王鳳娟，周長城，于曰偉，張云山，汪 曉，邵明磊

(1. 山東理工大學 交通與車輛工程學院，山東 淄博 255049；2.山東彈簧廠淄博有限公司，山東 淄博 256410)

隨著汽車輕量化相關政策的實施，少片變截面鋼板彈簧日益受到汽車懸架研究領域專家及生產企業(yè)的重視。 為了滿足板簧設計的剛度要求和應力約束條件，通常在板簧根部平直段與拋物線段之間增設斜線段結構，且由于首片板簧端部所受載荷復雜，須使首片板簧的端部平直段厚度和長度的設計值大于其余各片，即采用端部非等構式的少片根部加強型拋物線板簧。 目前，國內外很多學者借助于有限元仿真分析法[1-2]、多體動力學仿真分析法[3]和板簧試驗法[4-6]等對少片變截面鋼板彈簧力學特性進行了研究。 其中，針對少片鋼板彈簧輕量化優(yōu)化設計方法的研究，有學者采用CAE建模仿真和板簧臺架試驗，對少片鋼板彈簧力學特性剛度和應力進行對比分析[7-10]；有學者采用Adams/Chassis Leaf spring專業(yè)模塊的二次開發(fā)模型，對懸架鋼板彈簧進行力學特性試驗和不同工況下的仿真分析[11]；有學者采用ANSYS有限元仿真軟件和樣機試驗相結合的方法對鋼板彈簧的剛度、應力等力學特性進行研究[12-15]。 然而，上述研究方法都未給出精確的少片根部加強型拋物線板簧剛度及應力解析計算式，不能滿足板簧現(xiàn)代化CAD設計以及數(shù)字化工廠的要求，這給少片變截面板簧的精準設計與產品開發(fā)帶來了不便。

本文基于單片根部加強型拋物線板簧力學模型，對其剛度及應力進行解析計算，在此基礎上建立少片根部加強型拋物線板簧的剛度及應力計算公式，通過實例對所建立的少片根部加強型拋物線板簧剛度及應力計算公式進行解析計算和ANSYS仿真驗證。

1 單片根部加強型拋物線板簧的剛度及應力解析計算

1.1 單片根部加強型拋物線板簧結構及力學模型

單片根部加強型拋物線板簧對稱結構力學模型如圖1所示，其由根部直線段、斜線段、拋物線段和端部直線段四部分構成，板簧自由端處所受單端點載荷為F，長度為L，寬度為b，彈性模量為E；根部厚度為h2，根部直線段為安裝間距的一半，其長度為l3；斜線段的厚度比為γ，其水平長度為Δl，斜線段部分厚度為hd(x)，其根部至板簧自由端處長度為ld；拋物線段的厚度比為β，厚度為hp(x)，近根部端處厚度為h2p，其根部至板簧自由端處長度為l2；端部長度為l1，厚度為h1；坐標原點O在模型右部自由端處，水平向左指向x軸正方向。

圖1 單片根部加強型拋物線板簧力學模型Fig.1 Mechanics model of single-chip root-intensive parabolic leaf spring

根據(jù)圖1所示的單片根部加強型拋物線板簧的力學模型，板簧端部厚度h1為

h1=βh2p=βγh2

(1)

式中：β=h1/h2p；γ=h2p/h2。

板簧端部直線段長度l1為

l1=(βγ)2l2

(2)

板簧拋物線段部分厚度hp(x)為

(3)

根部斜線段部分過(l2，h2p)、(ld，h2)兩點，則板簧根部斜線段部分厚度hd(x)為

(4)

綜上，單片根部加強型拋物線板簧的厚度表達式h(x)為

(5)

1.2 單片根部加強型拋物線板簧剛度及應力的解析計算

當在板簧端部施加載荷F時，其變形能為

(6)

式中:I1、I2、I3、I4分別為板簧端部直線段、拋物線段、斜線段、根部直線段部分的截面慣性矩，其中

(7)

根據(jù)卡式第二定理，板簧端部撓度為

(8)

將式(5)—式(7)代入式(8)整理可得，單片根部加強型拋物線板簧的撓度解析計算式為

(9)

式中:Gd為單片根部加強型拋物線板簧的撓度系數(shù)，其表達式為

由單片板簧剛度、撓度與載荷的相互關系可知，單片根部加強型拋物線板簧的剛度解析計算式為

(10)

單片根部加強型拋物線板簧在x位置處的彎矩M(x)為

M(x)=Fx

(11)

由材料力學可知，板簧在x位置處的應力為

(12)

式中:W(x)為板簧抗彎截面系數(shù)，即W(x)=bh2(x)/6。

將式(5)代入式(12)整理可得，單片根部加強型拋物線板簧的應力計算模型為

(13)

2 少片根部加強型拋物線板簧的剛度及應力解析計算

少片根部加強型拋物線板簧由單片根部加強型拋物線板簧疊加而成，其力學模型如圖2所示。少片根部加強型拋物線板簧端部為非等構結構，即首片板簧的端部直線段的厚度和長度大于其他各片板簧，使得首片板簧能夠滿足端部復雜受力的需求。 板簧片數(shù)為n(n≤5)，彈性模量為E。 各片根部加強型拋物線板簧的根部厚度為hi2，拋物線段近根部端處厚度為h2pi，端部厚度為hi1，端部長度為li1=(βiγi)2l2，斜線段厚度比為γi，拋物線段的厚度比為βi。

圖2 少片根部加強型拋物線板簧力學模型Fig.2 Mechanics model of few-chip root-intensive parabolic leaf spring

由式(10)可得，少片根部加強型拋物線板簧的各片加緊剛度Ki為

(14)

式中：Gdi為加緊狀態(tài)下的各片板簧撓度系數(shù)，有

其中，βi=hi1/h2pi，γi=h2pi/hi2。

因此，少片根部加強型拋物線板簧的加緊剛度計算式為

(15)

在端部載荷F的作用下，少片根部加強型拋物線板簧的撓度wmax為

(16)

由式(13)可知，在加緊狀態(tài)下，少片根部加強型拋物線板簧的各片板簧任意位置處的應力計算式為

(17)

式中:Fi為各片板簧端部所受載荷，基于各片板簧剛度Ki與載荷Fi之間的關系，有

3 解析計算實例和仿真分析

3.1 解析計算實例

某款車型前懸架板簧采用少片根部加強型拋物線板簧，彈簧片數(shù)n=3，板簧寬度b=70 mm，彈簧一半長度L=600 mm，U型螺栓中心距的一半l3=44 mm，根部平直段厚度hi2=17 mm，根部斜線段水平長度Δ=30 mm，拋物線段近根部端處厚度為h2pi=15.98 mm；端部直線段厚度分別為h11=8.79 mm、h21=h31=8.32 mm，長度分別為l11=159.12 mm、l21=l31=142.64 mm；各片板簧拋物線段厚度比為β1=8.79/15.98=0.55，β2=β3=8.32/15.98=0.52，各片板簧斜線段厚度比為γi=15.98/17=0.94，板簧端部所受單端點載荷F=8146 N，彈性模量E=200 GPa。

由式(14)可得，該根部加強型拋物線板簧的各片加緊剛度Ki為

式中，加緊狀態(tài)下的各片板簧的撓度系數(shù)Gdi為

Gd1=106.11 mm4/N，

Gd2=Gd3=108.18 mm4/N

因此，該板簧的加緊剛度為

K=274.2 N/mm

該板簧在端部載荷F=8146 N下的撓度為

少片根部加強型拋物線板簧的各片端部所受載荷為

由式(17)可得，各片板簧在任意位置處的應力為

σ2(x)=σ3(x)=

在端部載荷F作用下，各片板簧在不同位置處的應力變化曲線分別如圖3和圖4所示。

圖3 第1片板簧應力變化曲線Fig. 3 Stress changing curve of first-chip leaf spring

圖4 第2、3片板簧應力變化曲線Fig. 4 Stress changing curve of second and third chip leaf spring

由圖3和圖4可知，各片根部加強型拋物線板簧在端部直線段隨位置x的增加其應力呈線性上升趨勢，在拋物線段部分應力不變且應力值最大，根部斜線段處的應力隨位置x的增加呈直線下降，根部直線段處的應力隨位置x的增加呈線性增加趨勢. 由于首片板簧端部直線段的厚度與長度大于其余各片，使得第1片板簧最大應力大于第2、3片板簧。根部斜線段結構使得各片板簧應力降低，起到改善板簧強度的作用. 由于根部斜線段結構的存在，使得各片板簧最大應力出現(xiàn)在根部位置處或拋物線段部分。

3.2 仿真分析

利用ANSYS仿真軟件對上述少片根部加強型拋物線板簧進行靜力學特性仿真，并與解析值進行對比分析。 通過Contacts確定各片板簧模型之間的接觸區(qū)域，設置接觸類型為No Separation，各片板簧根部直線段之間設置為面與面接觸，端部位置處設置為線與面接觸；在劃分網(wǎng)格時，通過Sizing進行網(wǎng)格尺寸的相關設置，在Relevance Center設置中選擇Fine，使幾何模型的節(jié)點數(shù)量與單元數(shù)量增加，以達到細化網(wǎng)格的目的；在Element Size中選擇Element Size=4 mm，通過網(wǎng)格尺寸大小來控制幾何尺寸網(wǎng)格劃分的粗細程度。 其中，該板簧的網(wǎng)格模型如圖5所示。

圖5 少片根部加強型拋物線板簧網(wǎng)格模型Fig. 5 Mesh model of few-chip root-intensive parabolic leaf spring

在首片板簧端部上邊緣位置處沿Y方向施加集中載荷F=8146.3 N，在各片板簧根部截面位置處施加固定約束，并對模型進行求解，分別給出該板簧在Y方向的變形云圖和各片板簧沿X方向的應力云圖。 其中，變形云圖如圖6所示，可知，該板簧在集中載荷F=8146.3 N作用下的撓度為wmax=58.94 mm。

圖6 少片根部加強型拋物線板簧變形云圖Fig. 6 Deformatione nephogram of first-chip root-intensive parabolic leaf spring

同時，對該板簧撓度及剛度的解析結果與仿真結果進行分析，見表1。

表1 板簧撓度及剛度結果分析
Tab. 1 Deflection and stiffness analysis of leaf spring

參數(shù)撓度/mm剛度/N·mm-1解析值59.4274.2仿真值58.94276.4相對偏差值/%0.780.80

由表1可知，該少片根部加強型板簧撓度、剛度的解析值與仿真值的相對偏差值在0.80%范圍內，結果分析表明，所建立的少片根部加強型拋物線板簧撓度和剛度解析式是正確的。

各片板簧的應力云圖及其在拋物線段部分的應力分別如圖7和圖8所示。由圖可知，第1片板簧拋物線段部分的應力為484.51 MPa，第2、3片的為478.46 MPa。

圖7 第1片板簧應力云圖 Fig. 7 Stress nephogram of first-chip leaf spring

圖8 第2、3片板簧應力云圖Fig.8 Stress nephogram of second and third chip leaf spring

同時，對該板簧在拋物線段部分的應力解析值與仿真值進行對比，其結果見表2。

表2 板簧應力結果分析
Tab. 2 Stress analysis of leaf spring

參數(shù)第1片/MPa第2、3片/MPa解析值485.71476.26仿真值484.51478.46相對偏差值/%0.250.46

由該板簧的應力云圖和表2可知，該少片根部加強型拋物線板簧各片最大應力并非在根部位置處，根部斜線段結構使得各片板簧最大應力在拋物線段部分；該板簧各片應力解析值與其仿真值的相對偏差值均在0.5%范圍內，對比結果表明，所建立的少片根部加強型拋物線板簧任意位置處的應力計算式是正確的。

4 結論

(1)基于單片根部加強型拋物線板簧力學模型，結合板簧厚度表達式，利用卡氏第二定理，推導出了單片根部加強型拋物線板簧撓度和剛度計算公式。 由材料力學，結合板簧端部所受載荷，建立了單片根部加強型拋物線板簧應力計算公式。

(2)根據(jù)少片根部加強型拋物線板簧剛度等于各片板簧剛度之和，利用板簧撓度、剛度及所受載荷的相互關系，建立了其剛度計算公式；依據(jù)各片板簧端部所受載荷與剛度的關系，建立了其各片板簧任意位置處的應力計算公式。

(3)由解析計算實例和ANSYS仿真驗證可知，少片根部加強型拋物線板簧的撓度、剛度及任意位置處的應力解析值與其仿真值均相吻合，相對偏差均在0.80%以內。 仿真結果表明，所建立的板簧撓度、剛度及任意位置處的應力計算公式是精確的，這對少片根部加強型拋物線板簧的優(yōu)化設計具有一定的指導意義。