滿秀懿

圖形的對(duì)稱關(guān)系不僅美化了我們的生活，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美.函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系廣泛存在于各種數(shù)學(xué)問(wèn)題之中，函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，利用函數(shù)對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系主要有中心對(duì)稱和軸對(duì)稱，函數(shù)的奇偶性就是函數(shù)的對(duì)稱性的特例.本文從函數(shù)的中心對(duì)稱和軸對(duì)稱等方面來(lái)探討函數(shù)的對(duì)稱性及相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題.

一、求函數(shù)值

例1?已知函數(shù)f（x）=（x-1）3+1，

則f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）=????.

解析：f（x）=（x-1）3+1是由y=x3平移得到的，

由于y=x3是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

因此f（x）的對(duì)稱中心為（1，1），f（x）+f（2-x）=2，

所以f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）=[f（-5）+f（7）]+[f（-4）+f（6）]+…+[f（0）+f（2）]+f（1）

=6×2+1=13，

故答案為13.

點(diǎn)評(píng)：一般的，此類問(wèn)題需要判斷出該函數(shù)是由什么樣的奇函數(shù)或偶函數(shù)通過(guò)平移變換所得，借助于它們的對(duì)稱性解決問(wèn)題.

二、求函數(shù)解析式

例2?已知y=f（x+1）是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x>1時(shí)，f（x）=x2-4x，則函數(shù)f（x）=????.

解法：令g（x）=f（x+1），

因?yàn)間（x）=f（x+1）是定義在R上的奇函數(shù)，則

所以g（0）=f（1）=0，且g（x）+g（-x）=0，

即f（1+x）+f（1-x）=0，

所以f[1+（x-1）]+f[1-（x-1）]=0，

即f（x）=-f（2-x），

設(shè)x<1時(shí)，則2-x>1，

f（2-x）=（2-x）2-4（2-x）=x2-4.

因?yàn)閒（x）=-f（2-x），所以f（x）=4-x2.

故f（x）=x2-4x（x>1）

0（x=0）

4-x2（x<1）.

點(diǎn)評(píng)：解析中的方法借助于區(qū)間轉(zhuǎn)移法求解解析式，要注意在理解其結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，靈活地進(jìn)行“代換”達(dá)到目的，如f（a+x）+f（a-x）=0的結(jié)構(gòu)特征可理解為f（a+?）+f（a-?）=0，?內(nèi)放置任何代數(shù)式都成立;而探究中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求解問(wèn)題，簡(jiǎn)潔形象，有助于透徹理解函數(shù)的對(duì)稱性.

三、中心對(duì)稱與函數(shù)的奇偶性

例3?已知真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對(duì)稱圖形”的等價(jià)條件為“函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)”.

（1）將函數(shù)g（x）=x3-3x2的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，求此時(shí)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g（x）圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo);

（2）求函數(shù)h（x）=log22x4-x圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo).

解析：（1）平移后圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=（x+1）3-3（x+1）2+2，整理得y=x3-3x，

由于函數(shù)y=x3-3x是奇函數(shù)，由題設(shè)真命題知，函數(shù)g（x）圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（1，-2）.

（2）設(shè)h（x）=log22x4-x的對(duì)稱中心為P（a，b），由題設(shè)知函數(shù)h（x+a）-b是奇函數(shù).

設(shè)f（x）=h（x+a）-b，

則f（x）=log22（x+a）4-（x+a）-b，

即f（x）=log22x+2a4-a-x-b.

由不等式2x+2a4-a-x>0的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得a=2.

此時(shí)f（x）=log22（x+2）2-x-b，x∈（-2，2）.

任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，

所以函數(shù)h（x）=log22x4-x圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（2，1）.

點(diǎn)評(píng)：（1）根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，并判斷函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合題目中已知的真命題，可得答案.（2）設(shè)函數(shù)h（x）=log22x4-x圖象對(duì)稱中心為P（a，b），由題設(shè)知函數(shù)f（x）=h（x+a）-b是奇函數(shù).進(jìn)而求出a，b的值，得到對(duì)稱中心坐標(biāo).本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象與圖象變化，奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，熟練掌握函數(shù)圖象平移變換法則及奇函數(shù)的定義和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

四、中心對(duì)稱與函數(shù)的單調(diào)性

例4?已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x+4），且函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增，如果x1<2

A.可正可負(fù)??B.恒大于0

C.可能為0??D.恒小于0

解析一：題目中給了單調(diào)區(qū)間，與自變量不等關(guān)系，所求為函數(shù)值的關(guān)系，從而想到單調(diào)性，而x1+x2<4可得x2<4-x1，因?yàn)閤1<2，所以4-x1>2，進(jìn)而將x2，4-x1裝入了（2，+∞）中，所以由x2<4-x1可得f（x2）

解析二：本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合更便于求解.先從f（-x）=-f（x+4）分析出f（x）關(guān)于（2，0）中心對(duì)稱，令x=-2代入到f（-x）=-f（x+4）可得f（2）=0.中心對(duì)稱的函數(shù)對(duì)稱區(qū)間單調(diào)性相同，從而可作出草圖.而x1+x2<4x1+x22<2，即x1，x2的中點(diǎn)位于x=2的左側(cè)，所以x1比x2距離x=2更遠(yuǎn)，結(jié)合圖象便可分析出f（x1）+f（x2）恒小于0.

答案：D.

點(diǎn)評(píng)：本題是單調(diào)性與對(duì)稱性的一個(gè)結(jié)合，入手點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)條件的自變量關(guān)系，與所求函數(shù)值關(guān)系，而連接它們大小關(guān)系的“橋梁”是函數(shù)的單調(diào)性，所以需要將自變量裝入同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).而對(duì)稱性起到一個(gè)將函數(shù)值等價(jià)轉(zhuǎn)化的作用，進(jìn)而與所求產(chǎn)生聯(lián)系.

五、利用函數(shù)的對(duì)稱性與周期性解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題?例5?已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x）在[0，7]上只有1和6兩個(gè)零點(diǎn)，且y=f（x+2）與y=f（x+7）都是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）在[0，2013]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為????.

解析：∵f（x+2），f（x+7）為偶函數(shù)，

∴f（x+2）=f（-x+2），f（x+7）=f（-x+7），∴f（x）關(guān)于x=2，x=7軸對(duì)稱，

∴f（x）函數(shù)的周期為10.

∴將[0，2013]劃分為[0，10）∪[10，20）∪…∪[2000，2010）∪[2010，2013]，

∵f（x）關(guān)于x=2，x=7軸對(duì)稱，

∴f（x）=f（4-x），f（x）=f（14-x），

∵f（1）=f（6）=0，f（8）=f（14-8）=f（6）=0，f（3）=f（4-3）=f（1）=0，

∴在[0，10）中只含有四個(gè)零點(diǎn)，

而[0，10）∪[10，20）∪…∪[2000，2010）共201組，

所以N=201×4=804，

在[2010，2013]中，含有零點(diǎn)f（2011）=f（1）=0，f（2013）=f（3）=0共兩個(gè)，

所以一共有806個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：（1）處理周期函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可以考慮先統(tǒng)計(jì)一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再看所求區(qū)間包含幾個(gè)周期，相乘即可.如果有不滿一個(gè)周期的區(qū)間可單獨(dú)統(tǒng)計(jì).當(dāng)一個(gè)周期內(nèi)含有對(duì)稱軸（或?qū)ΨQ中心）時(shí)，零點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)不能僅限于已知條件，而要看是否由于對(duì)稱產(chǎn)生新的零點(diǎn).其方法一是可以通過(guò)特殊值的代入，二是可以通過(guò)圖象，將零點(diǎn)和對(duì)稱軸標(biāo)在數(shù)軸上，看是否有由對(duì)稱生成的零點(diǎn)（這個(gè)方法更直觀，不易丟解）.

六、兩個(gè)函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用

例6?已知y=f（2x-1）為奇函數(shù)，y=f（x）與y=g（x）圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，若x1+x2=0，則g（x1）+g（x2）=????.

解析：∵y=f（2x-1）為奇函數(shù)，故y=f（2x-1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，而函數(shù)y=f（x）的圖象可由y=f（2x-1）圖象向左平移12個(gè)單位，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到，故y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱，又y=f（x）與y=g（x）圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，故函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，-1）對(duì)稱，∵x1+x2=0，即x1=-x2，故點(diǎn)（x1，g（x1）），（x2，g（x2）），關(guān)于點(diǎn)（0，-1）對(duì)稱，故g（x1）+g（x2）=-2.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)圖象的平移變換、放縮變換以及函數(shù)的對(duì)稱性，屬于難題.函數(shù)圖象的確定除了可以直接描點(diǎn)畫出外，還常常利用基本初等函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)“平移變換”“翻折變換”“對(duì)稱變換”“伸縮變換”得到，在變換過(guò)程中一定要注意變換順序.本題是利用函數(shù)的平移變換、放縮變換后根據(jù)對(duì)稱性解答的.

【素養(yǎng)提升】

函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的奇偶性的引伸，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的對(duì)稱性的特例.函數(shù)的對(duì)稱中心的探求，從某種意義上而言，就是該函數(shù)是通過(guò)怎樣的代換或者平移變換得到奇函數(shù)的問(wèn)題.

初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)是中心對(duì)稱圖形，自然可以借助于常見的基本初等函數(shù)來(lái)探求齊次分式函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心.遇到抽象函數(shù)的對(duì)稱中心的探求，從圖象平移變換的角度不易理解，這就需要借助于相關(guān)點(diǎn)法靈活地“轉(zhuǎn)移”，以求解決問(wèn)題.

探求函數(shù)對(duì)稱中心的存在性問(wèn)題，可以應(yīng)用待定系數(shù)法，借助于函數(shù)的中心對(duì)稱性的結(jié)論f（x）+f（2a-x）=2b求解對(duì)稱中心，最好采用其等價(jià)式f（a+x）+f（a-x）=2b降低運(yùn)算量.當(dāng)a=b=0時(shí)，y=f（x）就是奇函數(shù).

透徹理解題意是審題能力的體現(xiàn)，也是分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵.許多函數(shù)或明或隱地蘊(yùn)含著中心對(duì)稱性，我們要善于挖掘其中的函數(shù)的中心對(duì)稱性，并應(yīng)用其性質(zhì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題.