王海峰,王新剛,胡福豪

(東北大學(xué) 機(jī)械動(dòng)力學(xué)與可靠性研究中心，河北 秦皇島 066004)

主軸系統(tǒng)作為礦井提升機(jī)的關(guān)鍵組成及承載部分，其工作狀態(tài)的穩(wěn)定性和可靠性直接影響整個(gè)提升機(jī)系統(tǒng)的可靠性[1]。主軸系統(tǒng)長(zhǎng)期受到隨機(jī)交變載荷的作用，各個(gè)零件內(nèi)部損傷逐漸積聚擴(kuò)展，材料的各種物理屬性如初始強(qiáng)度也出現(xiàn)逐漸退化的趨勢(shì)[2]。另一方面，由于主軸系統(tǒng)受載狀態(tài)復(fù)雜和工作環(huán)境較為惡劣，且各功能部件的動(dòng)力傳遞互相影響，且多種失效模式耦合在一起，分析較為困難。傳統(tǒng)的基于靜強(qiáng)度理論的可靠性方法不能很好的反映出主軸系統(tǒng)在性能退化下的各種失效模式耦合作用對(duì)主軸系統(tǒng)及整機(jī)可靠性的影響，因此很難準(zhǔn)確估計(jì)出提升機(jī)的使用壽命。Song和Kang[3]通過(guò)矩陣的代數(shù)運(yùn)算描述了機(jī)械系統(tǒng)中的失效相關(guān)性，同時(shí)采用相關(guān)系數(shù)矩陣法對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行可靠性預(yù)估。Zhang等[4]采用最大熵法、隨機(jī)攝動(dòng)法等，對(duì)多自由度系統(tǒng)中存在的單一相關(guān)失效模式的可靠性進(jìn)行了研究和分析。Yu等[5]以冗余系統(tǒng)為研究對(duì)象，通過(guò)“相關(guān)性函數(shù)”建模來(lái)描述其各個(gè)失效模式之間的相關(guān)性。Schottl[6]在總結(jié)前人研究成果的基礎(chǔ)上，提出了基于失效相關(guān)的系統(tǒng)可靠性數(shù)學(xué)模型，此模型的應(yīng)用范圍更為廣泛，它不僅可以用于分析共因失效，還能用于描述多種不同原因造成的失效。Sun等[7]通過(guò)建立失效相關(guān)的可靠性數(shù)學(xué)模型對(duì)零件的失效相關(guān)程度進(jìn)行了量化描述。上述文獻(xiàn)方法僅考慮了失效模式之間相關(guān)性的數(shù)學(xué)建模和對(duì)可靠性的影響，沒(méi)有考慮產(chǎn)品性能退化及相關(guān)系數(shù)變化對(duì)模型建立和精度的影響。

本文從強(qiáng)度退化和失效模式相關(guān)性兩個(gè)角度的出發(fā)，借助Gamma過(guò)程和混合Copula理論建立提升機(jī)主軸系統(tǒng)的可靠性數(shù)學(xué)模型，并采用Monte Carlo method法對(duì)考慮多種失效模式下礦井提升機(jī)主軸系統(tǒng)及其零件的可靠性進(jìn)行仿真分析，給出主軸系統(tǒng)的可靠度變化趨勢(shì)，為實(shí)際工程中準(zhǔn)確評(píng)估提升機(jī)的整機(jī)性能和剩余壽命提供理論支撐。

1 主軸系統(tǒng)的力學(xué)分析

1.1 主軸系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及提升周期

礦井提升機(jī)主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，包括主軸、游動(dòng)卷筒、固定卷筒、輪轂等附屬零件。

提升機(jī)在作業(yè)時(shí)，整個(gè)主軸的受力情況較為復(fù)雜，直徑不同的主軸截面受力情況也不同，很難直接去計(jì)算整個(gè)主軸在各種工況時(shí)的受載情況。本文總結(jié)了以往的研究成果，首先確定出其危險(xiǎn)截面，即固定卷筒左支輪所在的截面[8-9]，其次，按照表1所示6種工況對(duì)主軸進(jìn)行受力分析，模擬出危險(xiǎn)截面在各種工況下的力學(xué)模型，并按此模型進(jìn)行后續(xù)主軸可靠度的分。

表1 工況表

根據(jù)主軸轉(zhuǎn)速和卷筒有效寬度(鋼絲繩的有效纏繞寬度)，可求出每種工況的作業(yè)時(shí)間t，6種工況組成一個(gè)完整的周期，時(shí)間為7.2 min。

t=t1=t2=t3=t4=t5=t6=

(1)

1.2 系統(tǒng)主要部件的力學(xué)分析

表2為主軸系統(tǒng)各零部件物理參數(shù)。

表2 主軸系統(tǒng)各零部件物理參數(shù)

續(xù)表(表2)

為分析計(jì)算方便，在主軸的各軸段選擇5個(gè)截面，受力簡(jiǎn)圖如圖2。

圖2 礦井提升機(jī)主軸受力簡(jiǎn)圖

圖中，Pi為各截面處的主軸重力，Pi′為各截面處的零件重力，Pik-x為各截面處的鋼絲繩重力。其中，i=1,2,3,4,5分別對(duì)應(yīng)五個(gè)截面，x=1,2,3,4,5,6分別對(duì)應(yīng)六種工況。在考慮主軸重力、鋼絲繩重力、附屬件重力下的各截面處的載荷如式(2)所示：

(2)

已知危險(xiǎn)截面處直徑、抗彎截面系數(shù)和抗扭截面系數(shù)，

得出危險(xiǎn)截面截面4處的彎曲應(yīng)力、扭轉(zhuǎn)剪切應(yīng)力如式(3)所示：

(3)

由式(3)可得，疲勞強(qiáng)度失效模式下主軸的功能函數(shù)：

(4)

其合成應(yīng)力S的表達(dá)式如式(5)所示，主軸和卷筒危險(xiǎn)截面的受力分析及推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。

(5)

綜合分析主軸及卷筒所受到的重力和繩拉力得出危險(xiǎn)截面的合成應(yīng)力變化分別如圖3和圖4所示。

圖3 主軸危險(xiǎn)截面合成應(yīng)力

圖4 卷筒危險(xiǎn)處合成應(yīng)力

2 各零件的強(qiáng)度退化模型

本文用Gamma過(guò)程來(lái)描述材料的強(qiáng)度退化規(guī)律，從材料的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)著手，利用Matlab模擬出P-S-N函數(shù)式，并對(duì)Gamma過(guò)程中的形狀參數(shù)v(t)及退化尺度參數(shù)u進(jìn)行估計(jì)，得出材料的強(qiáng)度退化數(shù)學(xué)模型。

主軸材料為45號(hào)鋼，利用Matlab對(duì)采集的45號(hào)鋼的疲勞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線模擬，如圖5所示。

已知提升機(jī)主軸額定轉(zhuǎn)速為40 r/min，取時(shí)間單位為h，主軸受載次數(shù)N與時(shí)間t存在如下關(guān)系：N=f(t)=40×60t=2 400t。將不同存活率下S-N曲線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)S-t曲線，得出45號(hào)鋼在4種不同存活率下S-t曲線的顯示表達(dá)式如表3所示。

圖5 主軸材料的P-S-N曲線

表3 P-S-t曲線顯示表達(dá)式

取時(shí)間段[t1,t2]=[2 500,5 000]h，根據(jù)P-S-t曲線可得強(qiáng)度退化量估計(jì)值ΔDm1如表4所示，均值何方差如式(6)所示。

表4 強(qiáng)度退化量的估計(jì)值

(6)

Gamma過(guò)程中的形狀參數(shù)v(t)及退化尺度參數(shù)u的估計(jì)值如下：

(7)

取步長(zhǎng)為tn=n×2 500小時(shí)，則tn+1=(n+1)×2 500。當(dāng)n=1～9時(shí)，求所有時(shí)間區(qū)間[tn+1,tn]對(duì)應(yīng)的un和an的值，如表5所示。

表5 Gamma參數(shù)估計(jì)值

主軸Gamma退化過(guò)程特征參數(shù)的估計(jì)值分別為：

(8)

因此，主軸的強(qiáng)度退化服從形狀參數(shù)為v(t)=6.853 3t，尺度參數(shù)為u=4.592 0×103的Gamma過(guò)程。主軸材料的強(qiáng)度退化規(guī)律如圖6所示。

同理可得，卷筒材料的強(qiáng)度退化規(guī)律如圖7所示。

圖6 主軸材料的強(qiáng)度退化趨勢(shì)

圖7 卷筒材料的強(qiáng)度退化趨勢(shì)

3 主軸系統(tǒng)的可靠性分析

3.1 主軸的動(dòng)態(tài)可靠度分析

主軸在長(zhǎng)期交變載荷作用下，其強(qiáng)度會(huì)逐漸降低。因此，主軸在疲勞強(qiáng)度失效模式下的可靠度模型是隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)模型[11]：

(9)

式(9)中各參數(shù)值如表6所示。

表6 主軸疲勞失效模型參數(shù)值

采用蒙特卡洛抽樣法，對(duì)模型中的各部分參數(shù)分別抽樣75 000次，可得到主軸在疲勞強(qiáng)度失效模式下的動(dòng)態(tài)可靠度曲線，如圖8。

圖8 疲勞強(qiáng)度失效模式下主軸的動(dòng)態(tài)可靠度曲線

同理，主軸在剛度失效模式下的可靠度模型也是隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)模型：

(10)

式(10)中各參數(shù)值如表7所示。

表7 主軸剛度失效模型參數(shù)值

主軸在剛度失效模式下動(dòng)態(tài)可靠度曲線如圖9。

圖9 剛度失效模式下主軸的動(dòng)態(tài)可靠度曲線

3.2 卷筒的動(dòng)態(tài)可靠度分析

疲勞強(qiáng)度失效模式下卷筒的可靠度模型為：

(11)

式(11)中各參數(shù)值如表8所示。

表8 卷筒疲勞失效模型參數(shù)值

卷筒在疲勞強(qiáng)度失效模式下的動(dòng)態(tài)可靠度曲線如圖10。

圖10 疲勞強(qiáng)度失效模式下卷筒的動(dòng)態(tài)可靠度曲線

卷筒在剛度失效模式下的可靠度模型是隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)模型：

(12)

模型中各參數(shù)值如表9所示。

表9 卷筒剛度失效模型參數(shù)值

卷筒在剛度失效模式下動(dòng)態(tài)可靠度曲線如圖11。

圖11 剛度失效模式下卷筒的動(dòng)態(tài)可靠度曲線

3.3 失效模式相關(guān)下的各零件可靠性分析

主軸在兩種失效模式下的功能函數(shù)分別為：

(13)

本文采用混合Copula函數(shù)C1(·)來(lái)描述G11與G12之間的相關(guān)性[12]，如式(14)所示。式中：CG、CC和CF分別為Gumbel、Clayton和Frank Copula函數(shù)；α，θ，λ分別為其對(duì)應(yīng)的未知參數(shù)；wi(i=1,2,3)為加權(quán)系數(shù)，且w1+w2+w3=1。其中，相關(guān)參數(shù)α，θ，λ可以對(duì)變量之間的相關(guān)程度做定量描述，加權(quán)系數(shù)w1，w2，w3可以表示變量之間相關(guān)模式。

C1(·)=C(u,ν)=w1·CG[u,ν;α]+

w2·CC[u,ν;θ]+w3·CF[u,ν;λ]=

(14)

根據(jù)平方和最小法對(duì)C1(·)中的6個(gè)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，DSS取得最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)結(jié)果即為最優(yōu)解：

(15)

通過(guò)fmincon函數(shù)求解模型中的各未知參數(shù)：

(16)

參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表10所示。

表10 混合Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果

主軸在疲勞強(qiáng)度失效模式下的可靠度R1，在剛度失效模式下的可靠度R2，令P1n(n=1,2)為主軸在第n種失效模式下的失效概率，λ1為主軸在失效相關(guān)時(shí)總失效概率，則主軸在失效相關(guān)情況下的動(dòng)態(tài)可靠度模型[13]如式(17)所示。

R12=1-λ1=1-Pr(G11≤0∪G12≤0)=

1-{Pr(G11≤0)+Pr(G12≤0)-

Pr(G11≤0∩G12≤0)}=

1-{P11+P12-C1(P11,P12)}

(17)

由上式可知主軸在疲勞強(qiáng)度失效和剛度失效相關(guān)情況下的可靠度如圖12所示。

圖12 失效相關(guān)下的主軸可靠度

同理可得，用于描述卷筒中失效相關(guān)的混合Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表11所示。

表11 混合Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果

則卷筒在疲勞強(qiáng)度失效和剛度失效相關(guān)情況下的動(dòng)態(tài)可靠度如圖13所示。

圖13 失效相關(guān)下的卷筒可靠度

3.4 失效相關(guān)下主軸系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)可靠度

借助四維混合Copula函數(shù)描述主軸系統(tǒng)中各個(gè)零件之間的失效相關(guān)性，所構(gòu)建的四維混合Copula模型結(jié)構(gòu)如圖14所示。

圖14 四維混合Copula模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

疲勞強(qiáng)度失效模式和剛度失效模式下主軸和卷筒對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)分別記為G11、G12、G21和G22，建立四維混合Copula函數(shù)C3(·)來(lái)描述G11、G12、G21和G22四個(gè)功能函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)性。

C3(·)=C(u,ν,y,z)=w1·CG[u,ν,y,z;α]+

w2·CC[u,ν,y,z;θ]+w3·CF[u,ν,y,z;λ]=

(18)

四維混合Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表12所示。

表12 混合Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果

主軸系統(tǒng)在失效相關(guān)情況下的可靠度如圖15所示。

圖15 失效相關(guān)下的主軸系統(tǒng)可靠度

根據(jù)失效相互獨(dú)立可靠性假設(shè)理論，單一零件的可靠度等于各失效模式下的可靠度之積，同時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的可靠度等于各組成零件在各失效模式下的可靠度之積[14]。根據(jù)失效完全相關(guān)可靠性假設(shè)理論，單一零件或系統(tǒng)的可靠度等于各失效模式中的最薄弱環(huán)節(jié)的可靠度。主軸、卷筒及系統(tǒng)在相互獨(dú)立、失效相關(guān)、完全相關(guān)3種情況下的可靠度曲線分別如圖16～18所示。

圖16 主軸可靠度

圖17 卷筒可靠度

圖18 主軸系統(tǒng)可靠度

由以上三圖可知，零件或系統(tǒng)在3種情況下的可靠度均隨著提升機(jī)工作年限的增加逐漸降低，并且在任一時(shí)間節(jié)點(diǎn)滿足R完全相關(guān)>R失效相關(guān)>R相互獨(dú)立，即本文基于Copula理論計(jì)算出來(lái)的零部件和系統(tǒng)可靠度數(shù)值在失效相互獨(dú)立假設(shè)理論計(jì)算值和完全相關(guān)假設(shè)理論計(jì)算值之間。基于完全相關(guān)假設(shè)理論對(duì)主軸系統(tǒng)的可靠性評(píng)估偏高，提升機(jī)在作業(yè)中可能發(fā)生危險(xiǎn)；基于失效相互獨(dú)立假設(shè)理論對(duì)主軸系統(tǒng)的可靠性評(píng)估偏低，過(guò)于保守浪費(fèi)資源。根據(jù)現(xiàn)有提升機(jī)主軸系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)和故障數(shù)據(jù)來(lái)看，基于混合Copula函數(shù)對(duì)主軸系統(tǒng)的可靠性評(píng)估符合實(shí)際情況。

4 結(jié)論

1)用Gamma過(guò)程來(lái)描述主軸系統(tǒng)中零件強(qiáng)度退化規(guī)律，能夠滿足強(qiáng)度退化具有隨機(jī)性和不可逆性的特征。利用混合Copula函數(shù)進(jìn)行零件和系統(tǒng)的失效相關(guān)性建模，能夠準(zhǔn)確描述整個(gè)主軸系統(tǒng)在失效相關(guān)情況下的動(dòng)態(tài)可靠度變化規(guī)律。

2)該模型既能在設(shè)計(jì)初期對(duì)礦井提升機(jī)主軸系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行評(píng)估，又可以在服役期對(duì)礦井提升機(jī)主軸系統(tǒng)的剩余壽命進(jìn)行估計(jì)。

3)本文提出的模型能夠靈活準(zhǔn)確地描述主軸系統(tǒng)中的各種失效模式之間的關(guān)聯(lián)性，為多失效模式下提升機(jī)主軸系統(tǒng)及其他機(jī)械系統(tǒng)提供了一種有效的可靠性分析方法。