穆忠偉，吳 劍，韓秀楓

(南昌航空大學(xué)信息工程學(xué)院，南昌 330063)

0 引言

導(dǎo)彈自第二次世界大戰(zhàn)問(wèn)世以來(lái)，受到各國(guó)普遍重視，得到很快發(fā)展。導(dǎo)彈的使用，增大了戰(zhàn)爭(zhēng)的突然性和破壞性，擴(kuò)大了戰(zhàn)爭(zhēng)的規(guī)模和范圍，且加快了戰(zhàn)爭(zhēng)進(jìn)程，從而改變了過(guò)去常規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)的時(shí)空觀念，給現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)的戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)帶來(lái)巨大而深遠(yuǎn)的影響[1]。隨著精確制導(dǎo)武器的不斷改進(jìn)，除了命中精度這項(xiàng)基本要求外，還需要在命中時(shí)刻具有垂直攻擊角度，以提高戰(zhàn)斗部的毀傷效能。

自從Kim和Grider首次在機(jī)動(dòng)彈頭再入制導(dǎo)的研究中引入落角約束問(wèn)題以來(lái)，一些學(xué)者根據(jù)不同的應(yīng)用背景及不同的理論方法提出了多種具有終端角度約束的制導(dǎo)律，主要包括最優(yōu)制導(dǎo)律、滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律、改進(jìn)的比例制導(dǎo)律以及其他類型的制導(dǎo)律[2-4]，并取得了豐富的成果。文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)了帶終端角度約束的變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，在目標(biāo)不機(jī)動(dòng)和隨機(jī)機(jī)動(dòng)的情況下都能滿足攻擊角度的要求，同時(shí)給出了制導(dǎo)律的收斂性證明；文獻(xiàn)[6]介紹了一種新導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)方法，改善了彈道特性和制導(dǎo)系統(tǒng)的魯棒性，但仍無(wú)法提供對(duì)終端狀態(tài)的保證；文獻(xiàn)[7]針對(duì)導(dǎo)彈以一定角度攻擊特定目標(biāo)的問(wèn)題，提出了基于多項(xiàng)式函數(shù)的落角約束制導(dǎo)律方法；文獻(xiàn)[8]針對(duì)導(dǎo)彈要求限制末端攻擊角度的作戰(zhàn)要求，基于滑模變結(jié)構(gòu)控制理論，面向機(jī)動(dòng)目標(biāo)，設(shè)計(jì)了一種滿足脫靶量及攻擊角度約束的制導(dǎo)律；文獻(xiàn)[9]對(duì)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)作線性近似后，基于二次型最優(yōu)控制理論給出了俯沖擊頂制導(dǎo)律，但其缺點(diǎn)是需要估計(jì)剩余時(shí)間，以及求解比較復(fù)雜的微分方程兩邊的邊值問(wèn)題；文獻(xiàn)[10]針對(duì)遠(yuǎn)距離攔截高速、大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截弧度長(zhǎng)的問(wèn)題，在滿足攻擊角度的約束條件下，通過(guò)引入分段線性和指數(shù)兩種形式的阻尼，使得導(dǎo)彈在攔截高速高加速目標(biāo)時(shí)，對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)的敏感度隨彈目距離變化，從而達(dá)到能量管理的目的；文獻(xiàn)[11]針對(duì)臨近空間高超聲速巡航飛行器攔截所面臨的制導(dǎo)策略，提出了采用高拋彈道攔截的設(shè)計(jì)方法。

本文針對(duì)空地導(dǎo)彈攻擊地面固定目標(biāo)的問(wèn)題，在傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上，增加了一個(gè)角度偏置項(xiàng)，并結(jié)合滑模變結(jié)構(gòu)的控制理論，設(shè)計(jì)了一種新型垂直攻擊目標(biāo)的制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律克服了終端角度無(wú)法約束的問(wèn)題，并詳細(xì)地對(duì)比了其與傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律在攻擊地面目標(biāo)時(shí)的不同，驗(yàn)證了本文中所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的優(yōu)越性能。

1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)建模與分析

圖1 導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 Missile-target relativemotion relation

根據(jù)導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)關(guān)系得出了相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

2 導(dǎo)引律設(shè)計(jì)

2.1 導(dǎo)引律推導(dǎo)

由于末制導(dǎo)段多采用響應(yīng)速度較快的過(guò)載駕駛儀，常以法向加速度指令作為指令信號(hào)，因此假定導(dǎo)彈采用具有如下結(jié)構(gòu)的偏置比例導(dǎo)引的制導(dǎo)律形式為

(2)

式中，K≥2,u為偏置項(xiàng)。

對(duì)式(1)第二項(xiàng)求導(dǎo)可得

(3)

進(jìn)而可得

(4)

(5)

2.2 自適應(yīng)垂直攻擊結(jié)構(gòu)項(xiàng)的設(shè)計(jì)

要保證導(dǎo)彈最終以期望角度攻擊目標(biāo)，并以零化視線角速度完成攻擊任務(wù)，令

x1=q(t)-qf

(6)

(7)

式(6)中，qf為落點(diǎn)處的期望視線角度。若使?fàn)顟B(tài)x1趨于0，則可實(shí)現(xiàn)以期望的攻擊角度接近目標(biāo)的任務(wù)；若使?fàn)顟B(tài)x2趨于0，則能夠以保持固定的角度攻擊目標(biāo)，提高了擊中目標(biāo)的性能。

式(6)、式(7)的終端約束條件為

首先需要選擇設(shè)計(jì)一個(gè)滑模切換平面，以迫使系統(tǒng)在一定特性下沿規(guī)定的狀態(tài)軌跡做小幅度、高頻率的上下運(yùn)動(dòng)，即滑模運(yùn)動(dòng)。為了在制導(dǎo)過(guò)程中使?fàn)顟B(tài)x1和x2逐漸趨于0，同時(shí)滿足零化脫靶量和末端落角的要求，故設(shè)計(jì)切換函數(shù)[14]為

S=x2+λVx1/r

(8)

其中，λ為大于0的常數(shù)。當(dāng)S=0時(shí)，系統(tǒng)處于滑模運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，此時(shí)x1=x2=0,導(dǎo)彈可以按照期望落角命中目標(biāo)。

當(dāng)系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換平面后進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)，系統(tǒng)要滿足可達(dá)性條件

(9)

可達(dá)性條件保證了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換平面，但對(duì)這段時(shí)間內(nèi)具體的狀態(tài)軌跡沒(méi)有約束。為了改善這段運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，通過(guò)設(shè)計(jì)趨近律來(lái)加以控制。選取具有自適應(yīng)特性的指數(shù)趨近律

(10)

式中：w>0,ε>0。

現(xiàn)將式(8)求導(dǎo)可得

進(jìn)而

(11)

將式(10)與式(11)聯(lián)合求得

進(jìn)而可得

(12)

將式(12)代入式(5)中可得

u=

進(jìn)而可得

u=

(13)

將式(13)代入可得

(14)

2.3 穩(wěn)定性分析

應(yīng)用Lyapunov方法對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析。選擇Lyapunov函數(shù)為

(15)

則有

(16)

即得系統(tǒng)在Lyapunov意義下是漸近穩(wěn)定的。

2.4 基于連續(xù)切換的滑?？刂谱兘Y(jié)構(gòu)制導(dǎo)律

在滑動(dòng)模態(tài)控制系統(tǒng)中，如果控制結(jié)構(gòu)的切換具有理想的開(kāi)關(guān)特性，則能在切換面上形成理想的滑動(dòng)模態(tài)，這是一種光滑的運(yùn)動(dòng)，漸近收斂于原點(diǎn)。但在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于存在時(shí)間上的延遲和空間上的滯后等原因，使得滑動(dòng)模態(tài)呈現(xiàn)抖振形式，即在光滑的滑動(dòng)模態(tài)上疊加有抖振。抖振問(wèn)題是影響滑動(dòng)模態(tài)控制的主要問(wèn)題。

為了削弱抖振，需要引入繼電特性連續(xù)化的方法代替符號(hào)函數(shù)sgn(s)，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)滑模動(dòng)態(tài)控制，即在邊界層外采用正常的滑模控制，在邊界層內(nèi)采用連續(xù)狀態(tài)反饋控制[16-18]，旨在避免或削弱抖振影響

(17)

其中，δ是很小的正常數(shù)。將式(17)代入導(dǎo)引律式(14)中得

(18)

可見(jiàn)式(18)基于偏置比例導(dǎo)引的滑模制導(dǎo)律主要由兩項(xiàng)組成，第一項(xiàng)為與視線角速度成正比的比例導(dǎo)引項(xiàng)；第二項(xiàng)為根據(jù)落角約束確定的滑模變的偏置項(xiàng)。

3 仿真分析

圖2 兩種制導(dǎo)律的彈道軌跡曲線Fig. 2 Trajectories of two guidance laws

圖3 兩種制導(dǎo)律的彈道傾角曲線Fig.3 Trajectory inclination angle curves of two guidance laws

圖4 兩種制導(dǎo)律的加速度曲線Fig.4 Acceleration curves of two guidance laws

圖5 兩種制導(dǎo)律的視線角曲線Fig.5 Line of sight of two guidance laws

由表1可以看出,偏置滑模結(jié)構(gòu)制導(dǎo)時(shí)間是15.7100,大于比例導(dǎo)引的制導(dǎo)時(shí)間15.3300，故帶偏置比例導(dǎo)引滑模制導(dǎo)律的制導(dǎo)時(shí)間比傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律的制導(dǎo)時(shí)間稍長(zhǎng)。這是由于傳統(tǒng)比例導(dǎo)引的彈道曲線較低，而偏置滑模結(jié)構(gòu)導(dǎo)引的彈道曲線較高(如圖2所示)的緣故。但是這對(duì)導(dǎo)彈進(jìn)行低空突防是非常有利的，尤其是在實(shí)際情況中，較高的彈道可以為導(dǎo)彈提供更快的攻擊速度，增大毀傷效果。從仿真結(jié)果可知，變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律脫靶量更小，具有更高的制導(dǎo)律精度。

表1 兩種導(dǎo)引律制導(dǎo)效果的比較

由圖4可以看出，在導(dǎo)彈制導(dǎo)過(guò)程中，兩種方法的加速度都在增大，但偏置變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的最大過(guò)載比傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律的最大過(guò)載要小得多。隨后二者過(guò)載都開(kāi)始減小，偏置變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的過(guò)載最后趨向于0，然而傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律的過(guò)載變小，后又再次增大，所以前者的過(guò)載趨于零變化，降低了對(duì)導(dǎo)彈執(zhí)行機(jī)構(gòu)的要求，更易于應(yīng)用在實(shí)戰(zhàn)中。

結(jié)合表1與圖3可知，偏置比例的滑模制導(dǎo)律的落角偏差是0.2852，而傳統(tǒng)比例導(dǎo)引的落角偏差是17.8966。從中可以看出，偏置比例滑模的方法要比傳統(tǒng)導(dǎo)引攻擊的角度更加接近90°，幾乎以垂直的方式攻擊地面目標(biāo)，提高了攻擊目標(biāo)的毀傷效果；而傳統(tǒng)比例導(dǎo)引偏差過(guò)大，無(wú)法以90°角攻擊目標(biāo)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)建立縱向平面內(nèi)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，在傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上，利用落角和脫靶量的約束條件，結(jié)合滑模變結(jié)構(gòu)理論設(shè)計(jì)了一個(gè)落角約束偏置項(xiàng)，推導(dǎo)得到了滿足垂直攻擊落角的導(dǎo)彈制導(dǎo)律，并與傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律進(jìn)行了對(duì)比仿真。通過(guò)選取合理的制導(dǎo)律參數(shù)，可以使導(dǎo)彈的法向過(guò)載在攻擊目標(biāo)的過(guò)程中逐漸趨向于0，這是傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律所不能達(dá)到的，并通過(guò)仿真驗(yàn)證了該制導(dǎo)律的有效性和優(yōu)越性。