陶浪平

（安徽財經(jīng)大學(xué)，安徽 蚌埠233030）

一、模型與方法簡介

（一）經(jīng)典Vasicek 模型簡介

相較于動態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)來說，靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)認(rèn)為債券的價格主要是受當(dāng)前的即期利率影響，擬合的是當(dāng)前的利率期限結(jié)構(gòu)。然而，市場化的利率水平變動迅速，影響利率的因素絕對不止當(dāng)前利率這一個因素。靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)對市場的研究已經(jīng)不能滿足需求，動態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)也就應(yīng)運而生。動態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)主要是對瞬時利率展開研究。瞬時利率就是剩余期限接近零的利率，通常用銀行間拆借利率來代替。在動態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型的思想下，瞬時利率可以分成漂移項和波動項兩個部分。具體形式如下：

上式中，r(t)表示t 時刻的瞬時利率，ur表示漂移項，σr表示波動項。dz(t)是方程中唯一的隨機項，其形式設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。

在對動態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)的研究中，Merton 是第一個在利率期限模型中加入隨機過程的人，他提出的Merton 模型也是動態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)中最基礎(chǔ)的模型，莫頓模型把瞬時利率中的漂移項和波動項設(shè)為常數(shù)，具體的方程表達(dá)式如下所示：

莫頓模型在現(xiàn)實研究中存在的不足之處還有很多：例如，依據(jù)莫頓模型得出的利率可能出現(xiàn)負(fù)數(shù)的情況，不能保證利率的非負(fù)性；且在描述利率期限結(jié)構(gòu)的動態(tài)變化過程中，莫頓模型也存在很大的瑕疵，如該模型不能刻畫利率均值回歸，以及利率波動率的特征；同時模型中通常將漂移項和擴散項設(shè)置為固定值，顯然，這與實際經(jīng)濟市場情況不符。在單因子動態(tài)利率模型中，Vasicek（1977）在漂移函數(shù)項內(nèi)加入了線性函數(shù)，與莫頓模型不同，瓦西塞克模型中瞬時利率漂移率的數(shù)值會達(dá)到歷史平均水平，而經(jīng)典的瓦西塞克模型是在莫頓模型基礎(chǔ)上，引入了利率的均值回歸項。Vasicek 模型的瞬時利率變化過程如下所示：

從(4)式中可以發(fā)現(xiàn)，Vasicek 模型會不斷向利率均值靠攏。利率隨時間的變化會不斷向利率均值u靠攏，靠攏速度為回復(fù)速度k，Vasicek 模型中的常數(shù)值是σ，為模型的波動率。dz(t)為標(biāo)準(zhǔn)維納過程。根據(jù)（4）式，可以推導(dǎo)出任意時刻T 的瞬時利率過程，具體形式如下：

（二）基于蒙特卡羅模擬方法的國債定價

國債的定價法有很多種，不同國債定價法的原理各不相同，當(dāng)前使用最普遍的國債定價方法，是先對利率模型進行參數(shù)估計，在估計出利率期限結(jié)構(gòu)模型后，就可以得出債券的價格。由于這種定價方法需要運用風(fēng)險的市場價格，而風(fēng)險的市場價格主要通過人為的預(yù)先設(shè)定，也即市場風(fēng)險價格的設(shè)定具有很強的主觀性?；跍p少市場風(fēng)險價格等主觀因素影響的考慮，本文采用蒙特卡羅模擬方法對國債進行模擬定價。

蒙特卡羅模擬定價法的基本步驟：

1. 利用估計出的單因子vasicek 利率期限結(jié)構(gòu)模型，對利率路徑進行模擬；

4.計算出債券在每一期的現(xiàn)金流，再根據(jù)前面求得的貼現(xiàn)因子，計算出債券的理論價格

與其他數(shù)值方法相比，蒙特卡羅模擬方法最主要的優(yōu)點在于：該方法既可以用于當(dāng)收益依靠標(biāo)的變量終端值的情形，也可以用于當(dāng)收益依靠標(biāo)的變量路徑的情形。

二、實證分析

（一）數(shù)據(jù)選取

本文選取銀行間國債回購市場上質(zhì)押式回購利率數(shù)據(jù)作為研究對象，采用了2017 年1 月至12 月的到期期限為一天的OR001 作為本文研究的即期利率數(shù)據(jù)，去除異常數(shù)據(jù)后，共245 條利率數(shù)據(jù)。通過對比其開盤利率、最高利率、最低利率及加權(quán)平均利率進行分析后，發(fā)現(xiàn)開盤利率，最高及最低利率可能會受到極端值的影響，因此我們選擇加權(quán)平均利率作為本文的研究重點。

（二）差分圖

在數(shù)據(jù)剔除異常值后，需要對數(shù)據(jù)的線性特征進行分析。本文采用SPSS 軟件，對數(shù)據(jù)進行一階差分，通過散點圖來觀察數(shù)據(jù)的線性特性。

圖1 DR001 散點圖

首先對OR001 序列求一階差分，求得一階差分后得出一階差分序列DR001，對DR001 繪制了散點圖，通過散點圖可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)總體呈現(xiàn)線性特征。

（三）數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計

下表是對原始即期利率進行了描述性統(tǒng)計分析，通過均值、標(biāo)準(zhǔn)差、峰度以及偏度對數(shù)據(jù)的總體分布情況進行分析，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)總體分布態(tài)勢平穩(wěn)，數(shù)據(jù)的波動幅度不大。

表1 描述性統(tǒng)計

（四）單位根檢驗

為了更好地反應(yīng)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，本文又采用matlab 軟件對原始數(shù)據(jù)進行單位根檢驗，結(jié)果如下表2 所示：

表2 單位根檢驗

表2 顯示，數(shù)據(jù)伴隨概率p 值為0.0002，其數(shù)值小于0.05，表明數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性良好。

（五）蒙特卡羅模擬的模型參數(shù)估計結(jié)果

1.參數(shù)的估計結(jié)果

由于本文使用的參數(shù)估計方法是蒙特卡羅模擬法，為了克服在模型參數(shù)估計中可能存在的誤差，因此要在參數(shù)估計過程中先進行“退火”處理，去掉前面不穩(wěn)定的計算結(jié)果。本文的選擇的具體操作是去掉前10001 次的迭代，對參數(shù)引用后30000 次迭代。迭代結(jié)果如下表3 所示：

模型估計結(jié)果：

2.參數(shù)的收斂性檢測

通過蒙特卡羅模擬，我們得出了模型的估計參數(shù)，然而，該參數(shù)是否有效？因為本文采用的是蒙特卡羅參數(shù)估計方法，參數(shù)是否收斂至關(guān)重要，只有當(dāng)參數(shù)收斂時，其數(shù)據(jù)才是可用的，所以有必要對所得參數(shù)進行收斂性檢測。參數(shù)收斂性檢測可以分別從核密度圖的平滑度以及參數(shù)迭代歷史軌跡圖的穩(wěn)定性來分析。下圖為三個參數(shù)的核密度圖：

圖2 參數(shù)核密度圖

從上面三個參數(shù)核密度圖不難看出，參數(shù)總體上是穩(wěn)定的、收斂的。三個參數(shù)核密度圖總體上來看都是相對平滑的，只是在部分區(qū)段表現(xiàn)出輕微的凹凸不平，但這也是符合實際情況的。并不影響參數(shù)的收斂性。

3.參數(shù)的迭代歷史軌跡圖

上文對三個參數(shù)利用核密度度進行了收斂性檢測，接下來再對參數(shù)的迭代歷史軌跡圖進行分析。

圖3 參數(shù)歷史迭代軌跡圖

上圖為三個參數(shù)的迭代歷史軌跡圖，通過這三個圖可以看出，在去掉前10000 次迭代后，再進行30000 次迭代，發(fā)現(xiàn)這三個參數(shù)的均收斂，因此我們可以得出結(jié)論，蒙特卡羅估計法下得出的參數(shù)是有效的。

4.參數(shù)的動態(tài)路徑圖

下圖4 給出了參數(shù)的動態(tài)路徑走勢，通過研究我們發(fā)現(xiàn)，三個參數(shù)值均圍繞著其均值上下波動，并未出現(xiàn)發(fā)散或者明顯的上升及下降趨勢，因此參數(shù)的變動是穩(wěn)定的。

圖4 參數(shù)動態(tài)路徑圖

綜合上面對參數(shù)的核密度圖、歷史迭代軌跡圖以及動態(tài)路徑圖的分析，不難發(fā)現(xiàn)，對于蒙特卡羅模擬得出的vasicek 模型的參數(shù)來說，參數(shù)都是嚴(yán)格有效以及收斂的。說明在利用蒙特卡羅法對模型進行參數(shù)估計的選擇是合適的。

（六）利率路徑

我們通過蒙特卡羅模擬估計出vasicek 模型的參數(shù)后，使用Matlab 軟件編寫程序，可以生成5000條利率路徑，路徑圖如下圖5 所示：

圖5 利率路徑圖表明，隨著迭代次數(shù)的增加，利率期限結(jié)構(gòu)曲線趨于平穩(wěn)，也就是說隨著時間的變化，利率逐漸走向平穩(wěn)態(tài)勢。

三、結(jié)論

資金的價值體現(xiàn)在很多方面，而其時間效率的價值一直以來都是金融研究的核心問題之一，而描述它的重要工具就是動態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)。因此，動態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)必將是未來的研究重點。本文選用了2017 年1 月至12 月銀行間國債市場的到期期限為1 天的質(zhì)押式回購利率數(shù)據(jù)進行研究，從數(shù)據(jù)的一階差分圖、描述性統(tǒng)計以及單位根檢驗三個方面來對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性進行全方位檢測，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)是穩(wěn)定的。然后利用蒙特卡羅法來估計vasicek 模型的參數(shù)值，并對參數(shù)值的收斂性進行檢驗。從參數(shù)的核密度圖、歷史迭代圖和動態(tài)路徑圖發(fā)現(xiàn)，參數(shù)是有效且絕對收斂的。由此本文得出以下結(jié)論：

（一）本文利用2017 年1 月至12 月銀行間國債回購市場數(shù)據(jù)進行建模，利用蒙特卡羅模擬對回購市場建立vasicek 模型的研究思路是合適的。

（二）通過散點圖我們發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)整體呈線性走勢，對數(shù)據(jù)進行描述性統(tǒng)計后，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)分布均勻。對數(shù)據(jù)進行單位根檢驗，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。因此，我們可以得出結(jié)論：利用vasicek 模型對數(shù)據(jù)進行擬合是合適的。

（三）通過參數(shù)核密度圖、歷史迭代路徑和動態(tài)路徑圖的分析，我們發(fā)現(xiàn)，利用蒙特卡羅模擬估計出的參數(shù)估計是有效的，且參數(shù)收斂性較好。