(hào)分解失效[25].因此,以能量誤差 |Eerr|為尋優(yōu)過(guò)程的適應(yīng)度函數(shù),將適應(yīng)度函數(shù)最小取值作為尋優(yōu)目標(biāo),基于PSO算法對(duì)改進(jìn)遞歸VMD算法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu),獲取最佳分解參數(shù)組合,其流程如圖2所示.

1) 初始化PSO算法各項(xiàng)變量并確定尋優(yōu)過(guò)程中的適應(yīng)度函數(shù) |Eerr|,以懲罰因子α及模態(tài)分解數(shù)K作為粒子位置,并隨機(jī)初始化粒子移動(dòng)速度；

圖2 基于PSO優(yōu)化改進(jìn)遞歸VMD參數(shù)流程Fig.2.The process of using PSO to optimize recursive VMD parameter.

2) 在不同粒子位置條件下對(duì)信號(hào)進(jìn)行遞歸VMD處理,獲該位置下信號(hào)能量誤差 |Eerr|,以此作為對(duì)應(yīng)粒子的適應(yīng)度函數(shù)；

3) 對(duì)比各粒子適應(yīng)度函數(shù)大小(優(yōu)劣),若有粒子的適應(yīng)度函數(shù) |Eerr|小于當(dāng)前最小適應(yīng)度函數(shù),則對(duì)粒子進(jìn)行更新；

4) 通過(guò)(16)式與(17)式更新粒子屬性；

5) 判斷粒子是否滿足種群進(jìn)化停止條件,若不滿足則重復(fù)步驟2繼續(xù)尋優(yōu),直到滿足最大種群進(jìn)化預(yù)設(shè)值,輸出最佳粒子,即為最優(yōu)參數(shù)組合 [α,K].

基于PSO優(yōu)化算法及改進(jìn)迭代VMD算法,稱為優(yōu)化遞歸VMD算法(optimized recursive variational mode decomposition,ORVMD),該改進(jìn)算法能獲取較精確的懲罰因子α以約束帶寬,并自動(dòng)獲得分解模態(tài)個(gè)數(shù)K,確定最佳參數(shù)組合 [α,K].

4 ORVMD算法驗(yàn)證

為驗(yàn)證ORVMD分解信號(hào)的可靠性及有效性,以兩個(gè)低頻信號(hào)與間斷高頻沖擊信號(hào)組成仿真復(fù)合信號(hào).仿真復(fù)合信號(hào) f (t) 與其分量表達(dá)式由(18)式所示：

各分量及其合成信號(hào)的波形圖如圖3所示.為驗(yàn)證算法ORVMD的有效性,分別采用EMD,EEMD及ORVMD對(duì)信號(hào) f (t) 進(jìn)行分解,對(duì)比其結(jié)果.

首先采用EMD對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行分解,分解結(jié)果如圖4所示.由圖4可知,EMD將信號(hào)分解為5個(gè)IMF分量及1個(gè)殘余分量,分解效果較差,IMF1與IMF2均出現(xiàn)模態(tài)混淆現(xiàn)象,IMF3勉強(qiáng)具有一定的物理意義.

EEMD引入白噪聲以克服EMD分解時(shí)易出現(xiàn)對(duì)極值點(diǎn)選判出錯(cuò)的影響.選取噪聲幅值系數(shù)0.02,集合平均次數(shù)50,采用EEMD分解結(jié)果如圖5所示.

由圖5可知,EEMD分解出7個(gè)IMF分量及1個(gè)殘余分量.其中IMF1,IMF3與IMF4分別為原信號(hào)中的間斷高頻信號(hào)及兩個(gè)低頻信號(hào),與原信號(hào)分量的相關(guān)系數(shù)分別為0.981,0.942和0.944,表明EEMD對(duì)分解信號(hào)的物理意義還原性較好,較EMD具有更好的準(zhǔn)確性,但仍產(chǎn)生許多虛假模態(tài)不具有物理性.

圖4 EMD分解結(jié)果 (a) IMF1；(b) IMF2；(c) IMF3；(d) IMF4；(e) IMF5；(f) resFig.4.The results of EMD：(a) IMF1；(b) IMF2；(c) IMF3；(d) IMF4；(e) IMF5；(f) res.

圖5 EEMD分解結(jié)果 (a) IMF1；(b) IMF2；(c) IMF3；(d) IMF4；(e) IMF5；(f) IMF6；(g) IMF7；(h) resFig.5.The results of EEMD：(a) IMF1；(b) IMF2；(c) IMF3；(d) IMF4；(e) IMF5；(f) IMF6；(g) IMF7；(h) res.

采用本文提出的ORVMD對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解,其中分解模態(tài)數(shù) K=3,α=500 ,分解結(jié)果如圖6所示.

如圖6所示,原信號(hào)3個(gè)分量被較好地還原至3個(gè)IMF分量,其中IMF3為間斷高頻信號(hào),兩個(gè)低頻信號(hào)分別為IMF1與IMF2.各IMF分量與對(duì)應(yīng)原分量的相關(guān)系數(shù)分別為0.998,0.991與0.999,較EEMD具有更高的精度,可獲取更具物理意義的信號(hào)分量.

圖6 ORVMD分解結(jié)果 (a) IMF1；(b) IMF2；(c) IMF3Fig.6.The results of ORVMD：(a) IMF1；(b) IMF2；(c) IMF3.

5 非線性信號(hào)分解

處理實(shí)際信號(hào)時(shí),目標(biāo)信號(hào)多為調(diào)制信號(hào),故為驗(yàn)證ORVMD在處理實(shí)際信號(hào)也具有高效性與準(zhǔn)確性,以如下數(shù)學(xué)模型模擬滾動(dòng)軸承早期局部損傷信號(hào) x (t)[26]：

式中 s (t) 為周期性沖擊信號(hào).信號(hào)衰減指數(shù)C=1000,系統(tǒng)共振頻率 fn=4000Hz.τk表示第k 次沖擊相對(duì)于特征周期的小波動(dòng),該隨機(jī)波動(dòng)服從均值為零,標(biāo)準(zhǔn)差為0.5%轉(zhuǎn)頻的正態(tài)分布.特征頻率 fr=140Hz.U(tk) 為單位階躍函數(shù).加入高斯噪聲信號(hào)后得信噪比為—5 dB的仿真信號(hào).采樣頻率為16000 Hz,采樣點(diǎn)N= 4096.信號(hào)時(shí)域及頻譜如圖7所示.

5.1 EEMD分解

采用EEMD對(duì)信號(hào) x (t) 進(jìn)行分解,其分解所得時(shí)域與頻域如圖8所示,共11個(gè)IMF分量及1個(gè)殘余分量.

如圖8所示,IMF1—IMF6五個(gè)分解分量包含良好的物理信息,將重疊在全頻段的信號(hào)分解在不同頻段,但低頻信號(hào)仍互相重疊,無(wú)法體現(xiàn)軸承損傷的物理信息.且IMF7—IMF11基本屬于無(wú)效信息,蘊(yùn)含的物理信息較少,這說(shuō)明EEMD對(duì)非線性信號(hào)的分解效果不佳.

圖7 早期軸承內(nèi)圈故障信號(hào) (a) 時(shí)域；(b) 頻譜Fig.7.Early inner race fault diagnosis signal.

圖8 故障信號(hào)EEMD分解結(jié)果 (a) IMF1；(b) IMF2；(c) IMF3；(d) IMF4；(e) IMF5；(f) IMF6；(g) IMF7；(h) IMF8；(i) IMF9；(j) IMF10；(k) IMF11；(l) IMF12Fig.8.The results of EEMD for fault signal：(a) IMF1；(b) IMF2；(c) IMF3；(d) IMF4；(e) IMF5；(f) IMF6；(g) IMF7；(h) IMF8；(i) IMF9；(j) IMF10；(k) IMF11；(l) IMF12.

5.2 VMD分解

采用所提出的ORVMD方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理,其中模態(tài)分解數(shù) K=9 ,優(yōu)化懲罰因子α=16100,所得結(jié)果如圖9所示.

由圖9可知,每一階IMF都包含一定的物理意義,原本冗雜在各個(gè)頻段的信號(hào)已從低頻至高頻準(zhǔn)確區(qū)分,且未出現(xiàn)過(guò)分解或者虛假模態(tài).IMF1中蘊(yùn)含內(nèi)圈損傷特征頻率,IMF5因損傷導(dǎo)致軸承系統(tǒng)發(fā)生共振,主頻與諧波之間的頻段間隔清晰可見,包含一定的物理信息.相比于EEMD,ORVMD具有更高的精度,不存在虛假模態(tài),且未分解出不具物理意義的IMF分量以干擾對(duì)信號(hào)的分析.

5.3 ORVMD與傳統(tǒng)VMD對(duì)比

因采用VMD分解時(shí),已有研究表明模態(tài)分解數(shù)K與懲罰因子α對(duì)分解結(jié)果及精度有顯著影響,在此不做分析.除模態(tài)分解數(shù)K可自適應(yīng)獲得外,配合PSO優(yōu)化算法獲取最佳參數(shù)組合,較之于傳統(tǒng)VMD,本文所提出的ORVMD因改變模態(tài)分量的初始中心頻率獲取方式,以PSD最大值對(duì)應(yīng)的頻率作為初始中心頻率,代替?zhèn)鹘y(tǒng)VMD線性初始化的方法,可減少迭代次數(shù)以提升計(jì)算速度.

采用西儲(chǔ)大學(xué)軸承振動(dòng)信號(hào)為例[27],對(duì)風(fēng)扇端軸承內(nèi)圈故障的25組信號(hào)分別進(jìn)行ORVMD以及傳統(tǒng)VMD進(jìn)行分解,其中實(shí)驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)速為1730 rmp,采樣頻率12000 Hz,負(fù)載為3 Hp.為保證對(duì)比有意義,采用與ORVMD分解時(shí)所需參數(shù)[α,K]組合作為傳統(tǒng)VMD分解時(shí)的輸入?yún)?shù).

采用ORVMD方法對(duì)25組信號(hào)進(jìn)行分解,獲得25組α及K組合,采用PSO算法時(shí),懲罰因子α尋優(yōu)的取值范圍為[5000,20000],取值步長(zhǎng)為100.ORVMD參數(shù)組合如表1所列.

由于實(shí)驗(yàn)采集信號(hào)含有不同程度的噪聲,噪聲對(duì)分解產(chǎn)生一定的干擾,導(dǎo)致最優(yōu)模態(tài)分解數(shù)會(huì)稍有波動(dòng).由表1可得,80%的模態(tài)分解數(shù)均為12,故選取模態(tài)分解數(shù) K=12 為傳統(tǒng)VMD分解時(shí)的模態(tài)預(yù)設(shè)定.懲罰因子看似毫無(wú)規(guī)律,但對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采樣頻率可知,懲罰因子作為約束帶寬的參數(shù),均在12000附近波動(dòng),與采樣頻率相近(12000 Hz),ORVMD獲取的25個(gè)最優(yōu)懲罰因子均值為12600,但其中7次為12000,6次為11900.因此,確定α= 12000為傳統(tǒng)VMD分解時(shí)的懲罰因子.

以 α=12000,K=12 作為傳統(tǒng)VMD分解預(yù)設(shè)參數(shù),分別采用傳統(tǒng)VMD與ORVMD對(duì)上述25組實(shí)驗(yàn)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分解,兩種方法分解信號(hào)耗時(shí)如圖10所示.

圖9 故障信號(hào)ORVMD分解結(jié)果 (a) IMF1；(b) IMF2；(c) IMF3；(d) IMF4；(e) IMF5；(f) IMF6；(g) IMF7；(h) IMF8；(i) IMF9Fig.9.The results of ORVMD for fault diagnosis：(a) IMF1；(b) IMF2；(c) IMF3；(d) IMF4；(e) IMF5；(f) IMF6；(g) IMF7；(h) IMF8；(i) IMF9.

圖10 VMD與ORVMD計(jì)算耗時(shí)Fig.10.The duration of calculation for VMD and ORVMD.

表1 ORVMD參數(shù)組合Table 1.Parameter set of ORVMD.

由圖10可知,改進(jìn)的ORVMD算法在計(jì)算時(shí)間上比傳統(tǒng)VMD所需時(shí)間少,雖然平均耗時(shí)僅減少12.5%—18.5%,但由于ORVMD在處理信號(hào)時(shí)調(diào)用PSO算法以獲取最優(yōu)懲罰因子的過(guò)程占用較大計(jì)算資源,因此,認(rèn)為ORVMD比傳統(tǒng)VMD具有更高分解精度與計(jì)算效率.

6 結(jié) 論

對(duì)于傳統(tǒng)VMD算法需預(yù)設(shè)分解個(gè)數(shù)及懲罰因子,提出ORVMD算法,該算法可對(duì)目標(biāo)信號(hào)遞歸并獲取確定模態(tài)分解數(shù)K,并基于PSO算法對(duì)懲罰因子α進(jìn)行尋優(yōu)取值,獲取最佳預(yù)設(shè)參數(shù)組合.同時(shí),對(duì)比分析EMD,EEMD,VMD與ORVMD對(duì)非線性信號(hào)分解,表明所提出的ORVMD較EMD,EEMD具有更高的精準(zhǔn)性.該方法可將物理信息分解至不同頻段,且不產(chǎn)生虛假模態(tài),保證了信號(hào)分解的有效性及準(zhǔn)確性.并且,與傳統(tǒng)VMD方法相比,ORVMD具有更高的計(jì)算效率,效率升幅在12.5%—18.5%之間.此外,還可開展以復(fù)信號(hào)、分布式信號(hào)[28-31]為研究對(duì)象的變分模態(tài)分解處理效果研究.